ارتفاع مثلث متساوي الساقين

حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

سُمّي المثلث متساوي الساقين بهذا الاسم لاحتوائه على ضلعين متساويين في الطول، كما تكون زوايا قاعدته متساوية أيضاً، ويمكن قياس ارتفاع المثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Height) الذي يُعرف بأنه القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلث وقاعدته، وتكون عمودية على القاعدة، باستخدام عدة قوانين رياضية، مثل: قانون مساحة المثلث، ونظرية فيثاغورس، وقانون هيرون، وذلك كما يأتي.^[١]

باستخدام قانون مساحة المثلث

يمكن حساب ارتفاع المثلث بواسطة قانون مساحة المثلث إذا عُلِمت مساحته وطول قاعدته، حيث إنّ:^[١]

• مساحة المثلث= ½ × طول القاعدة × الارتفاع، وبترتيب المعادلة ينتج أن: ارتفاع المثلث=(2×مساحة المثلث)/طول قاعدة المثلث؛ وبالرموز: ع=(2×م)/ق؛ حيث:
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • م: مساحة المثلث.
  • ق: قاعدة المثلث.

فمثلاً لو كان هناك مثلث طول قاعدته 20 سم، ومساحته 120سم²، فإن ارتفاعه من العلاقة السابقة وبتعويض القيم فيها هو:

• 120= ½×20×الارتفاع، وبحل المعادلة ينتج أن الارتفاع=12سم.

باستخدام نظرية فيثاغورس

تختص نظرية فيثاغورس بالمثلث قائم الزاوية، ويمكن استخدامها لمعرفة أطوال أضلاع المثلث متساوي الساقين إذا عُلم طول قاعدته، وطول أحد ضلعيه المتساويين، وذلك عن طريق اتباع الخطوات الآتية:^[٢]

• إسقاط عمود من رأس المثلث متساوي الساقين على قاعدته، لتنصيف قاعدته والحصول على مثلثين قائمي الزاوية ومتطابقين.
• اعتبار أن طول أحد ساقي المثلث هو طول الوتر.
• اعتبار أن طول قاعدة المثلث قائم الزاوية هو طول نصف قاعدة المثلث متساوي الساقين.
  • تطبيق قانون نظرية فيثاغورس، وهو: (الوتر أو طول أحد ساقي المثلث المتساويتين)²= (طول نصف القاعدة)²+ (الارتفاع)²، وبترتيب المعادلة يمكن الحصول على القانون الآتي: الارتفاع=الجذر التربيعي لـ (مربع طول الساق-مربع طول القاعدة/4)، وبالرموز: ع= (أ²-ب²/ 4)√؛ حيث:^[٣]
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • أ: طول إحدى ساقي المثلث متساوي الساقين.
  • ب: طول القاعدة.

فمثلاً لحساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين طول قاعدته 12سم، وطول أحد ساقيه المتساويتين 20سم يجب التعويض بالقيم المُعطاه في قانون نظرية فيثاغورس لينتج أن:

• 20²=6²+الارتفاع²، ومنه الارتفاع=19سم
• أو التعريض في الصيغة: ع= (أ²-ب²/ 4)√، لينتج أن ع= (20²-12²/ 4)√= 19سم.^[٤]

باستخدام قانون هيرون

يُمكن حساب مساحة المثلث بواسطة صيغة هيرون (بالإنجليزية: Heron's Formula) إذا عُلِمت أطوال أضلاعه الثلاثة، وبعد حساب قيمة المساحة يمكن استخدامها وتعويضها في قانون مساحة المثلث لمعرفة ارتفاعه.^[٥] وقانون مساحة المثلث وفق صيغة هيرون هو: مساحة المثلث= (س(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√؛ حيث إنّ:

• س: قيمة منتصف محيط المثلث؛ أي مجموع أطوال أضلاع المثلث مقسوماً على 2، وبالرموز: س=(أ+ب+ج/2).
• أ: طول الضلع الأول.
• ب: طول الضلع الثاني.
• ج: طول الضلع الثالث.

