طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية

طرق حل معادلة من الدرجة الثانية

ما هي المعادلة من الدرجة الثانية؟

يمكن تعريف المعادلة من الدرجة الثانية بأنها معادلة جبرية تتمثل بمتغير وحيد، وتسمى بالمعادلة التربيعية (Quadratic Equation) لوجود س²، ويُعتبر البابليون أول من حاول التعامل مع المعادلة التربيعية لإيجاد أبعاد مساحة ما، ثم جاء العربي الخوارزمي المعروف بأبو الجبر حيث ألّف صيغة مشابهة للصيغة العامة التربيعية الحالية في كتابه "حساب الجبر والمقابلة"، والتي تعتبر أكثر شمولية من الطريقة البابلية.^[١]

وتُكتب الصيغة العامة للمعادلة التربعية بـ أس²+ ب س + جـ= صفر ، حيث إنّ:

أ: معامل س² ، حيث أ ≠ صفر، وهو ثابت عددي.

ب: معامل س أو الحد الأوسط، وهو ثابت عددي. جـ : الحد الثابت أو المطلق، وهو ثابت عددي. س : متغير مجهول القيمة.

بذلك يمكن القول أن المعادلة التربيعية تكتب على الصورة العامة أس²+ ب س + جـ= صفر, وأن الثوابت العددية فيها (ب, جـ) من الممكن أن تساوي صفر, وأعلى قيمة للأس في المعادلة التربيعية هو 2 ومعامل (أ) لا يمكن أن يساوي صفر.

وفيما يلي سيتم عرض الطرق المختلفة لحل أي معادلة من الدرجة الثانية:

استخدام القانون العام

يعتبر القانون العام القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية بشرط أن يكون مميزها موجبًا أو صفرًا، والمميز قيمة تحدد عدد جذور المعادلة أو عدد الحلول، وهنا لا بد من عرض القانون العام: ^[٢]

س=( -ب ± (ب² - 4أجـ )√)/2أ

ما المقصود بإشارة (±) في المعادلة السابقة؟

معنى ذلك أنه يوجد جذران أو حلّان للمعادلة كالآتي:

س1=( -ب + (ب² - 4أجـ )√)/2أ

س2=( -ب - (ب² - 4أجـ )√)/2أ

لكن ليس في جميع الأحوال يمكن الجزم بوجود حلّان للمعادلة، فربما يوجد حل وحيد وربما لا يوجد حلول، فالحكم يستند هنا إلى ما يسمّى بالمميز أو Δ حيث إن قانون المميز يساوي:^[٢]

Δ=ب² - 4أجـ ، وعليه:

• إذا كانت قيمة المميز موجبة أي Δ > صفر، فإن للمعادلة حلّان.
• إذا كانت قيمة المميز Δ = صفر ، فإن للمعادلة حل وحيد مشترك.
• إذا كانت قيمة المميز سالبة أي صفر > Δ, فإنه لا يوجد حلول للمعادلة بالأعداد الحقيقية، بل حلان بالأعداد المركبة Complex Numbers.

إذًا القانون العام هو القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية مهما كان شكلها, حيث إن الطرق الأخرى التي سيتم ذكرها يمكن تطبيق معادلاتها وحلها على القانون العام.

التحليل إلى العوامل

تعد هذه الطريقة الأكثر شيوعًا واستعمالاً لسهولة استخدامها، لكن في البداية لا بد من كتابة المعادلة على الصورة القياسية وهي  أس²+ ب س + جـ= صفر حيث:

• إذا كان أ=1، يتم فتح قوسين على شكل حاصل ضرب (س± ) * ( س ± )، وفرض عددين مجموعها يساوي قيمة ب من حيث القيمة والإشارة، وحاصل ضربهما يساوي قيمة جـ الحد الثابت من حيث القيمة والإشارة.^[٣]

• أما إذا كان أ ≠ 1، يتم إيجاد حاصل ضرب أ*جـ يُرمز لهذه القيمة بـ ع, ثم يتم إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ع وفي نفس الوقت مجموعهما يساوي قيمة ب, فعلى سبيل المثال:^[٣]

 4س²+ 15 س + 9= صفر

1. أ=4 , ب=15 , جـ=9 ؛ بعد تحديد قيم العوامل يتم إيجاد حاصل ضرب أ*جـ=4*9=36, ثم إيجاد عددان حاصل ضربهما يساوي 36 وفي نفس الوقت مجموعهما يساوي قيمة معامل س, وهما 12 و3، حيث 3*12=36 ومجموعهما 12+3=15 وهو ما يمثل قيمة ب, ثم يتم استبدال قيمة ب بهاتين القيمتين فتصبح المعادلة كالآتي: 4س²+ 12 س +3 س + 9= صفر:
2. بعد ذلك يُؤخذ العامل المشترك الأكبر لكل حدين بالتجميع كالآتي: 4س (س+3) + 3(س+3)
3. نتج الآن قوسان متشابهان، وبنفس الخطوة السابقة يتم إخراج عامل مشترك: (س+3) * (4س+3)
4. ثم يتم مساواة كل قوس بالصفر ليكون الناتج: س+3=صفر، ومنه س=3، و 4س+3=صفر, ومنه س= 3/4-.

