قانون التسارع المركزي

ما هو قانون التسارع المركزي؟

يُمكن تعريف التسارع المركزي (بالإنجليزية: Centripetal Acceleration) بأنّه تحرّك جسم ما في حركة دائريّة منتظمة وتكون اتجاه حركته موجهة دائمًا نحو المركز،^[١] والتسارع هو التغيّر في السرعة سواء أكان التغيّر في مقدارها، أو في اتجاهها، أو في كليهما، ونتيجة تحرّك الجسم في حركة دائرية فإنّ اتجاه حركته يتغيّر باستمرار لذلك دائمًا هناك تسارع مصاحب لحركة الجسم حتى لو كانت سرعته ثابتة.^[٢]

يرتبط التسارع المركزي بقوة الجذب المركزية، إذ تُسمى القوة المسؤولة عن هذا التسارع قوة الجاذبية المركزية التي تكون موجهة نحو مركز الدائرة أيضًا، ويرمز للتسارع المركزي بالرمز (ت) ويساوي مربع سرعة الجسم مقسومًا على المسافة من الجسم المتحرك إلى مركز الدائرة،^[١] ويُعبر عن قانون حساب التسارع المركزي بالمعادلة الآتية:^[٣]

التسارع المركزي = مربع السرعة / نصف القطر

وبالرموز:

ت = ع² / نق

حيث أنّ:

• ت: التسارع المركزي ويُقاس بوحدة متر لكل ثانية تربيع (م\ث²).
• ع: سرعة الجسم ويقاس بوحدة متر لكل ثانية (م\ث).
• نق: نصف قطر الدوران ويقاس بوحدة متر (م).

اشتقاق قانون التسارع المركزي

فيما يأتي شرح للعلاقة الرياضية التي اشتق منها قانون التسارع المركزي:^[٤]

1. إذا كان لدينا جسم يتحرك في دائرة نصف قطرها (نق) من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) بسرعة ثابتة في المقدار ومتغيرة فقط في الاتجاه من ع1 إلى ع2، وقطع الجسم مسافة تساوي (س) وهي مسافة القوس أو المنحنى.
2. وبما أنّ السرعة المماسية تغيّرت في الاتجاه فقط وليس في المقدار فإنّ: ع1 = ع2 = ع.
3. وبما أن المسافة التي قطعها الجسم على محيط الدائرة تساوي (س) خلال الفترة الزمنية Δ ز، فإنّ: السرعة المماسية ع= س/Δ ز ،وبالتالي Δ ز= س/ع.
4. وبذلك تسارع القوة المركزية (ت) = Δع/ Δ ز، حيث أنّ Δع: التغير في اتجاه السرعة، Δ ز: الفترة الزمنية التي تحرك خلالها الجسم من أ إلى ب.
5. وعند رسم مثلث يوضح السرعات المماسية، فإنّ المثلث سيحتوي على ضلعين متساويين بمقدار (ع) محصورين بزاوية (Δθ)، وهو مثلث مُماثل لحركة الجسم الدائرية من النقطة أ إلى ب وحركة الجسم بين النقطتين محصور بزاوية تساوي الزاوية (Δθ)، ومن تشابه المثلثات فإنّ:^[٥][٤]
6. جيب Δθ = المقابل / الوتر
7. جيب Δθ مثلث السرعة المماسية = Δع/ع.
8. جيب Δθ مثلث حركة الجسم الدائرية= أب/نق.
9. وبما أنّ الزاويتين متساويتين فإنّ: Δع/ع = أب/نق، حيث أنّ (أب) هي المسافة المستقيمة بين النقطتين أ و ب.
10. وبما أنّ الفترة الزمنية قصيرة جدًا فإنّ المسافة (أب) تساوي تقريبًا مسافة القوس (س).
11. نعوض (س) بدلًا من (أب) في المعادلة: Δع/ع = س/نق
12. وبما أنّ Δ ز= س/ع، فإنّ س = Δ ز/ع
13. نعوض قيمة س في المعادلة: Δع/ع = س/نق
14. Δع/ع = (Δ ز×ع) / نق
15. Δع/Δ ز = ع × ع /نق
16. Δع/Δ ز = ع² / نق
17. وبما أنّ: ت = Δع/ Δ ز، فإنّ: Δع/Δ ز = ع² / نق
18. ت = ع² / نق
19. وبالتالي: تسارع القوة المركزية = ع² / نق.

أمثلة متنوعة على حساب التسارع المركزي

إيجاد التسارع المركزي بمعرفة قيمة السرعة ونصف القطر

تسير سيارة سباق بسرعة مقدارها 20 م/ث على منعطف طريق منحني نصف قطره 50 م، أوجد مقدار التسارع المركزي للسيارة؟

• التسارع المركزي = مربع السرعة / نصف القطر.
• التسارع المركزي = 20² / 50
• التسارع المركزي = 400 / 50
• التسارع المركزي = 8 م/ث²

إيجاد نصف القطر بمعرفة قيمة التسارع المركزي والسرعة

تتحرك طائرة بسرعة مقدارها 150م/ث عند دورانها في مسار دائري، ما هو نصف القطر للمسار الذي يُمكن أن يُشكله الطيار على أن يبقي قيمة التسارع المركزي تساوي 9 م/ث²؟

• التسارع المركزي = مربع السرعة / نصف القطر.
• 9 = 150² / نصف القطر.
• نصف القطر = 22,500 / 9
• نصف القطر = 2,500 م.
• نصف القطر = 2.5 كم.

التسارع المركزي هو تحرك جسم ما في حركة دائرية منتظمة، وينتج التسارع نتيجة تغير اتجاه الحركة أي تغير اتجاه السرعة وليس مقدارها، وتبقى سرعة الجسم ثابتة، ويكون اتجاه التسارع المركزي نحو مركز الدائرة التي يتحرّك الجسم في مدارها، ويُمكن حساب مقدار التسارع المركزي من خلال قسمة مربع سرعة الجسم على المسافة بين الجسم ومركز الدائرة، ومن التطبيقات العملية على التسارع المركزي هو جهاز الطرد المركزي.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Centripetal acceleration", britannica, Retrieved 25/8/2021. Edited.
2. ↑ "What is centripetal acceleration?", khanacademy, Retrieved 25/8/2021. Edited.
3. ↑ "Centripetal Acceleration", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.
4. ^ ^{أ ب} الجامعة المستنصرية، الحركة الدائرية، صفحة 17-20. بتصرّف.
5. ↑ "Derivation Of Centripetal Acceleration", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.