قانون حساب حجم المخروط

قانون حساب حجم المخروط

يمكن التعبير عن قانون حجم المخروط وِفقاً لنوعه، وذلك من خلال ما يأتي:

قانون حجم المخروط القائم

يُمكن حساب حجم المخروط القائم من خلال القانون الرياضي الآتي:^[١]

حجم المخروط القائم= 1 /3 × مساحة القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

حجم المخروط القائم= 1/ 3× π × نق²× ع

ملاحظة: كُتب القانون بهذا الشكل لأنّ مساحة القاعدة الدائرية = π× نق²

حيث إنّ:

• نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
• ع: ارتفاع المخروط القائم.
• π: ثابت عددي، وقيمته 3.14 أو 22/ 7.

قانون حجم المخروط الناقص

يُمكن التعبير عن حجم المخروط الناقص بالصيغة الآتية:^[٢]

حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (مساحة القاعدة الأولى+ مساحة القاعدة الثانية+ الجذر التربيعي لناتج (مساحة القاعدة الأولى × مساحة القاعدة الثانية) × الارتفاع

وبالرموز:

حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (م1+م2+ √(م1×م2)) ×ع

حيث إنّ:

• م1: مساحة القاعدة الأولى للمخروط.
• م2: مساحة القاعدة الثانية للمخروط.
• ع: المسافة بين مركزي قاعدتي المخروط الناقص.

أمثلة على حساب حجم المخروط

فيما يأتي بعض الأمثلة والطرق لاحتساب أحجام المخروط بأنواعه:

إيجاد حجم مخروط قائم

إذا كان نصف قطر دائرة مخروط قائم 2سم، وارتفاعه 5سم، جد حجم المخروط القائم.

الحل:

• حجم المخروط القائم= 1 /3 × π × نق² × ع
• وبالتعويض بقيمة نصف القطر = 2 سم
• نق = 2 سم
• نق²= 4 سم²
• ع = 5 سم
• بالتعويض بالقانون السابق: حجم المخروط القائم= 1/ 3 × π× نق² ×ع
• حجم المخروط القائم = 1/ 3 × π× 4 × 5
• حجم المخروط القائم= 20.93 سم³.

إيجاد حجم مخروط ناقص

إذا كانت قاعدتي مخروط ناقص مربعة الشكل، وكانت القاعدة الأولى بطول ضلع 10سم، والقاعدة الثانية بطول ضلع 7سم، وفرق الارتفاع بينهما 12سم، جد حجم المخروط الناقص.^[٢]

الحل:

• حجم المخروط الناقص= 1 /3 ×(م1+م2+ √(م1 ×م2)×ع
• وباعتبار القاعدة الأولى والثانية مربعة الشكل فيمكن حساب مساحتها بحسب قانون حساب مساحة المربع كالآتي:
• مساحة المربع = (طول الضلع)²
• احتساب مساحة القاعدة الأولى: م1 =(10)²= 100سم².
• احتساب مساحة القاعدة الثانية: م2= (7)²= 49 سم².
• بالتعويض في قانون حجم المخروط الناقص: حجم المخروط الناقص= 1 /3×(م1+م2+ √(م1×م2)×ع
• حجم المخروط الناقص= 1 /3 ×(100+49+ √(100×49)×12
• حجم المخروط الناقص= 876 سم³.

إيجاد ارتفاع مخروط قائم

إذا كان حجم المخروط القائم 66سم³، وكان قطر قاعدته الدائرية 6سم، جد ارتفاعه.^[٣]

الحل:

• حجم المخروط القائم= 1 /3 ×π×نق² ×ع
• احتساب نصف قطر الدائرة= القطر/2
• نصف القطر= 6/2 = 3 سم
• نق² =(3)² = 9 سم
• بالتعويض في قانون حجم المخروط القائم: 66 = 1 /3 ×π×9 ×ع
• ارتفاع المخروط القائم= 7سم.

إيجاد الزمن اللازم لملأ مخروط بالكامل

خزان دائري على شكل مخروط دائري قائم نصف قطرة 2م، وارتفاعه 3م، ويتم تعبئته بالماء بمقدار تدفق 10م³/ثانية، جد الزمن اللازم لملئ المخروط بالكامل.

الحل:

• حجم المخروط القائم= 1 /3 ×π×نق² ×ع
• قسمة طرفي معادلة حساب حجم المخروط على الزمن، للحصول على الزمن اللازم لملئ الخزان ليصبح القانون كالآتي:
• حجم المخروط القائم/ الزمن= (1 /3× π×نق² ×ع) / الزمن
• وبالتعويض بالمعادلة يصبح كالآتي:
• 10= 1 /3 ×(2)²×π×3 / الزمن
• 10= 1 /3 ×4×π×3 / الزمن
• الزمن اللازم لملئ الخزان بالماء= 0.796 ثانية.

المراجع

1. ↑ "Volume of a cone", Math Open Reference, Retrieved 30/9/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Volume of Frustum", CUEMATH, Retrieved 30/9/2021. Edited.
3. ↑ "Volume Of Cone", byjus, Retrieved 31-10-2021. Edited.