تحليل القوس التكعيبي

طريقة تحليل القوس التكعيبي

يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)³، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)³= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[١]

• ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
  • (أ+ب)×(أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب)×(أ+ب) = أ²+2×أ×ب+ب².
  • (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول - 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ²-2×أ×ب+ب².
• ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ+ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ+ب) × (أ²+2×أ×ب + ب²)= أ³+3×أ²×ب + 3×أ×ب² + ب³.
• بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
  • (أ+ب)³ = (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³+(3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
  • (أ-ب)³ = (مكعب الحد الأول) - (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) - (مكعب الحد الثاني) = أ³ - (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) - ب³.

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

وفيما يأتي بعض الأمثلة على تحليل القوس التكعيبي:

• المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س+1)³.^[٢]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س³+3س²+ 3س+1

• المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)³.^[٢]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ³-6أ²ب +12أ×ب²-8ب³.

• المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س+ص)³ + (س-ص)³.^[٢]
  • الحل:
  • بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
    • (س+ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³.
    • (س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) - ص³.
    • (س+ص)³ + (س-ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³ + س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) - ص³ = 2س³ + 6×س×ص².

• المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س+1)³.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
    • (2س+1)³ = 8س³ + 12س² + 6س+ 1.

• المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
    • (2س-3ص)³ = 8س³ - 36س²ص+ 54س ص² - 27ص³.

الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ³- ب³)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)³؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:^[٤]

• فتح قوسين: في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
• وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ² + أ×ب + ب²): حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
  • (أ³- ب³) = (أ-ب)(أ² + أ×ب + ب²).
  • (أ³+ب³) = (أ+ب)(أ² - أ×ب + ب²).

• مثال: حلّل ما يلي: (س³-8).^[٤]
  • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س²+2س+4).

• مثال: حلّل ما يلي: 27ص³+س³.^[٤]
  • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص+س)(9ص²-3س ص+س²).

المراجع

1. ↑ "Binomial Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-3-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Applying the Perfect Cube Identity", www.brilliant.org, Retrieved 8-6-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Polynomials Basic", www.web-formulas.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} "Sum and Difference of Cubes", www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.