طريقة حساب الجذر التربيعي

طرق حساب الجذر التربيعي

ما هي الطريقة البابلية لحساب الجذر التربيعي؟

عند محاولة حساب قيمة الجذر التربيعي في الرياضيات لعدد ما يجب معرفة إذا ما كانت قيمة العدد المعطى تدل على مربع كامل أم غير كامل، إذ يمكن حساب قيمة جذور المربعات الكاملة بطريقة التحليل، فمثلًا جذر العدد 47 هو العدد 7؛ لأن 47 = 7 * 7، أما لإيجاد قيمة جذور المربعات غير الكاملة فهنالك عدد من الطرق التي يمكن استخدامها والتي سيتم ذكرها فيما يأتي.^[١]

حساب الجذر التربيعي بالتقريب العام

يمكن حساب قيمة الجذر التربيعي لعدد ما بطريقة التقريب العام من خلال اتباع القانون الآتي:^[٢]

ن√ = (أ + ب)√ = أ√ + (ب / (2*(أ√)+1))

بحيث يمثل:

ن: العدد المراد حساب قيمة جذره التربيعي.

أ: أكبر مربع كامل يمكن جمعه مع ب ليكون الناتج يساوي ن.

ب: عدد حقيقي موجب يمكن جمعه مع أ ليكون الناتج يساوي ن.

حساب الجذر التربيعي بالطريقة البابلية

تعتمد هذه الطريقة على سلسلة من التقديرات التقريبية، ولكن بهذه الطريقة يمكن استخدام ناتج التنبؤ الأول لتحديد العدد التالي الذي يجب استخدامه، كما يمكن تكرار استخدام صيغة القانون حتى يصبح الفرق بين أحد التخمينات وما يليه صغيرًا جدًا بما يناسب حاجة المستخدم، إذ يمكن حساب قيمة الجذر التربيعي لعدد ما بالطريقة البابلية من خلال اتباع القانون الآتي:^[٣]

ن√ = (س + (ن / س)) / 2

بحيث يمثل:

ن: العدد المراد حساب قيمة جذره التربيعي.

س: مربع كامل قريب من قيمة ن.

حساب الجذر التربيعي بطريقة القيمتين الدنيا والقصوى

يمكن حساب الجذر التربيعي بطريقة القيمتين الدنيا والقصوى من خلال عدد من الخطوات:^[٤]

• تحديد العددين الصحيحين الذي يقع ناتج الجذر بينهما.
• تحديد العددين العشريين لأقرب جزء من عشرة الذي يقع ناتج الجذر بينهما.
• تحديد العددين العشريين لأقرب جزء من مئة الذي يقع ناتج الجذر بينهما.

وهكذا إلى أن يصل المستخدم إلى الدقة التي يريدها، ويمكن اتباع القانون العام الآتي لهذه الطريقة:

أ < ن√ < ب

بحيث يمثل:

ن: العدد المراد حساب قيمة جذره التربيعي.

أ: ناتج جذر تربيعي أصغر مربع كامل قريب من ن.

ب: ناتج جذر تربيعي أكبر مربع كامل قريب من ن.

حساب الجذر التربيعي بالتمثيل العشري

تعتمد هذه الطريقة على القسمة الطويلة في تحديد قيمة الجذر التربيعي:^[٥]

• وضع العدد المراد إيجاد قيمة جذره تحت إشارة القسمة الطويلة.
• تقسيم العدد إلى مجموعات مكونة من رقمين بدءًا من الفاصلة العشرية باتجاه اليسار أو العكس.
• البدء بالمجموعة الأولى من اليسار عن طريق إيجاد أكبر عدد (أ) مربعه أقل أو يساوي المجموعة الأولى، ووضعه فوق إشارة القسمة، من ثم وضع المربع تحت أرقام المجموعة وطرحها.
• ضرب الناتج بالعدد 2 الذي سيستخدم في الخطوات التالية في منزلة العشرات من الرقم (د) الذي سيتم إيجاده لاحقًا.

ب = 2 * أ

• إنزال أرقام المجموعة الثانية بجانب باقي طرح المجموعة الأولى لتكوين عدد جديد (جـ).
• إيجاد قيمة أكبر عدد (د) الذي إذا وضع كآحاد العدد (ب) ثم ضرب الناتج في (د) سيكون الناتج أقل أو يساوي العدد (جـ).

جـ ≥ د * (د + 10*ب)

• وضع قيمة (د) فوق إشارة القسمة، وطرح ناتج د * (د + 10*ب) من جـ.
• ضرب الناتج كاملًا بالعدد 2 الذي سيستخدم في الخطوات التالية في منزلة العشرات والمئات من الرقم (د) الذي سيتم إيجاده لاحقًا.
• إنزال أرقام المجموعة الثالثة وهكذا إلى أن يتم الوصول إلى المنزلة العشرية المطلوبة أو الحصول على العدد صفر كقيمة للباقي.

تشمل طرق حساب الجذر التربيعي، طريقة التقريب العام، الطريقة البابلية، طريقة القيمتين الدنيا والقصوى، وطريقة التمثيل العشري.

أمثلة على حساب الجذر التربيعي

كيف يتم حساب الجذر التربيعي بالتمثيل العشري؟

أمثلة على حساب الجذر التربيعي بالتقريب العام

ما هي قيمة الجذر التربيعي للعدد 968؟^[٢]

• إيجاد عددين مجموعهما 968، بحيث يكون أحدهما هو أكبر مربع كامل يمكن استخدامه في عملية الجمع:

968 = 961 + 7

إذ إن 961 هو مربع العدد 31 وهو أكبر مربع كامل أقل من العدد 968.

