قانون ميل الخط المستقيم

قوانين حساب ميل المستقيم

يمكن حساب ميل المستقيم عن طريق إحدى الطرق الآتية:^[١]

ميل المستقيم باستخدام النقاط

للخط المستقيم الميل ذاته في كل مكان؛ لذلك يمكن تحديد ميله من خلال استخدام أي نقطتين واقعتين عليه،^[٢] وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[١]

• تحديد نقطتين على الخط المستقيم.
• اختيار إحداهما لتمثل (س 1، ص 1)، والأخرى لتكون (س 2، ص 2).
• حساب الميل باستخدام قانون حساب ميل المستقيم عن طريق تعويض قيم النقطتين السابقتين فيه، وهو:

ميل المستقيم = الفرق في الصادات/الفرق في السينات

وبالرموز؛

(م)= (ص 2- ص 1) / (س2-س1)

إذ إنّ:

• (م): ميل المستقيم.
• (ص2- ص1): الفرق في الصادات.
• (س2- س1): الفرق في السينات.

ميل المستقيم باستخدام الزاوية

يتم حساب ميل المستقيم باستخدام الزاوية من خلال ظل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات، وذلك وفق القانون الآتي:^[٣]

ميل المستقيم= ظا (α)

إذ إنّ:

• ظا: ظل الزاوية.
• α: هي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات.

يُطلق تعريف ميل المستقيم على المقياس المستخدم لانحدار الخط المستقيم، ويمكن حساب ميل المستقيم، إما باستخدام النقاط أو ظل الزاوية حسب ما هو موضح في الشرح السابق.

معادلة الخط المستقيم

يعد الرسم البياني الممثّل للخط المستقيم نوعًا خاصًا من المنحنيات، فهو يمتلك الميل نفسه في كل مكان، لذا عند تحديد ميل الخط المستقيم لا يهم مكان حسابه في الخط، وتتمثل معادلة الخط المستقيم في الآتي: ^[٢]

الإحداثي الصادي= الميل × الإحداثي السيني + القيمة الصادية عند تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات

وبالرموز؛

(ص= م×س+ ب)

إذ إنّ:

• ص: الإحداثي الصادي.
• م: ميل الخط المستقيم.
• س: الإحداثي السيني.
• ب: القيمة الصادية عند تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات.

يُمكن إيجاد معادلة الخط المستقيم عن طريق إجراء معادلة بسيطة بتعويض القيم أو بطريقة أسهل من خلال النظر إلى معامل (س) داخل المعادلة.

معلومات مهمّة عن ميل المستقيم

من الملاحظات العامة حول ميل الخط المستقيم ما يأتي:^[٤]

• الخط الموازي لمحور السينات يُعرف بالخط الأفقي، ويساوي ميله القيمة صفر.
• الخط الموازي لمحور الصادات يُعرف بالخط العمودي، ويمتلك ميله دائمًا قيمة غير مُعرّفة.
• الخطان المتوازيان يمتلكان دائمًا ميلًا متساويًا.
• حاصل ضرب ميلي الخطين المتعامدين يساوي دائمًا القيمة (1-).
• إذا كان الخط المستقيم يرتفع إلى الأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين، فإن الميل يكون موجبًا، وإذا كان ينخفض عند التحرك من اليسار إلى اليمين، فإن الميل يكون سالبًا.

هناك بعض الملاحظات المهمّة التي يجب مراعاتها عند إيجاد ميل الخط المستقيم، إذ تساعد هذه الملاحظات على حل المعادلات بكل سهولة، وثُمثل انطلاقة لحل العديد من المسائل الرياضية.

أمثلة على حساب ميل المستقيم

يمكن توضيح كيفية حساب ميل المستقيم عن طريق استخدام طرق متنوعة موضحة في العناوين الفرعية الواردة أدناه:

حساب الميل من خلال معادلة الخط المستقيم

المثال الأول: ما هو ميل المستقيم الذي معادلته: 4 س - 16 ص = 24.^[٥]

الحل:

المعادلة التي تكون على الصورة: ص= م×س+ ب يكون فيها الميل = م، وهو معامل س.

