قانون مساحة المخروط

كيفية حساب مساحة المخروط

عند حساب مساحة المخروط أو حجمه فإن المخروط الذي يتم اعتباره لحساب مساحته أو حجمه لتطبيق القوانين عليه هو المخروط القائم وليس المائل، وهو الذي يمتلك قاعدة دائرية ويكون فيه الخط الواصل بين مركز القاعدة ورأس المخروط عمودياً على القاعدة،^[١] ويمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط من خلال إيجاد مجموع مساحة القاعدة، والمساحة الجانبية،^[٢] وفيما يلي توضيح لكل منهما:^[٣]

• مساحة القاعدة: تمثل مساحة الدائرة؛ وذلك لأن القاعدة دائرية الشكل، وهي تساوي (π× نق²)؛ حيث: نق: هو نصف القطر.
• المساحة الجانبية: وهي تساوي (π×نصف القطر× الارتفاع الجانبي أو طول المائل)، حيث يمكن حساب طول المائل، أو الارتفاع الجانبي للمخروط باستخدام العلاقة الآتية: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع+مربع نصف القطر)√.

وبالتالي فإن مساحة المخروط الكلية تساوي:^[٣]

• مساحة المخروط الكلية= مساحة القاعدة+المساحة الجانبية، وهي تساوي:
• مساحة المخروط الكلية= π×نق²+ π×نق×ل، وهي تساوي:
• مساحة المخروط الكلية= π×نق²+ π×نق×(ع²+نق²)√؛ وبأخذ πنق كعامل مشترك تصبح المعادلة:

مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+(ع²+نق²)√)

حيث إنّ:

• π: ثابت عددي، وقيمته 22/7، 3.14.
• نق: نصف قطر قاعدة المخروط.
• ع: ارتفاع المخروط.
• ل: الارتفاع الجانبي للمخروط أو طول المائل.

أمثلة متنوعة على حساب مساحة المخروط

• المثال الأول: ما هي مساحة المخروط الذي ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات؟^[٤]

الحل:

• مساحة المخروط = π×نق×(نق+(ع²+نق²)√، ويمكن حسابها كما يلي:
  • مساحة المخروط = ((8²+6²)√+6)×π×6
  • ومنه: مساحة المخروط=π×96 سم².

• المثال الثاني: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 م، و طول ارتفاعه الجانبي 10 م؟^[٢]

الحل:

• مساحة المخروط = π×نق²+ π×نق×ل، ويمكن حسابها كما يلي:
  • مساحة المخروط = 3.14×6²+3.14×6×10= 301.44م².

• المثال الثالث: ما هي المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 3سم، وارتفاعه 5سم؟^[٥]

الحل:

• مساحة المخروط الكلية =π×نق²+ π×نق×ل، ولحساب المساحة من خلالها يجب اتباع الخطوات الآتية:
• أولاً: حساب قيمة المائل أو الارتفاع الجانبي (ل)، وذلك من خلال نظرية فيثاغورس؛ لأن المثلث القائم يمثّل المقطع العرضي للمخروط القائم، وذلك كما يلي:
  • ل² = ع² + نق² = 5²+3²= 34، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل = 34√= 5.83سم.
• ثانياً: تطبيق قانون مساحة المخروط، وذلك كما يلي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+ل)= 3.14×3× (3+5.83)= 83.19 سم².

• المثال الرابع: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط 375 سم²، وطول المائل فيه يساوي أربعة أضعاف نصف القطر، فما هو قطر قاعدة المخروط على افتراض أن π=3؟^[٥]

الحل:

• وفق معطيات السؤال فإن: ل = 4×نق، وبتعويض هذه القيمة في قانون مساحة المخروط ينتج أن:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+ل)، 375= 3×نق×(نق+4نق)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن:
  • 375= 3×5×نق²، وبقسمة الطرفين على (3×5)، ينتج أن: نق²= 25 سم تقريباً، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإن: نق= 5سم.
• بما أن القطر= 2×نق، فإن: القطر= 2×5= 10سم.

• المثال الخامس: مخروط دائري ارتفاعه الجانبي 15سم، ونصف قطر قاعدته 20سم، فما هي مساحته الجانبية؟^[٥]الحل:
• المساحة الجانبية للمخروط = π× نق×ل
• 3.14×20×15= 942 سم².

• المثال السادس: ما هي المساحة الجانبية لمخروط نصف قطر قاعدته 5سم، و ارتفاعه الجانبي 20سم علماً أن: π = 22/7؟^[٦]

الحل:

• المساحة الجانبية للمخروط = π×نق×ل
• 22/7×5×20= 314.28 سم².

• المثال السابع: خيمة على شكل مخروط نصف قطرها 3م، وارتفاعها 4م، فما هي قيمة: الارتفاع الجانبي، والمساحة الجانبية علماً أن π = 3.142؟^[٧]

الحل:

• يمكن إيجاد الارتفاع الجانبي (ل) من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك لأن المقطع العرضي للمخروط يمثل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، وضلعي القائمة هما الارتفاع (ع)، ونصف القطر (نق)، وذلك كما يلي:
  • ل² = ع² + نق² = 3²+4² = 25، ومنه: ل²= 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: ل= 5م، وهو الارتفاع الجانبي للخيمة.
• حساب المساحة الجانبية بتطبيق القانون: المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل= 3.142×3×5= 47.13 م².