فمثلاً لحساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين طول قاعدته 12سم، وطول أحد ساقيه المتساويتين 20سم، يمكن التعويض في الصيغة السابقة لينتج أن:

• س=(أ+ب+ج/2)=(12+20+20)/2=26سم
• مساحة المثلث=(س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√=(26×(26-12)×(26-20)×(26-20))√=114.5سم².
• حساب ارتفاع المثلث من خلال التعويض في قانون المساحة: ع=(2×م)/ق=(2×114.5)/12=19سم.

أمثلة حول حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

• المثال الأول: إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 12سم، ومساحته 42سم²، جد ارتفاعه.^[٦]

الحل:

• باستخدام القانون: ع=(2×م)/ق، ومنه ع=(2×42)/12=7سم.

• المثال الثاني: إذا كان طول محيط مثلث متساوي الساقين 22سم، وكان طول قاعدته يقل بمقدار 2سم عن ضعفي طول إحدى ساقيه، جد ارتفاعه.^[٦]

الحل:

• نفترض أن طول ساقي المثلث= س، وطول القاعدة= 2س-2، ثم وباستخدام القانون:
• محيط المثلث متساوي الساقين= 2×طول إحدى الساقين+ طول القاعدة، ينتج أن: 22=2س+2س-2، ومنه س=6سم؛ أي أن طول ساقي المثلث=6سم، وطول قاعدته=2س-2=2(6)-2=10سم.
• باستخدام قانون فيثاغورس، ينتج أن:
• (الوتر أو طول أحد ساقي المثلث المتساويتين)²= (طول نصف القاعدة)²+ (الارتفاع)²، 6²=5²+(الارتفاع)²، ومنه الارتفاع=3.32سم.

• المثال الثالث: إذا كان طول محيط مثلث متساوي الساقين 32سم، وكان طول قاعدته يقل بمقدار 18سم عن ثلاثة أضعاف طول إحدى ساقيه، جد ارتفاعه.^[٦]

الحل:

• نفترض أن طول ساقي المثلث= س، وطول القاعدة= 3س-18
• باستخدام القانون: محيط المثلث متساوي الساقين= 2×طول إحدى الساقين+ طول القاعدة، ينتج أن:
• 32=2س+3س-18، ومنه س=10سم؛ أي أن طول ساقي المثلث=10سم، وطول قاعدته=3س-18=3(10)-18=12سم.
• حساب قيمة س لاستخدام صيغة هيرون لينتج أن: س=(أ+ب+ج/2)، س=(12+10+10)/2=16، ثم تعويض القيم في قانون هيرون، لينتج أن:
• مساحة المثلث= (س(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√= (16(16-10)×(16-10)×(16-12))√=48سم².
• حساب الارتفاع باستخدام القانون: ع=(2×م)/ ق
• لينتج أن: ع=(2×48)/12=8سم.

• المثال الرابع: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 42سم، وطول قاعدته يعادل 3/2ضعف كل ساق من ساقيه، جد ارتفاع هذا المثلث.^[٧]

الحل:

• نفترض أن طول ساقي المثلث= س، وطول القاعدة=3/2س، ثم وباستخدام القانون:
• محيط المثلث متساوي الساقين= 2×طول إحدى الساقين+ طول القاعدة
• 42=2س+3/2س، ومنه س=12سم؛ أي أن طول ساقي المثلث=12سم، وطول قاعدته=3/2س=18سم.
• باستخدام قانون فيثاغورس: (الوتر أو طول أحد ساقي المثلث المتساويتين)²= (طول نصف القاعدة)²+ (الارتفاع)²
• 12²=9²+(الارتفاع)²، ومنه الارتفاع=7.93سم.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Triangles", mathsisfun.com, Retrieved 11-4-2019. Edited.
2. ↑ Stephen La Rocque, " finding the height of a triangle"، mathcentral.uregina.ca, Retrieved 11-4-2019. Edited.
3. ↑ "ISOSCELES TRIANGLE", www.mathematicalway.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
4. ↑ smendyka (22-2-2018), "An isosceles triangle has a base of 12 cm with equal sides of 20 cm each. How do you determine the area of this triangle accurate to the nearest square centimeter?"، socratic.org, Retrieved 11-4-2019. Edited.
5. ↑ "Heron's Formula", www.mathsisfun.com, Retrieved 11-4-2019. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
7. ↑ "The perimeter of an isosceles triangle", www.toppr.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.