قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع

نظرة عامة حول المثلث متساوي الأضلاع

يعتبر المثلث متساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) أحد أنواع المثلثات وفيه تكون فيه جميع الأضلاع متساوية في الطول، وجميع الزوايا متساوية في القياس ويساوي كل منها 60 درجة، ويساوي مجموع زوايا هذا المثلث 180 درجة كغيره من أنواع المثلثات.^[١]

لمزيد من المعلومات حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: أنواع المثلثات.

قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع

• يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع باستخدام القانون العام لمساحة المثلث، وهو:
  • مساحة المثلث= ½×القاعدة×الارتفاع، وبالرموز: م= ½×س×ع؛ حيث:
    • س: طول ضلع المثلث متساوي الساقين.
    • م: مساحة المثلث متساوي الأضلاع.
    • ع: ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع.
• كما يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع باستخدام القانون الآتي، والذي يعتبر خاصّاً به:^[٢]
  • مساحة المثلث متساوي الأضلاع=مربع طول الضلع× 4/(3)√، وبالرموز: م=س²×4/(3)√؛ حيث:
    • س: طول ضلع المثلث متساوي الساقين.
    • م: مساحة المثلث متساوي الأضلاع.

ملاحظة: يمكن كتابة القانون السابق على شكل: م=س²×0.4333؛ حيث 4/(3)√=0.4333.^[٣]

• وفيما يأتي توضيح لطريقة اشتقاق القانون السابق:
  • عند إنزال عمود من رأس المثلث إلى القاعدة فإنه يقسمها إلى نصفين متساويين يساوي كل منهما س/2.
  • تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث الذي يساوي ارتفاعه ع، فالارتفاع يُمثل العمود النازل من رأس المثلث إلى قاعدته.
  • س² = (س/2)² + ع²، ومنه س²= س² /4+ ع²، وبترتيب المعادلة ونقل س² /4 إلى الطرف الأيمن وتوحيد المقامات ينتج أن: 3/4س² =ع²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ع = 2/(3)√× س.
  • بمعرفة أن مساحة أي مثلث تساوي ½×القاعدة×الارتفاع ينتج أن: مساحة المثلث = ½×س×ع= ½×س×(2/(3)√)× س، ومنه مساحة المثلث متساوي الأضلاع= س²×4/(3)√.

أمثلة على حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع

• المثال الأول: إذا كان طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع (3)√سم، جد مساحته.^[٤]
  • الحل: بتطبيق القانون: مساحة المثلث متساوي الأضلاع=مربع طول الضلع× 4/(3)√، ينتج أن: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= (3)√²× 4/(3)√=4/(3)√3سم².

• المثال الثاني: إذا كان طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع 12سم، جد مساحته.^[٤]
  • الحل: بتطبيق القانون: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√، ينتج أن: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= 12²× 4/(3)√=4/(3)√36سم².

• المثال الثالث: إذا كان محيط مثلث متساوي الأضلاع 21سم، جد مساحته.^[٤]
  • الحل:
  • وفق القانون محيط المثلث متساوي الأضلاع= 3× طول الضلع=21سم، وبالتالي طول الضلع=7سم.
  • بتعويض قيمة طول الضلع في قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√، ينتج أن: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= 7²× 4/(3)√=4/(3)√49سم².

• المثال الرابع: إذا تضاعف طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع، جد مساحة المثلث الناتج بالنسبة للمثلث الأصلي.^[٥]
  • الحل:
  • نفترض أن طول ضلع المثلث الأول هو (س)، وأن طول ضلع المثلث الثاني هو (2س)، وبتعويض القيمة الثانية في قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع ينتج أن: مساحة المثلث الثاني متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√=4س²× 4/(3)√=(3)√س².

• المثال الخامس: إذا كان طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع 6سم، وارتفاعه 4.5سم، جد مساحة هذا المثلث.^[٥]
  • الحل: بتطبيق القانون: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= ½×القاعدة×الارتفاع= ½×6×4.5=13.5سم².

• المثال السادس: إذا كان محيط مثلث متساوي الأضلاع 12سم، جد مساحته.^[٦]
  • الحل:
  • وفق القانون محيط المثلث متساوي الأضلاع= 3×طول الضلع=12سم، وبالتالي طول الضلع=4سم.
  • بتعويض قيمة طول الضلع في قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√، ينتج أن: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= 4²×4/(3)√=(3)√4 سم².

• المثال السابع: إذا كان ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع (3)√3 سم، جد مساحته.^[٧]
  • الحل:
  • بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين القائمين الناتجين من إسقاط الارتفاع من رأس المثلث نحو قاعدته، وهي: الوتر²=الضلع الأول²+الضلع الثاني²، وبافتراض أن طول ضلع المثلث متسواي الأضلاع هو س، وهو ذاته الوتر، وأن الارتفاع ع هو الضلع الثاني، وأن نصف القاعدة س/2 هو الضلع الأول، ينتج أن: س²=(س/2)²+((3)√3)²، وبترتيب المعادلة ينتج أن: س²=س² /4+27، 3س² /4= 27، ومنه س=6سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع لينتج أن: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√=6²× 4/(3)√=(3)√9 سم.

• المثال الثامن: إذا كانت مساحة مثلث متساوي الأضلاع 173سم²، جد طول ضلعه.^[٨]
  • الحل: بتطبيق القانون: مساحة المثلث متساوي الأضلاع= مربع طول الضلع× 4/(3)√، وتعويض قيمة المساحة فيه ينتج أن: 173=مربع طول الضلع× 4/(3)√، ومنه مربع طول الضلع= 400، لينتج أن طول الضلع= 20سم.

لمزيد من المعلومات حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث رياضيات عن المثلثات.

المراجع

1. ↑ "Triangles", www.mathsisfun.com,9-9-2018، Retrieved 9-9-2018. Edited.
2. ↑ "Area of an equilateral triangle", www.basic-mathematics.com,9-9-2018، Retrieved 9-9-2018. Edited.
3. ↑ "Area of an equilateral triangle", www.mathopenref.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} " Equilateral Triangles", www.varsitytutors.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "How to find the area of an equilateral triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
6. ↑ "Area Of Equilateral Triangle", byjus.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
7. ↑ "area-of-equilateral-triangle-formula", www.vedantu.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
8. ↑ "Area of an equilateral triangle (Triangle Formula)", nimysart.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.