• المثال الثامن: مخروط دائري قطر قاعدته 3√4، والزاوية المحصورة بين الارتفاع، والارتفاع الجانبي تساوي 30 درجة، فما هي مساحة المخروط الكلية؟^[٨]

الحل:

• مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل)، ولحسابها فإننا نحتاج إلى قيمة كل من: نصف القطر، والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما كما يلي:
  • حساب نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2؛ نصف القطر= القطر/2= 3√4/ 2 ويساوي 3√2 سم.
  • حساب الارتفاع الجانبي، وهو يمثل الوتر في المثلث قائم الزاوية الذي يشكل نصف القطر فيه إحدى الساقين، والارتفاع الساق الأخرى، والارتفاع الجانبي الوتر، وبتطبيق قانون جيب الزاوية: جا(س)= المقابل/الوتر، ينتج أن: جا(30)= 3√2/ ل، ومنه ل=3√4 سم.
• تعويض القيم السابقة في قانون مساحة المخروط الكلية لينتج أن: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل)= 3.14×3√2×(3√2+3√4)= 113.04 سم².

• المثال التاسع: يريد شخص تزيين ست قبعات للاحتفال على شكل مخروط دائري عن طريق تغليفها بأوراق ملونة، فإذا كان نصف قطر كل قبعة منها 4.2سم، وارتفاعها الجانبي 8.6 سم، فما هي مجموع الأوراق الملونة التي يحتاجها لتزيين هذه القبعات؟^[٩]

الحل:

• كمية الورق التي يحتاجها= 6×مساحة المخروط الجانبية، لذلك يجب أولاً حساب مساحة المخروط الجانبية، وذلك كما يلي:
  • مساحة المخروط الجانبية= π×نق×ل= 3.14×4.2×8.6= 113.4 سم².
• حساب كمية الورق الملون اللازمة لتزيين القبعات الستة، وذلك كما يلي:
  • كمية الورق = 6 × مساحة المخروط الجانبية= 6×113.4= 680.5 سم².

• المثال العاشر: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، وارتفاع المخروط يساوي 9 سم، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟^[١٠]

الحل:

• وفق المعطيات: المساحة الجانبية للمخروط= 2×مساحة القاعدة، وبالتالي:
  • π ×نق×ل =2×π×نق²، وبقسمة الطرفين على (π×نق)، ينتج أن:
  • ل= 2×نق.
  • الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع+مربع نصف القطر)√، ومنه: 2×نق= (9²+نق²)√، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 4نق²=81+نق²، ثم وبترتيب المعادلة ينتج أن: 3نق²=81، وبقسمة الطرفين على (3)، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: نق= 27√ سم.
• إيجاد مساحة المخروط كما يلي:
  • مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+ل)
  • 3.14×27√×(27√+27√2)= 254.34 سم².

• المثال الحادي عشر: مخروط دائري محيط قاعدته 236 سم، وارتفاعه الجانبي (ل) يساوي 12سم، فما هي مساحته الجانبية؟^[١١]

الحل:

• المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل، ولحسابها يجب حساب قيمة نصف القطر أولاً كما يلي:
  • حساب قيمة نصف القطر من خلال محيط القاعدة كما يلي: محيط القاعدة = محيط الدائرة = 2 × π × نق، ومنه: 236 = 2×π×ق، وبقسمة الطرفين على (2×π)، ينتج أن: نق= 37.57سم.
• بالتعويض في قانون المساحة الجانبية، فإن:
  • المساحة الجانبية = π×نق×ل = 3.14×37.57×12= 1,416 سم².

• المثال الثاني عشر: خيمة على شكل مخروط دائري يعيش فيها أربعة أشخاص، فإذا كان كل شخص يحتل مساحة 22سم² من مساحة القاعدة، فإذا كان الارتفاع الجانبي (ل) للمخروط يساوي 19سم، فما هو ارتفاع هذه الخيمة؟^[١٢]الحل:
• حساب قيمة نصف قطر المخروط لحساب الارتفاع، وذلك كما يلي:
  • من خلال معرفة أن مساحة القاعدة الدائرية= 4 × 22= 88 سم²؛ لأن كل شخص من الأشخاص الأربعة في الخيمة يحتل مساحة 22 سم²، وبالتالي:
  • 88=π× نق²، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، ينتج أن: نق= 7√2 سم.
• يمثل الارتفاع العمود المقام من رأس المخروط المدبب إلى مركز القاعدة الدائرية، وبالتالي فإنه يشكل مثلثاً قائماً، الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي، والارتفاع، ونصف القطر هما ضلعا القائمة، وبالتالي فإنه يمكن يمكن إيجاد الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي:
  • الارتفاع = (الارتفاع الجانبي² - نصف القطر²)√، ومنه: الارتفاع = 19²- (7√2)²√، ومنه الارتفاع= 18.25 سم، وهو ارتفاع الخيمة.