إذًا في التحليل إلى العوامل يتم الاعتماد على معامل س^2 باتباع الخطوات السابقة، وإذا كان بالإمكان القسمة على معامل س^2 لكل الحدود والتخلص منه ستُتبع فقط خطوات الحل المذكورة في بند " إذا كان أ=1 ".

إكمال المربع

وتتمثل هذه الطريقة بكتابة المعادلة على صورة مربع كامل، فمثلًا في معادلة س² - 10س +1= 20- :

يُنقل الحد الثابت (1) إلى الجهة الأخرى لتصبح المعادلة: س² - 10س= 21 -، ثم تُتبع الخطوات الآتية:^[٤]

1. إيجاد قيمة²(2/ب)، فحسب المعادلة السابقة ²(2/ 10- ) = 25
2. إضافة العدد 25 إلى الطرفين س² - 10س+ 25 =21- + 25 ليصبح في الطرف الأيسر مربع كامل، وتصبح المعادلة على شكل س² - 10س+ 25 =4.
3. ثم يتم تحليل الطرف الأيمن، عن طريق التحليل إلى العوامل، ليتم الحصول أيضًا على مربع كامل: (س -5) * (س -5)=4.
4. (س-5)² =4, يؤخذ الجذر التربيعي للطرفين لينتُج حلّان وهما: س-5= +2 أو س-5= -2.
5. وبحل المعادلتين تصبح قيم س= {3,7}.

استخدام الجذر التربيعي

يتم استخدام هذه الطريقة عند عدم وجود الحد الأوسط (ب*س) مثل المعادلة الآتية س² - 1= 24، حيث تُنقل جميع الحدود الثابتة إلى الجهة اليسرى فتصبح المعادلة س² = 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين تصبح قيم س: { +5 , -5 }. ^[٥]

إذًا يٌستخدم الجذر التربيعي في حالة عدم وجود الحد الأوسط.

أمثلة على حل معادلة من الدرجة الثانية

تٌكتب المعادلة التربيعية على الصورة العامة أس²+ ب س + جـ= صفر, وتسمى بالمعادلة التربيعية لأن أعلى قيمة للأسس فيها يساوي 2، ويمكن للثوابت العددية فيها (ب, جـ) أن تساوي صفرًا, ولكن لا يمكن لقيمة (أ) أن تساوي صفر، وفيما يلي أمثلة على المعادلة من الدرجة الثانية وطرق حلها المتنوعة:

أمثلة على استخدام القانون العام

المثال الأول

س² + 4س - 21 = صفر ^[٦]

1. تحديد معاملات الحدود أ=1 , ب=4 , جـ= -21 .
2. وبالتعويض في القانون العام، س= (-4 ± (16- 4 *1*(-21))√)/(2*1).
3. ينتج (-4 ± (100 )√)/2 ومنه (-4 ± 10)/2 = -2± 5.
4. إذًا قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {3, -7} .

المثال الثاني

س² + 2س +1= 0 ^[٧]

1. تحديد المعاملات أ=1, ب=2 ,جـ =1.
2. المميز= (2)^2 - 4*1*1√ = 4- 4√= 0 إذًا هناك حل وحيد لأن قيمة المميز=0 .
3. بالتطبيق على القانون العام، س= (-2 ± (0 )√)/2*1 = 1- .
4. إذًا القيمة التي تكون حلًّا للمعادلة هي :س= {1-}.

المثال الثالث

س² + 4س =5 ^[٨]

1. كتابة المعادلة على الصورة القياسية: س² + 4س - 5= صفر.
2. تحديد المعاملات أ=1، ب=4، جـ =-5.
3. بالتطبيق على القانون العام، س= (-4 ± (16- 4*1*(-5))√)/(2*1).
4. س= (-4 ± (16+20)√)/2 ومنه س= (-4 ± (36)√)/2.
5. س= (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1 أو س= (-4 - 6)/2 = -10/ 2= -5.
6. إذًا قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {-5 ,1} .

