الوسط الحسابي في الإحصاء

ما هو الوسط الحسابي؟

ما هي مقاييس النزعة المركزية؟

يعدّ علم "الإحصاء (بالإنجليزية: statistics) العلم المعني بتطوير ودراسة طرق جمع البيانات التجريبية وتحليلها وتفسيرها وتقديمها، وهو مجال متعدد التطبيقات، إذ إنّ له تطبيقات عديدة في جميع المجالات العلمية تقريبًا، كما أن الأسئلة البحثية في المجالات العلمية المختلفة تعمل على تطوير أساليب ونظريات إحصائية جديدة، ويعتمد علماء الإحصاء على مجموعة متنوعة من الأدوات الرياضية والحسابية في تطوير الأساليب ودراسة النظريات التي تقوم عليها هذه الأساليب.^[١]

يندرج المتوسط تحت ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية في علم الإحصاء، وتُعرّف مقاييس النزعة المركزية على أنها مقاييس تعمل على وصف مجموعة كاملة من البيانات بقيمة واحدة تمثل منتصف أو مركز توزيعها، وهناك ثلاثة مقاييس رئيسة للنزعة المركزية، وهي الوسط أو المتوسط (بالإنجليزية: arithmetic mean) والوسيط (بالإنجليزية: Median)‏ والمنوال (بالإنجليزية: Mode)‏.^[٢]

وللوسط ثلاثة أنواع رئيسة، وهي الوسط الحسابي والوسط الهندسي والوسط التوافقي، ويُعرّف الوسط الحسابي على أنه القيمة الوسطية لمجموعة من القيم، أي نسبة مجموع القيم إلى العدد الإجمالي لها، ويستخدم بشكل شائع في العديد من التطبيقات.^[٣]

يندرج الوسط تحت ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية، وهي مقاييس تحاول وصف مجموعة كاملة من البيانات بقيمة واحدة تمثل منتصف أو مركز توزيعها، وللمتوسط في الإحصاء عدة أنواع وهي: الوسط الحسابي، والوسط الهندسي، والوسط التوافقي.

كيف يتم حساب الوسط الحسابي؟

يمثل الوسط الحسابي في الإحصاء، عددًا يتم الحصول عليه بقسمة مجموع قيم البيانات على عددها، ويسمى الوسط أيضًا باسم القيمة المتوسطة، وينقسم الوسط الحسابي إلى:^[٤]

• الوسط الحسابي البسيط
• الوسط الحسابي الموزون

يدل الوسط الحسابي البسيط الذي يُشار إليه أيضًا بالوسط الحسابي، على القيمة الوسطية لمجموعة من القيم، ويُحسب عن طريق قسمة ناتج مجموع القيم في مجموعة من البيانات على عددها، وتُكتب معادلته كما يأتي:^[٤]

الوسط الحسابي البسيط = مجموع قيم البيانات / عدد البيانات.

فعلى سبيل المثال، في مجموعة بيانات مكونة من 1، 2، 3، 4، 5، يُحسب الوسط الحسابي ​​عن طريق جمع القيم (1 + 2 + 3 + 4 + 5) والقسمة على العدد الإجمالي لها (5)، أي 15/5، ويساوي 3^[٢]، ولإيجاد متوسط ​​عمر الطلاب في الصف الدراسي، فتتم إضافة أعمار جميع الطلاب الموجودين في الصف الدراسي ثم قسمة المجموع على إجمالي عدد الطلاب الموجودين في الصف الدراسي.^[٣]

أما الوسط الحسابي الموزون فهو متوسط يُحسب عن طريق إعطاء أوزان مختلفة لبعض القيم الفردية، حيث تساهم قيم البيانات ذات الوزن المرتفع في الوسط الموزون أكثر من القيم ذات الوزن المنخفض، وإذا كانت جميع الأوزان متساوية فإن الوسط الحسابي الموزون يساوي الوسط الحسابي البسيط، وتُكتب معادلته كما يأتي:^[٥]

الوسط الحسابي الموزون=مجموع ناتج ضرب القيم في الأوزان / عدد الأوزان.

الوسط الحسابي الموزون= (س₁*و₁ + س₂*و₂ + ... + س_ن*و_ن) / (و₁ + و₂ + ...+ و_ن).

حيث إنّ: س: قيمة من قيم المجموعة.

ن: عدد قيم المجموعة.

و: الوزن لكل قيمة من قيم المجموعة.

