أهم قوانين الرياضيات

أهم قوانين المحيط والمساحة والحجم

وفيما يأتي أهم القوانين لحساب المحيط والمساحة والحجم:

قوانين المحيط

يمكن إيجاد المحيط لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[١]

• محيط المربع = 4×طول ضلع المربع.
• محيط المستطيل = 2×(طول المستطيل+عرض المستطيل).
• محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
• محيط الدائرة = 2×π×نصف قطر الدائرة.

قوانين المساحة

يمكن إيجاد المساحة لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢]

• مساحة المربع = مربع طول الضلع
• مساحة المستطيل = الطول×العرض
• مساحة المثلث = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع.
• مساحة الدائرة = π×(نصف قطر الدائرة).²
• مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العلوية+طول القاعدة السفلية)×الارتفاع)/2.

ويمكن إيجاد المساحة لمجموعة من أشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢]

• مساحة سطح المكعب = 6×طول ضلع المكعب².
• مساحة سطح الأسطوانة = 2×π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة×ارتفاع الأسطوانة.
• مساحة سطح المخروط = π×نصف قطر قاعدة المخروط×الارتفاع الجانبي للمخروط
• مساحة سطح الكرة = 4×π×نصف قطر الكرة²

قوانين الحجم

يمكن إيجاد الحجم لأشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢][٣]

• حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع
• حجم المخروط = (مساحة القاعدة×الارتفاع)/3.
• حجم الدائرة = (4×π×نصف قطر الدائرة³)/3.
• حجم المكعب = طول ضلع المكعب³.
• حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.

أهم قوانين حساب المثلثات

• هناك مجموعة من القوانين الخاصة بعلم المثلثات، ومن أشهرها:^[٣]
  • جيب الزاوية = جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/الوتر.
  • جيب تمام الزاوية = جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية/الوتر.
  • ظل الزاوية = ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/ الضلع المجاور للزاوية.

• أهم المتطابقات المثلثية (حيث: س تمثل قياس الزاوية):^[٣]
  • جا²(س)+ جتا²(س) =1.
  • ظا (س) = جا(س)/جتا(س).
  • 1 + ظا(س)² = 1/جتا²(س).

• قانون جيب التمام (قانون الجتا): إذا كان هناك مثلث مهما اختلف نوعه أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإن طول الضلع أ يعطى بالعلاقة الآتية:^[٣]
  • أ² = ب²+جـ²- 2×ب×جـ×جتا أَ، حيث أَ هي الزاوية المقابلة للضلع أ.

• قانون الجيب : مثلث أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإنّ: جا(أَ)/(أ) = جا(بَ)/ب = جا(جـَ)/جـ، حيث:^[٣]
  • أَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
  • بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
  • جـَ: الزاوية المقابلة للضلع جـ.

• قوانين ضعف الزاوية؛ حيث س تمثل قياس الزاوية:^[٣]
  • جا (2س) = 2×جا(س)×جتا(س).
  • جتا(2س)= جتا²(س) - جا²(س).
  • ظا(2س)= (2 × ظا(س))/(1 - ظا²(س)).

أهم قوانين اللوغارتيمات

هناك مجموعة من القوانين الخاصة باللوغاريتم، ومنها:^[٤]

• إذا كان أ^س = م؛ فإنّ لو_أ م = س.
• لو_أ 1 = 0.
• لو_أ أ = 1.
• لو_أ (م×ن) = لو_أ م + لو_أ ن.
• لو_أ (م/ن) = لو_أ م - لو_أ ن.
• لو_أ م ^ن = ن×لو_أ م.
• لو_أ م = لو_ب م×لو_أ ب.
• لو_ب أ×لو_أ ب = 1.

أهم قوانين الجذور

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، ومنها:^[٥]

• (أ×ب)√^ن = أ√^ن × ب√^ن، حيث دليل الجذر هو ن، وهذا يتضمن جميع الأعداد.
• أ√^ن × ب√^م = (أ ^م×ب ^ن)√ ^م×ن
• (أ/ب)√^ن = أ√^ن / ب√^ن، بشرط أن تكون ب لا تساوي صفر.
• ( أ√^ن) ^ن= أ.
• أ^م√^ن = أ ^(م/ن).
• ( أ√^ن )^م= أ^م√^ن.

