خواص الدالة الخطية

خواص الدوال الخطية

يوجد ثلاثة معايير أساسية تعبر عن الدالة الخطية بشكل عام عن غيرها من الدوال الرياضية الأخرى، فهي تحتوي على متغيرين فقط، وجميع القوى فيها من الدرجة الأولى، ويتنج عنها رسماً بيانياً بخط مستقيم،^[١] وفيما يأتي أبرز خواص الدوال الخطية:

الرسم البياني خط مستقيم

تشكل جميع نقاط الأزواج المرتبة التي تجعل الدالة الخطية صحيحة خطاً مستقيماً في الرسم البياني، ويمكن هنا وصف الدالة الخطية في متغيرين كعلاقة خطية بين

س و ص أي متغيرين تعتمد قيمة أحدهما ص على الآخر س ( لكل قيمة س هناك قيمة واحدة مقابلة لـ ص )، وبالتالي يكون س هو المتغير المستقل ويتم رسمه على طول المحور الأفقي و ص هو المتغير التابع.^[٢]

ميل الدالة الخطية

يُعرف معدل تغير الدالة الخطية بالمنحدر أو الميل وعادة ما يتم تمثيله بالحرف م، وهو عبارة عن نسبة التغيير الرأسي بين نقطتين إلى نسبة التغيير الأفقي بين نفس النقطتين، (س1، ص1) تمثل النقطة الأولى و(س2، ص2) تمثل النقطة الثانية، ورياضياً الميل يكون كالآتي:^[٣]

م = (ص2 - ص1) / (س2 - س1)

كما تجدر الإشارة إلى أنه يجب وضع الإحداثيات بالترتيب نفسه في كل من البسط والمقام وإلا ستكون نتيجة حساب الميل خاطئة.^[٣]

التزايد والتناقص والثبات للدالة الخطية

تكون الدالة الخطية متزايدة أو متناقصة أو ثابتة ويحدد ذلك ميل الدالة الخطية في الرسم البياني، فالدالة المتزايدة يكون ميلها موجباً م >0، والخط المستقيم الناتج يميل لأعلى من جهة اليسار إلى اليمين، أما بالنسبة للدالة الخطية المتناقصة فيكون ميلها سالباً م <0، وخطها يميل لأسفل من جهة اليسار إلى اليمين في الرسم البياني، والدالة الخطية الثابتة يكون ميلها صفراً 0 وبالتالي يكون الخط المستقيم بشكل أفقي.^[٤]

مجال ومدى الدالة الخطية أعداد حقيقية

مجال الدالة الخطية يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية ح في س، ومدى الدوال الخطية هو أيضاً المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية ح في ص، وذلك ما لم يذكر أي حالة استثنائية أو أن يكون الميل صفراً فإن الدالة الخطية بهذه الحالة خط أفقي أي ص = ب فيكون المجال ح والمدى هو المجموعة ب.^[٥]

صيغة الدالة الخطية

تعرف الدوال الخطية بأنها معادلات جبرية بخطوط مستقيمة والصيغة العامة لها كالآتي:^[٦]

ق(س) = م × س + ب

حيث إن:

ق(س): المتغير التابع.

م: الميل أو المنحدر.

س: المتغير المستقل وله أس من الدرجة الأولى.

ب: الجزء المتقاطع مع محور الصادات.

تمثيل الدالة الخطية بأشكال مختلفة

يوجد طرقاً متعددة لتمثيل الدالة الخطية منها ما يأتي:^[٧]

• الصيغة الجبرية

بتعويض كل من قيمة م و ب في المعادلة (ص = م × س + ب).

• طريقة الرسم البياني

تتضمن إيجاد نقطتين (س، ص) اللتين تحققان معادلة الدالة الخطية ثم تعيين النقطتين على الرسم البياني ثم وصل النقطتين بخط مستقيم.

• الجدول

يتم التحقق من الدالة الخطية بفحص قيمتي س و ص ويكون معدل تغير ص إلى معدل تغير س ثابتاً في الجدول.

تطبيقات الدالة الخطية في الحياة

يمكن استخدام الدالة الخطية في حل المشكلات المختلفة التي تواجهنا في الحياة اليومية، على سبيل المثال أن تستقل سيارة أجرة وأنت تعلم أن خدمة سيارات الأجرة تتقاضى 9 دولارات لنقل عائلة من فندقك مثلاً، أن 15 دولاراً آخر لكل ميل للرحلة، وهنا يمكن إعداد معادلة خطية نستخدمها لمعرفة تكلفة أي رحلة تاكسي تقوم بها، باستخدام س

لتمثيل عدد الأميال إلى وجهتك و ص لتمثيل تكلفة ركوب التاكسي، وبالتالي المعادلة الخطية هي (ص = 15 × س + 9).

المراجع

1. ↑ ADAM HAYES (30/1/2021), "Linear Relationship Definition", www.investopedia.com, Retrieved 24/1/2022. Edited.
2. ↑ "Teaching Linear Equations in Math", hmhco.com/blog, 29/3/2020, Retrieved 26/1/2022. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "The slope of a linear function", www.mathplanet.com, Retrieved 26/1/2022. Edited.
4. ↑ "Linear Functions", opentextbc.ca, Retrieved 26/1/2022. Edited.
5. ↑ "omain and range of linear functions", www.mechamath.com, Retrieved 10/1/2022. Edited.
6. ↑ "Linear Function", www.cuemath.com, Retrieved 26/1/2022. Edited.
7. ↑ "Linear Functions", www.byjus.com, Retrieved 26/1/2022. Edited.