• نرتب المعادلة (4 س - 16 ص = 24) لتصبح (16 ص = -4 س + 24).
• القسمة على -16 لجعل معامل ص مساويًا للعدد واحد.
• ص = (-4 س) / (- 16) + 24 / (–16)، ومنه: ص= (1/4) س - 1.5،
• الميل يساوي: م=1/4، وهو معامل س.

المثال الثاني: ما هو الميل في المعادلة: 2 س + 4 ص = -7.^[٥]

الحل:

• تحويل المعادلة إلى الصورة (م س + ب= ص) لتعطي (2 س + 4 ص = -7).
• ترتيب أطراف المعادلة بحيث تصبح (2 س+7=-4 ص).
• قسمة الطرفين على (-4) لتصبح ص= (1/2-) س + (7/4-)
• ميل المستقيم يساوي: م= 1/2- وهو معامل (س).

المثال الثالث: ما هو ميل المستقيم المتعامد مع المستقيم الذي معادلته: 4 س + 2 ص= 88.^[٥]

الحل:

• تحويل المعادلة إلى الصورة (م س + ب= ص) لتصبح (4 س- 88= -2 ص)
• قسمة الطرفين على (-2) لينتج أن ص= (2-) س + 44،
• وبالتالي، فإن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 2-، وهو معامل (س).

أو بطريقة أخرى:

• يمكن إيجاد ميل المستقيم المتعامد معه من خلال معرفة أنّ: ميل المستقيم×ميل المستقيم المتعامد معه=1-
• وعليه: 2-×ميل المستقيم المتعامد معه=1-
• ومنه ميل المستقيم المتعامد معه= 1/2.

حساب الميل من خلال معادلة ميل المستقيم

المثال الأول: ما هو ميل المستقيم المار بالنقطتين (15,8)، و(10,7).^[١]

الحل:

• اعتبار النقطة (8,15) لتكون (س 2, ص 2)، والنقطة (7,10) لتكون (س 1, ص 1).
• استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم= (ص 2- ص 1) / (س 2- س 1) وبالتعويض في المعادلة السابقة نجد أن ميل المستقيم= (8-7) / (15-10)
• بالتالي فإن ميل المستقيم=5/1.

وفي حال اختيار النقطة (8,15) لتكون (س 1, ص 1)، والنقطة (7,10) لتكون (س 2, ص 2).

يتم حساب ميل المستقيم كالآتي: 7-10/8-15=-1/-5=5/1 وهي تساوي الإجابة السابقة.

ملاحظة: قد يتطلب الأمر استخراج النقطتين من الرسم البياني للخط المستقيم في حال الحصول على رسمة، بدلًا من إعطائها مباشرة في السؤال، وفي هذه الحال، يتم اختيار أي نقطتين على الخط، ثمّ إكمال الحل تمامًا كما في المثال السابق.^[١]

المثال الثاني: ما قيمة الميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقاط الآتية (2,5) و (1,3). ^[٦]

الحل:

• اعتبار النقطة (2,5) لتكون (س 2, ص 2)، والنقطة (1,3) لتكون (س 1, ص 1).
• استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم = (ص 2- ص 1) / (س 2- س 1)
• ميل المستقيم= (2-1) / (5-3) =2/1.

المثال الثالث: إذا كان المستقيم (أب) متعامدًا على المستقيم (دو)، أوجد قيمة ص، إذا كانت أ (3,2-)، ب (2-, 6)، د (3,4)، و(7, ص).^[٧]

الحل:

• حساب الميل للمستقيم الأول (أب) من خلال اتباع الخطوات الآتية:
  • اعتبار النقطة (2-, 6) لتكون (س 2, ص 2)، والنقطة (3,2-) لتكون (س 1, ص 1).
  • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم (أب)؛ ومنه فإن ميل المستقيم (أب) = 4/-9.
• حساب الميل للمستقيم الثاني (دو) أولًا من خلال اتباع الخطوات الآتية:
  • اعتبار النقطة (7, ص) لتكون (س 2, ص 2)، والنقطة (3,4) لتكون (س 1, ص 1).
  • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم (ميل (أب) × ميل (دو) =1-دو)؛ ومنه فإن ميل المستقيم (أب) = 3/ (ص-3).
• وفق النظرية فإن حاصل ميلي المستقيمين المتعامدين = -1
• ومنه ميل (أب) × ميل (دو) =1- وعليه: (4/-9) ×3/ (ص-3) =1- وبحل المعادلة ينتج أن ص=13/3.

