محتويات
طريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية
تكون المعادلة التفاضلية متجانسة، عندما يكون أحد أطراف المعادلة يساوي صفراً ، كالآتي:[١]
A d2y/dx2 + B dy/dx + C y = 0
ويتم حل المعادلة الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية من خلال استعمال خاصية مميزة من خصائص اشتقاق الدالة الأسية، وهي أنه عند أي نقطة يكون ميل (مشتقة ) الدالة الأسية ex يساوي قيمة الدالة الأسية ex، وبناءً على ذلك يتم حل المعادلة، وإن حل المعادلة العام يتكون من حلين يحتويان على الدالة الأسية .
يتم إيجاد حل المعادلة باستخدام الخطوات الآتية:
1- يتم فرض أن:
y = erx
2- إيجاد المشتقة الأولى والثانية للاقتران.
dy/dx = r erx
d2y/dx2 = r2 erx
3-تعويض المشتقة الأولى والثانية في المعادلة الأصلية.
4-إيجاد جذري المعادلة التربيعية الناتجة.
5-تعويض جذري المعادلة في الاقتران الذي تم فرضه.
6- ويكون الحل العام للمعادلة عبارة عن حاصل جمع المقدارين معاً كالآتي:
y = A e2x + B e−3x
أمثلة على حل المعادلة التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية
فيما يلي أمثلة متنوعة على حل المعادلة المتجانسة التفاضلية من الدرجة الثانية مع حل كل من هذه الأمثلة:
مثال 1:
d2y/dx2 + 5 dy/dx + 6 y = 0
حل مثال 1:
r2 erx + 5 r erx + 6 erx = 0
erx ( r2 + 5 r + 6 ) = 0
r2 + 5 r + 6 = 0
( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0
r = -2
أو
r = -3
y = C1 e-2x + C2 e-3x
مثال 2:
d2y/dx2 - 8 dy/dx + 16 y = 0
حل مثال 2:
r2 erx - 8 r erx + 16 erx = 0
erx ( r2 - 8 r + 16 ) = 0
r2 - 8 r + 16 = 0
( r -4 ) ( r -4 ) = 0
r = 4
أو
r = 4
y = C1 e4x + C2 e4x
مثال 3:
9d2y/dx2 + 12 dy/dx + 29 y = 0
حل مثال 3:
9r2 erx + 12 r erx + 29 erx = 0
erx ( 9 r2 + 12 r + 29 ) = 0
9r2 + 12 r + 29 = 0
r = - ( 2/3 ) + ( 5/3 )i
أو
r = - ( 2/3 ) - ( 5/3 )i
y = e( -2/3 )x [ A sin ( 5/3 ) x +B cos ( 5/3 )x ]
المراجع
- ↑ "Second Order Differential Equations", mathsisfun, Retrieved 9/2/2022. Edited.