يشبه الوسط الحسابي الموزون الوسط الحسابي البسيط، فهو يمثل المتوسط الموزون لعينة من البيانات، ويتم حسابه عند تقديم البيانات بطريقة مختلفة مقارنًة مع تقديمها في حساب المتوسط الحسابي البسيط، ومن الجدير بالذكر أنه لا يمكن للأوزان أن تكون قيمًا سالبة، وقد يكون بعضها صفراً، ولكن ليس جميعها؛ لأن القسمة على صفر غير مسموح بها، ويلعب الوسط الحسابي الموزون دورًا مهمًا في أنظمةتحليل البيانات وحساب التفاضل والتكامل الموزون.^[٥]

للوسط الحسابي نوعان؛ الوسط الحسابي البسيط، والوسط الحسابي الموزون، يعد الوسط الحسابي البسيط - ويُشار إليه أيضًا بالوسط الحسابي أو القيمة المتوسطة - أكثر شيوعًا واستخدامًا، ويتم حسابه عن طريق قسمة مجموع قيم المجموعة على عدد القيم في المجموعة.

أمثلة على حساب الوسط الحسابي

بعد التعرف على الوسط الحسابي وعلى أنواعه ومعرفة كيفية حسابه، فيما يأتي أمثلة توضيحيه عن كيفية استخدامه وحسابه:

المثال الأول

لإيجاد الوسط الحسابي للقيم 1،2،4،5، تطبق الخطوات الآتية:^[٦]

1. إيجاد ناتج مجموع القيم: 1+2+4+5 = 12.
2. إيجاد عدد القيم: 4 .
3. قسمة ناتج مجموع القيم على عددها: 12/4 = 3، إذن الوسط الحسابي يساوي 3.

المثال الثاني

لإيجاد الوسط الحسابي للقيم 3, −7, 5, 13, −2، تطبق الخطوات التالية:^[٧]

1. إيجاد ناتج مجموع القيم: -2+13+5-7+3 = 12.
2. إيجاد عدد القيم: 5 .
3. قسمة ناتج مجموع القيم على عددها: 12/5 = 2.4، إذن الوسط الحسابي يساوي 2.4.

المثال الثالث

أراد شخص ما أن يستثمر في أسهم شركة أبل Apple Inc، وللتأكد من أن هذا الاستثمار سيجلب له عائدًا كبيرًا، قرر التحقق من أداء السهم في الأشهر الماضية، إذ قام بإيجاد متوسط ​​سعر سهم أبل للأشهر الخمسة الماضية من كانون الثاني 2018 إلى حزيران 2018، ولخص البيانات أسعار الأسهم ونسبة العائدات في الجدول أدناه:^[٨]

1. إيجاد ناتج مجموع القيم (وهي نسبة العائدات): - 1.07% + 6.39% - 5.42% - 1.5% + 13.07% - 0.56% = 10.91%
2. إيجاد عدد القيم: 6 .
3. قسمة ناتج مجموع القيم على عددها: 10.91% / 6 = 1.82%، إذن الوسط الحسابي يساوي 1.82%.

المثال الرابع

حصل 10 طلاب في صف دراسي ما على متوسط علامات يساوي 70، بينما حصل 15طالب على متوسط علامات يساوي 80، ما الوسط الحسابي لعلامات الصف الدراسي بأكمله؟^[٩]

لإيجاد الوسط الحسابي للصف الدراسي بأكمله، تُطبق الخطوات الآتية:

1. لإيجاد مجموع علامات الـ10 طلاب، يتم إيجاد ناتج ضرب المتوسط الحسابي في 10 طلاب: 70*10=700
2. لإيجاد مجموع علامات الـ15 طالب، يتم إيجاد ناتج ضرب المتوسط الحسابي في 15 طالب: 80*15=1200
3. بعد ذلك، يتم إيجاد عدد طلاب الصف بأكمله، وهو مجموع الـ10 طلاب والـ15 طالب: 10+15=25
4. قسمة ناتج مجموع القيم على عددها: (700+1200) / 25 = 76، إذن الوسط الحسابي يساوي 76.

المثال الخامس

إذا كان الوسط الحسابي لعدد من القيم يساوي 6 أرقام هو 20، ثم تم إزالة أحد هذه الأرقام، فأصبح الوسط الحسابي للأرقام المتبقية يساوي 15، ما قيمة الرقم الذي تمت إزالته؟^[٩]

لإيجاد قيمة الرقم الذي تمّت إزالته، تُطبق الخطوات الآتية:

1. باستخدام معادلة المتوسط الحسابي = مجموع القيم/ عددها، نجد مجموع القيم القديمة التي عددها يساوي 6 قيم: 6*20=120.
2. ثم باستخدام نفس المعادلة في الأعلى، نجد مجموع القيم الجديدة التي عددها يساوي 5 قيم: 15*5= 75.
3. بعد ذلك، يتم إيجاد قيمة الرقم الذي تمت إزالته عن طريق طرح مجموع الأرقام الستة القديمة من مجموع الأرقام الخمسة المتبقية: 120-75= 45
4. إذن قيمة الرقم الذي تمت إزالته يساوي 45.