أهم قوانين الأسس

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسس، وهي:^[٣]

• في حالة الضرب:
  • أ ^م×أ ^ن = أ ^(م+ن)
  • أ ^م×ب ^م = (أ×ب) ^م
• في حالة القسمة:
  • أ^م÷أ^ن = أ ^(م-ن)
  • أ ^م÷ب ^م = (أ÷ب)^م
• الأس المرفوع لأس آخر:
  • (أ ^م)^ب = أ ^(م×ب)
• الأس المرفوع لقوة تساوي صفر:
  • أ ⁰ = 1
• الأس السالب:
  • أ ^-ن = (1/أ)^ن
• الأس المرفوع لكسر:
  • أ ^(ب/جـ) = أ^ب√^جـ

أهم قوانين الجمع

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الجمع؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:^[٦]

• العنصر المحايد لعملية الجمع: ويساوي صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للعدد صفر يعطي العدد نفسه؛ أي أ+0 = أ.
• النظير أو المعكوس الجمعي: وهو معكوس العدد الذي ينتج عن إضافته للعدد ناتجاً يساوي صفر؛ أي النظير أو المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ؛ وذلك لأنّ (أ)+(-أ) = 0.
• الخاصية التجميعية: وتعني أن (أ+ب)+جـ تساوي أ+(ب+جـ)؛ أي أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الجمع.
• الخاصية التبديلية لعملية الجمع: وتعني أنّ أ+ب = ب+أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الجمع.

ملاحظة: عملية الطرح (أ-ب) تعني: أ+(-ب).

أهم قوانين الضرب

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الضرب؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:^[٦]

• العنصر المحايد لعملية الضرب: يساوي 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في العدد 1 يُعطي العدد نفسه؛ أي أنّ: أ×1 = أ.
• النظير أو المعكوس الضربي: يتمثّل بمقلوب العدد، وهذا يعني أن النظير الضربي للعدد أ يساوي 1/أ بشرط أن تكون أ لا تساوي صفراً؛ وذلك لأن الإجابة في هذه الحالة تصبح قيمة غير معرّفة، وحاصل ضرب العدد بمعكوسه يُطعي دائماً القيمة 1؛ أي أنّ: أ×(1/أ) = 1.
• الضرب في العدد صفر: إنّ ضرب أي عدد في صفر يُعطي إجابة صفر؛ أي أنّ: أ×0 = 0.
• الخاصية التجميعية: وهذا يعني أنّ: (أ×ب)×جـ تساوي أ×(ب×جـ)؛ أي أنّ تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثّر على نتيجة عملية الضرب.
• الخاصية التبديلية: وهذا يعني أنّ: أ×ب = ب×أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الضرب.
• قانون التوزيع: وهو ينصّ على أنّ: أ×(ب+جـ) = أ×ب+أ×جـ.

ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية القسمة من خلال عملية الضرب كما يلي: أ/ب = أ×(1/ب).

أهم قوانين الكسور

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية ضرب، وجمع، وطرح، وقسمة الكسور:^[٧]

• جمع الكسور: أ/ب + جـ/د = (أ×د + ب×جـ)/(ب×د).
• طرح الكسور: أ/ب - جـ/د = (أ×د - ب×جـ)/(ب×د).
• ضرب الكسور: أ/ب × جـ/د = (أ×جـ)/(ب×د).
• قسمة الكسور: أ/ب ÷ جـ/د = (أ×د)/(ب×جـ).

أهم قوانين حساب الفائدة

يمكن حساب الفائدة حسب نوعها باستخدام القوانين الآتية:^[٨]

قانون الفائدة المركّبة: م=ب×(1+ف/ت)^ن×ت،

حيث أن:

• ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه، أو استثماره.
• م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة إليه بعد مرور مدة القرض، أو الاستثمار.
• ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها على شكل عدد عشري.
• ت: عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة.
• ن: مدة القرض، أو الاستثمار بالسنوات.

قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض×نسبة الفائدة السنوية×عدد السنوات.^[٩]

أهم قوانين الإحصاء

تُستخدم هذه القوانين لمعرفة مدى ابتعاد القيم في عينة ما عن القيمة الصحيحة، أو عن بعضها البعض، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الإحصاء:[١٠]

• الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها.
• الانحراف المعياري = ((القيمة - الوسط الحسابي)²∑/(عدد القيم-1))√
• المدى = أعلى قيمة - أقل قيمة.
• التباين = مربع الانحراف المعياري.

أهم قوانين التكامل

فيما يلي أهم القوانين التي تُستخدم بكثرة في علم التكامل:^[٧]

• ∫ س ^ن ءس = (س^(ن+1)/ (ن+1))+جـ؛ حيث جـ هو أي عدد ثابت، ويُكتب دائماً إذا كان التكامل غير محدود، ءس تعني أن التكامل بدلالة المتغير س، وتقرأ (دال السين).
• ∫ (1/ س ^ن) ءس = -1/((ن-1)×س ^(ن-1))+جـ.
• ∫(1/س) ءس = لوس+جـ
• ∫هـ ^س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري وهو عدد ثابت.
• ∫ أ^س ءس = أ^س/ لوأ + جـ.
• ∫جاس ءس = -جتاس+جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
• ∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.