• المثال الثالث عشر: تريد فتاة صنع قبعات احتفال على شكل مخروط دائري نصف قطره (نق) يساوي 5سم، وارتفاعه (ع) يساوي 12سم، فإذا كانت تريد صنعه من ورق مساحته الكلية 5,700 سم²، فكم عدد القبعات التي يمكن صنعها من هذا الورق؟^[١٢]

الحل:

• يتطلب حل هذا السؤال حساب قيمة المساحة الجانبية للمخروط، والتي تساوي: π×نق×ل، ولتحقيق ذلك يجب حساب الارتفاع الجانبي، وذلك كما يلي:
• من خلال التعويض في القانون: الارتفاع الجانبي للمخروط= (مربع الارتفاع+مربع نصف القطر)√، ينتج أن: الارتفاع الجانبي للمخروط= (5² + ²12)√= (25+144)√= 169√= 13سم.
• تعويض قيمة الارتفاع في قانون المساحة الجانبية للمخروط، لينتج أن: المساحة الجانبية للمخروط= 3.14×5×13= 204.1 سم².
• حساب عدد القبعات= مساحة الورق المتوفر / المساحة الجانبية للمخروط، وبالتالي:
  • عدد القبعات = 5700 / 204.1 = 28 قبعة.

• المثال الرابع عشر: إذا كان الارتفاع الجانبي (ل) لمخروط دائري يساوي ضعفي قطر القاعدة، ومحيط القاعدة لهذا المخروط يساوي 80 وحدة، فما هي مساحة المخروط؟^[١٣]

الحل:

• مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+ل)، ومن المعطيات: ل= 4×نق، لذلك لحساب المساحة لا بد من حساب قيمة نصف القطر أولاً، وذلك من خلال محيط القاعدة:
  • محيط القاعدة الدائرية= π×نق×2=80، وبقسمة الطرفين على (π×2) ينتج أن: نق = 12.73 وحدة.
• بتعويض قيمة نصف القطر في قانون المساحة فإن المساحة تساوي:
  • مساحة المخروط الكلية= 5×3.14×(12.73)²= 2,546 وحدة مربعة تقريباً.

• المثال الخامس عشر: إذا كانت مساحة المخروط الكلية 55π وحدة مربعة، والمسافة بين رأس المخروط المدبب تساوي 6 وحدات، فما هو نصف قطر المخروط؟^[١٤]

الحل:

• مساحة المخروط الكلية= π×نق×(نق+ل)، وبتعويض القيم فيها ينتج أن:
  • π×نق×(نق+6) = 55π، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة ينتج أن: نق²+6نق-55=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن: (نق+11)(نق-5)=0، ومنه إما نق= -11، أو نق = 5، وبما أن نصف القطر لا يمكن أن يكون سالباً فإن نصف القطر يساوي 5 وحدات.

نظرة عامة حول المخروط

المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية مسطّحة، وضلع ملتف بشكل دائري حول القاعدة، ورأس مدبب،^[٣] ويمكن صنع مخروط من خلال تدوير المثلث،^[١٥] ولحساب حجم المخروط، ومساحة سطحه فإنه تجب الإشارة إلى مجموعة من المفاهيم أولاً، وهي:^[١٦]

• نصف القطر: هو المسافة بين مركز القاعدة الدائرية، ومحيطها.
• الارتفاع: هو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية، والرأس المدبب للمخروط بحيث يصنع زاوية قائمة مع القاعدة الدائرية.
• المائل: أو الارتفاع الجانبي، وهو المسافة بين أية نقطة على محيط القاعدة الدائرية، والرأس المدبب.

المراجع

1. ↑ "Cone", www.toppr.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Surface Area of a Cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Cones: Definition, Area & Volume", study.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
4. ↑ "Cone ", www.mathopolis.com, Retrieved 6-4-2020 (page 2). Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "Surface Area of a Cone", www.web-formulas.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
6. ↑ "Cone Formula", byjus.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
7. ↑ "Total Surface Area of a Cone", www.mathsteacher.com.au, Retrieved 6-4-2020. Edited.
8. ↑ "Calculate the Surface Area of a Cone", www.dummies.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
9. ↑ "Surface Area of Cones", www.ck12.org, Retrieved 6-4-2020. Edited.
10. ↑ "How to find the surface area of a cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
11. ↑ "CURVED SURFACE AREA OF CONE", www.onlinemath4all.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
12. ^ ^{أ ب} "CURVED SURFACE AREA AND TOTAL SURFACE AREA OF CONE", www.onlinemath4all.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
13. ↑ "How to find the surface area of a cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
14. ↑ "How to find the surface area of a cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
15. ↑ "Cone", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
16. ↑ "Finding the Volume and Surface Area of a Cone", www.ducksters.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.