المثال الرابع: إذا كانت معادلة الخط المستقيم هي: 5 س+وص-1=0 وكان ميله مساويًا للعدد 5، أوجد قيم (و).^[٨]

الحل:

• تحويل هذه المعادلة إلى الصورة (م س + ب= ص) لتصبح (5 س+وص-1=0)
• ترتيب أطراف المعادلة لينتج أن: (-5 س+1= وص)،
• قسمة الطرفين على (و) لتصبح (ص= (و/-5) س + (و/1)).
• وبما أن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 5، وهو معامل (س) فإن قيمة (و/-5) =5، ومنه و= -1

حساب الميل بطرق متنوعة

المثال الأول: أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين (2,0)، (6,2) هو مستقيم موازٍ للمستقيم الذي معادلته: 2 س - ص=2.^[٩]

الحل:

• حساب الميل للمستقيم الأول أولًا من خلال اتباع الخطوات الآتية:
  • اعتبار النقطة (6,2) لتكون (س 2, ص 2)، والنقطة (2,0) لتكون (س 1, ص 1).
  • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم = (ص 2-ص 1) / (س 2-س 1) = (6- (2) / (2- (0) =2.
• حساب الميل للمستقيم الثاني عن طريق تحويل معادلته إلى الصورة م س + ب= ص وبالتالي ينتج الآتي:
  • 2 س -ص = 2، وبترتيب أطراف المعادلة ينتج أن: 2 س-2=ص، وبالتالي فإن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 2، وهو معامل (س).
• مما سبق يتبين أن ميل المستقيم الأول = ميل المستقيم الثاني، ووفق النظرية، فإن هذين المستقيمين متوازيان؛ لأن المستقيمين المتوازيين يتساويان في الميل دائمًا.

المثال الثاني: إذا كان المستقيم (أب) موازيًا للمستقيم (دو) الذي معادلته ص=-س+4.5 وكانت إحداثيات النقطة أ (1-, 2.5)، أوجد معادلة المستقيم (أب).^[٩]

الحل:

• حساب الميل للمستقيم (دو) أولًا من خلال معادلته المكتوبة على الصورة م س + ب= ص وهي: ص=-س+4.5 ومنه ينتج أن ميل هذا المستقيم= 1- وهو معامل س.
• ميل المستقيم (أب) =ميل المستقيم (دو) =1- لأنهما متوازيان.
• كتابة الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم، وهي: ص= (-1) س+ب وتعويض النقطة أ فيها لينتج أن: 2.5=-1 (-1) + ب ومنه: ب =1.5.
• وعليه فإن معادلة المستقيم (دو) هي: ص=-س+1.5.

المثال الثالث: إذا كان ميل المستقيم مساويًا للقيمة 3√/1، أوجد زاوية ميلانه.^[١٠]

الحل:

• وفق القانون: ميل المستقيم = ظا (α) فإن 3√/1= ظا (α) ومنه فإن زاوية ميلانه = 30 درجة.

تُوضح الأمثلة السابقة كيف يمكن إيجاد ميل المستقيم باستخدام العديد من الطرق المتنوعة مع الحصول على النتيجة بالخطوات التفصيلية كما هو مُوضح أعلاه.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} "Calculating the Slope", www.cls.syr.edu, Retrieved 10-10-2017. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "3: A straight line has only one slope", mathbench, Retrieved 19/8/2021. Edited.
3. ↑ "Gradient (or slope) of a Line, and Inclination", intmath, Retrieved 19/8/2021. Edited.
4. ↑ "8.3 Gradient of a line", intl.siyavula, Retrieved 19/8/2021. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "how-to-find-the-slope-of-a-line", varsitytutors, Retrieved 19/8/2021. Edited.
6. ↑ "how-to-find-the-slope-of-a-line", varsitytutors, Retrieved 19/8/2021. Edited.
7. ↑ "8.3 Gradient of a line", intl.siyavula, Retrieved 19/8/2021. Edited.
8. ↑ "gradient-of-a-straight-line", onlinemath4all, Retrieved 19/8/2021. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "8.3 Gradient of a line", intl.siyavula, Retrieved 19/8/2021. Edited.
10. ↑ "gradient-of-a-straight-line", onlinemath4all, Retrieved 19/8/2021. Edited.