أهم قوانين الاشتقاق

إن الاشتقاق يمثّل العملية العكسية للتكامل، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الاشتقاق:^[١١]

• اشتقاق الاقتران الثابت (ص= جـ) يساوي 0؛ أي أنّ: ءص/ءس (جـ) = 0، وهذه الإشارة (ءص/ءس) تدل على عملية الاشتقاق، وتعني أن اشتقاق الاقتران ص بدلالة س، وتُقرأ (دال الصاد على دال السين).
• اشتقاق الاقتران الخطي مثل ق (س)= س، قَ(س)= 1، أو بشكل عام اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
• اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، قَ(س)= 2س.
• اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س)= (س)√، قَ(س) = (1/2)×س^(-1/2).
• اشتقاق الأس مثل:
  • ق(س)=هـ ^س، قَ(س)= هـ ^س.
  • ق (س) = أ^س، قَ(س)= لو_هـ أ×أ^س.
• اشتقاق اللوغاريتم مثل:
  • ق(س)= لو_هـ (س)، قَ(س)= 1/س.
  • ق(س)= لو_أ (س)، قَ(س)= 1/(س×لو_هـ (أ)).
• اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا)؛ حيث س تمثل أي زاوية:
  • ق(س)= جاس، قَ(س) = جتاس.
  • ق(س)= جتاس، قَ(س) = -جاس.
  • ق(س)= ظاس، قَ(س) = قا²س.
• اشتقاق الأس:
  • ق(س)= س ^ن، قَ (س) = ن×س^(ن-1)؛ حيث ن: هي ن تمثل الأس.

أهم قوانين المتباينات

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بالمتباينات:^[١٢]

• إذا كان أ < ب، فإنّ (أ - جـ) < (ب - جـ).
• إذا كان أ < ب، فإنّ (أ + جـ) < (ب + جـ).
• إذا كان أ < ب، و جـ عدد موجب، فإنّ (أ × جـ) < (ب × جـ).
• إذا كان أ < ب، و جـ عدد موجب، فإنّ (أ / جـ) < (ب / جـ).
• إذا كان أ < ب، و جـ عدد سالب، فإنّ (أ × جـ) > (ب × جـ).
• إذا كان أ < ب، و جـ عدد سالب، فإنّ (أ / جـ) > (ب / جـ).

قانون المسافة بين نقطتين

يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و(س2، ص2) باستخدام القانون الآتي:^[٧]

المسافة بين نقطتين = [(س2-س1)²+(ص2-ص1)²]√

قانون ميل المستقيم

يعبّر الميل عن مدى انحراف الخط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن التعبير عنه باستخدام مجموعة من القوانين، وهي:^[٧]

• الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثّل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم، ومحور السينات الموجب.
• لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و (س2، ص2) تقعان على الخط المستقيم فإنّ الميل = فرق الصادات/فرق السينات أي أن؛ الميل= (ص2-ص1) / (س2-س1).
• المعادلة التي تكون على صورة: ص=أس+ب، فإنّ الميل يساوي معامل س؛ أي: الميل=أ.

قانون نظرية فيثاغورس

يُستخدم هذا القانون في المثلث قائم الزاوية، وينص على أنّ: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة أي:^[١٣]

الوتر² = ضلع القائمة الأول² + ضلع القائمة الثاني²

ويشكّل أحد ضلعي القائمة قاعدة المثلث، أما الضلع الآخر فيتمثل بالضلع الآخر العمودي عليها.

قانون النسبة المئوية

يُمكن حساب النسبة المئوية بالقانون التالي:^[١٤]

النسبة المئوية = (العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له ÷ العدد الكلي) × 100%

وبالرموز:

ن= (أ/ ب) × 100%

حيث أنّ:

• ن: مقدار النسبة المئوية.
• أ: العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له.
• ب: العدد الكلي.

المراجع

1. ↑ "Perimeter Formulas", www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Math Formulas", byjus.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} "List of math formulas", www.matematica.pt, Retrieved 16-6-2020. Edited.
4. ↑ "Basic Math Formulas", www.math-only-math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
5. ↑ " Math Formulas ", www.dxl.co.za, Retrieved 16-6-2020 (page 25). Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Basic Identities", www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب ت ث} "MATH FORMULAS", www.onlinemath4all.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
8. ↑ "The Compound Interest Equation", www.math.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
9. ↑ "Interest (An Introduction)", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
10. ↑ "Maths Formula Sheets", www.cuemath.com, Retrieved 17-6-2020.
11. ↑ "Derivative Rules", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
12. ↑ "Rules for Operations on Inequalities", dummies, Retrieved 8-9-2021. Edited.
13. ↑ "Pythagorean Theorem Formula", byjus.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
14. ↑ "Percentage Calculator", percentagecal, Retrieved 8-9-2021. Edited.