أمثلة على التحليل إلى العوامل

المثال الأول

س² - 3س - 10= صفر ^[٩]

1. فتح قوسين وإيجاد عددين حاصل ضربهما =- 10 وهي قيمة جـ، ومجموعهما = -3 وهي قيمة ب, وهما العددين -5, 2.
2. مساواة كل قوس بالصفر: (س- 5)*(س+2)=0.
3. ومنه قيم س التي تكون حلًا للمعادلة هي: {-2 ,5}.

المثال الثاني

س² +5س + 6 =صفر ^[١٠]

1. فتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (س+3)*(س+2)= 0.
2. مساواة كل قوس بالصفر: (س+2)=0، (س+3) = 0.
3. وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-3,-2}.

المثال الثالث

2س² +5س =12 ^[٩]

1. كتابة المعادلة على الصورة العامة: 2س² +5س -12= 0.
2. فتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (2س-3)(س+4)= 0.
3. مساواة كل قوس بالصفر: (2س-3)= 0 أو (س+4)= 0.
4. وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {3/2, -4}

أمثلة على إكمال المربع

المثال الأول

س² + 4س +1= صفر ^[١١]

1. نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر : س² + 4س = -1.
2. إكمال المربع الكامل على الطرف الأيمن بإضافة ناتج العدد (2/ب)²= (4/2)²=(2)²=4.
3. إضافة الناتج 4 للطرفين: س² + 4س+4 = -1+4 لتصبح: س² + 4س+4 = 3.
4. كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع كامل: (س+2)²=3.
5. عند أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س+2= 3√ أو س+2= 3√-
6. بحل المعادلتين الخطيتين، تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {3√+2- , 3√-2-}.

المثال الثاني

5س² - 4س - 2= صفر ^[١١]

1. قسمة جميع الحدود على 5 (معامل س²): س² - 0.8 س - 0.4= صفر.
2. نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س² - 0.8 س = 0.4.
3. تطبيق قاعدة ²(2/ب) = ²(0.8/2) =0.4² = 0.16.
4. إضافة الناتج 0.16 للطرفين لتصبح المعادلة: س² - 0.8 س+0.16 = 0.4 + 0.16.
5. كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع ²(س - 0.4) = 0.56.
6. أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س - 0.4= 0.56√ أو س-0.4= 0.56√-.
7. بحل المعادلتين الخطيتين, تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: { -0.348, 1.148 }.

المثال الثالث

س² + 8س + 2= 22 ^[١٢]

1. نقل الثابت إلى الطرف الأيسر : س² + 8 س =22-2 لتصبح المعادلة: س² + 8 س =20.
2. تطبيق قاعدة ²(2/ب) = ²(8/2) =4² = 16.
3. إضافة الناتج 16 للطرفين: س² + 8 س+16 = 20 + 16.
4. كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع: ²(س + 4) =36.
5. أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س+4= - 6 ومنه س=-10،أو س+4= 6 ومنه س=2.
6. تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-2,10}.

أمثلة على استخدام الجذر التربيعي

المثال الأول

س² - 4= 0 ^[١٣]

1. نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س² =4.
2. أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي : س= 2 أو س= -2.

المثال الثاني

2س²+ 3= 131 ^[١٤]

1. نقل الثابت 3 إلى الطرف الأيسر : 2س² = 131-3 , فتصبح المعادلة 2س² = 128
2. القسمة على معامل س² للطرفين :س² = 64
3. أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي :س= -8 أو س= 8.

المثال الثالث

(س - 5)² - 100= صفر ^[١٣]

1. نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: (س - 5)² =100.
2. أخذ الجذر التربيعي للطرفين: (س-5)²√=100√ فتصبح المعادلة (س -5) =10 أو (س -5) = -10.
3. بحل المعادلتين الخطيتين, تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {15, -5}.

المراجع

1. ↑ "A History and Proof of the Quadratic Formula", Central Greene School District. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Quadratic Equations", math is fun. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Solving Quadratic Equations by Factoring", lumen. Edited.
4. ↑ "How to Solve Quadratic Equations using the Completing the Square Method", chili math.
5. ↑ "How to Solve Quadratic Equations using the Square Root Method", CHILI MATH. Edited.
6. ↑ "Understanding the quadratic formula", khan academy. Edited.
7. ↑ "Solving Quadratic Equations", toppr.
8. ↑ "The Quadratic Formula", nroc project. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Solving Quadratic Equations Using Factoring", varsity tutors.
10. ↑ "Solving Quadratic Equations by Factoring", purplemath.
11. ^ ^{أ ب} "Completing the Square", math is fun.
12. ↑ "More Examples of Completing the Squares", CHILI MATH.
13. ^ ^{أ ب} "Solving Quadratic Equations by Taking Square Roots", purplemath. Edited.
14. ↑ "Solving quadratics by taking square roots", khan academy.