• تطبيق قانون الجذر التربيعي التابع لطريقة التقريب العام:

ن√ = (أ + ب)√ = أ√ + (ب / (2* (أ√) + 1))

968√ = (961 + 7)√ = 961√ + (7 / (2 * (961√) + 1))

968√ = 31 + (7 / (2 * (31) + 1))

968√ = 31 + (7 / (2 * (31) + 1))

968√ = 31 + (7 / (63))

968√ = 31 + (1 / 9)

968√ = 31 + 0.11

968√ = 31.11

أمثلة على حساب الجذر التربيعي بالطريقة البابلية

قدّر ناتج الجذر التربيعي للعدد 683 لأقرب جزء من عشرة؟^[٣]

• تحديد العددين الذي يقع بينهما ناتج الجذر التربيعي للعدد 683، بحيث يقع الناتج بين العددين 20 و30، بسبب وقوع 683 بين مربعي هذين الرقمين.
• اختيار عدد بين 20 و30 للبدء منه ثم تطبيقه في القانون، فإذا تم اختيار 25 على سبيل المثال:

ن√ = (س + (ن / س)) / 2

683√ = (25 + (683 / 25)) / 2

683√ = (25 + 27.32) / 2

683√ = 26.16

• إعادة استخدام الصيغة ولكن بدءًا بالعدد 26 الناتج من الخطوة السابقة للحصول على دقة أعلى في الإجابة:

ن√ = (س + (ن / س)) / 2

683√ = (26 + (683 / 26)) / 2

683√ = (26 + 26.109) / 2

683√ = 26.135

ناتج الصيغتين لأقرب جزء من عشرة يساوي 26.1، إذن قيمة الجذر التربيعي للعدد 683 لأقرب جزء من عشرة يساوي 26.1

أمثلة على حساب الجذر التربيعي بطريقة القيمتين الدنيا والقصوى

قدر ناتج جذر العدد 3 لأقرب جزء من مئة؟^[٤]

• تحديد العددين الصحيحين الذي يقع ناتج الجذر بينهما:

وهما العددين 1 و2، لأن مربعاتهما هما العددين 1 و4 على التوالي.

1 < 3√ < 2

• تحديد العددين العشريين لأقرب جزء من عشرة الذي يقع ناتج الجذر بينهما:

وهما العددين 1.7 و1.8، لأن مربعاتهما هما العددين 2.89 و3.24 على التوالي.

1.7 < 3√ < 1.8

• تحديد العددين العشريين لأقرب جزء من مئة الذي يقع ناتج الجذر بينهما:

وهما العددين 1.73 و1.74، لأن مربعاتهما هما العددين 2.9929 و3.0276 على التوالي.

1.73 < 3√ < 1.74

وبالتالي فإن ناتج الجذر التربيعي للعدد 3 يساوي تقريبًا 1.73

أمثلة على حساب الجذر التربيعي بالتمثيل العشري

ما هي قيمة الجذر التربيعي للعدد 66564؟^[٥]

• وضع العدد 66564 تحت إشارة القسمة الطويلة.
• تقسيم العدد إلى مجموعات مكونة من رقمين بدءًا من الفاصة العشرية باتجاه اليسار أو العكس.

6،65،64

• إيجاد أكبر عدد مربعه أقل أو يساوي 6 وهو العدد 2 ووضعه فوق إشارة القسمة، من ثم وضع مربعه وهو العدد 4 تحت أرقام المجموعة وطرحها من العدد 6 للحصول على الباقي 2.
• ضرب الناتج 2 بالعدد 2 الذي سيستخدم في الخطوات التالية في منزلة العشرات من الرقم (د) الذي سيتم إيجاده لاحقًا.

ب = 2 * 2 = 4

• إنزال أرقام المجموعة الثانية بجانب باقي طرح المجموعة الأولى لتكوين عدد جديد (جـ).

جـ = 265

• إيجاد قيمة أكبر عدد (د) الذي إذا وضع كآحاد العدد (ب) ثم ضرب الناتج في (د) سيكون الناتج أقل أو يساوي العدد (جـ).

265 ≥ د * (د + 10*4)

265 ≥ د * (د + 40)

بالتجريب: د = 5

• وضع القيمة 5 فوق إشارة القسمة، وطرح ناتج د * (د + 10*ب) الذي يساوي 225 من 265، بحيث سيكون الباقي يساوي 40.

د * (د + 10*4) = 5 * (5 + 10*4) = 225

• ضرب الناتج كاملًا 25 بالعدد 2 الذي سيستخدم في الخطوات التالية في منزلة العشرات والمئات من الرقم (د) الذي سيتم إيجاده لاحقًا.

ب = 25 * 2 = 50

• إنزال أرقام المجموعة الثالثة بجانب باقي طرح المجموعة الأولى لتكوين عدد جديد (جـ).

جـ = 4064

• إيجاد قيمة أكبر عدد (د) الذي إذا وضع كآحاد العدد (ب) ثم ضرب الناتج في (د) سيكون الناتج أقل أو يساوي العدد (جـ).

4064 ≥ د * (د + 10*50)

4064 ≥ د * (د + 500)

بالتجريب د = 8

• وضع القيمة 8 فوق إشارة القسمة، وطرح ناتج د * (د + 10*ب) الذي يساوي 4064 من 4064، بحيث سيكون الباقي يساوي 0.

بحيث سيكون ناتج الجذر التربيعي للعدد 66564 يساوي ناتج القسمة 258.

المراجع

1. ↑ "Square Root", byjus, Retrieved 2020-11-19. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Approximation of Square Roots", brilliant, Retrieved 2020-11-19. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Evaluating Square Roots by Hand", themathdoctors, Retrieved 2020-11-19. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Approximating Square Roots", tamu, Retrieved 2020-11-19. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "square root"، nist، Retrieved 2020-11-19. Edited.