وبطريقة أخرى:

يتم إعطاء قيمة الرقم الذي تمت إزالته الرمز "س"، وباتباع المعادلة الآتية يتم إيجاد س:

((6*20)-س) / 5 = 15، ومنها س=45

استُخدم في هذه المعادلة، معادلة الوسط الحسابي الرئيسة، إذ تم إيجاد مجموع القيم الجديدة عن طريق طرح قيمة (س) وهي قيمة الرقم الذي تمت إزالته من مجموع القيم القديمة (20*6=120)، ثم قسمتها على عدد القيم الجديدة التي تساوي 5.

ما أبرز خصائص الوسط الحسابي؟

هل يتأثر الوسط الحسابي بالقيم المتطرفة؟ يندرج الوسط الحسابي تحت ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية، فهو من أكثر المقاييس شيوعًا، كما أنه أبسطها للفهم والحساب، وفيما يلي ذكر لأهم خصائص الوسط الحسابي:

• يتأثر الوسط الحسابي بقيمة كل عنصر في مجموعة البيانات.^[٤]
• لا يتغير الوسط الحسابي بتغيير موضع القيم في مجموعة البيانات.^[٤]
• يساوي المجموع الجبري لانحرافات قيم المجموعة المختلفة عن الوسط الحسابي صفر.^[٤]
• يساوي مربع المجموع الجبري لانحرافات القيم عن المتوسط ​​الحسابي أقل قيمة ممكنة.^[١٠]
• يتأثر الوسط الحسابي بالقيم التي تكون أكبر أو أصغر بشكل ملحوظ، أو ما يسمى بالقيم المتطرفة.^[٤]
• لا يستخدم الوسط ​​الحسابي في التوزيعات غير المتكافئة.^[٤]
• عند إضافة عدد ثابت إلى جميع قيم المجموعة، سيزداد الوسط الحسابي بمقدار قيمة هذا الثابت.^[١١]
• إذا تم طرح عدد ثابت من جميع قيم المجموعة، فإن الوسط الحسابي للقيم الجديدة سيكون ناتج طرح العدد الثابت من قيمة الوسط الحسابي الأصلي.^[١١]
• إذا تم ضرب جميع قيم المجموعة في عدد ثابت، فإن الوسط الحسابي للقيم الجديدة سيكون حاصل ضرب قيمة الوسط الحسابي الأصلي في العدد الثابت.^[١١]
• إذا استُبدلت جميع قيم المجموعة بالوسط الحسابي، فإن المجموع الكلي لهذه القيم الجديدة سيكون مساويًا لمجموع القيم الأصلية في المجموعة.^[٤]
• في بعض الحالات، لا يمثل الوسط الحسابي عددًا صحيحًا، على سبيل المثال، يبلغ متوسط ​​عدد المرضى الذين يدخلون المستشفى 10.7 يوميًا، إذ لا يشترط للوسط الحسابي أن يكون عدداً صحيحاً.^[٤]

يتأثر الوسط الحسابي بقيمة كل عنصر في مجموعة البيانات، ولا يتغير بتغير موضع القيم في نفس المجموعة، ويتأثر بشكل كبير بالقيم المتطرفة، وهي القيم التي تكون أكبر أو أصغر بشكل ملحوظ من معظم القيم، ولا يشترط أن تساوي قيمته لأي قيمة من قيم المجموعة.

المراجع

1. ↑ "what is statistics", UCIs Department of Statistics. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "measures of central tendency", better evaluation. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "mean", byjus. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ د ذ} "arithmetic mean", byjus. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "weighted mean formula", byjus. Edited.
6. ↑ "Mean, median, and mode review", khanacademy.. Edited.
7. ↑ "how to find the mean", mathsisfun. Edited.
8. ↑ "What is Mean?", corporate finance institute. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Math Statistics: Mean"، online math learning. Edited.
10. ↑ "Mean and its Properties", toppr, Retrieved 2020-11-16. Edited.
11. ^ ^{أ ب ت} "Mean, Variance and Standard Deviation", geeksforgeeks, Retrieved 2020-11-16. Edited.