قواعد القوى في الرياضيات

قواعد القوى في الرياضيات

تُمثل القوى في الرياضيات عدد تكرار ضرب العدد في نفسه، حيثُ يُسمى العدد المرفوع لقوة ما بالأساس ويُسمى الرقم المرفوع فوق الأساس بالقوة أو الأس، على سبيل المثال: 8^5 يدلّ على أنّ الأساس هو الرقم 8 والقوة أو الأس هو الرقم 5، ويجب ضرب الأساس 8 في نفسه 5 مرات، بحيث يُصبح الناتج: 8×8×8×8×8= 32768.^[١]

وتمتلك القوى خصائص عدّة في الرياضيات، والتي تمثلت على شكل قواعد خاصة، وفيما يأتي توضيحها:

قاعدة القوة الصفر

تنص قاعدة القوة صفر على أنّ أيّ عدد يُرفع للأس صفر يكون الناتج دائمًا واحد، أي: س^0 = 1، حيثُ (س) لا تساوي صفر، على سبيل المثال:^[٢]

• 5^0= 1
• -54^0= 1
• 4.66^0= 1

قا عدة القوة واحد

تنص قاعدة القوة واحد على أنّ أيّ عدد يُرفع للأس واحد يكون الناتج العدد نفسه، أي: س^1 = س، على سبيل المثال:^[٢]

• 5^1 = 5
• 1458^1 = 1458
• -54^1 = -54
• 14.66^1 = 14.66

قاعدة القوة السالبة

تنص قاعدة القوة السالب على أنّ أيّ عدد يُرفع للأس السالب يكون الناتج مقلوب العدد مع تغيير علامة الأس لتُصبح موجبة ثمّ تُطبق قاعدة الأس، أي: س^(ن-) = 1/(س^ن)، على سبيل المثال:^[٢]

• 5^1- = 5/1
• 6^2- = 6/1^2- = 1/(6×6) = 36/1

قاعدة ضرب القوى

تنص قاعدة ضرب الأسس على أنّ الأسس المضروبة في بعضها البعض تُجمع إذا كان لها نفس الأساس، أي: س^(ن) × س^(م) = س^(ن+م)، على سبيل المثال:^[٣]

3^(4) × 3^(2) =729، على النحو الآتي:

• فك الأسس كلّ على حدا ليُصبح الناتج: 3×3×3×3 × 3×3 = 81 × 9 = 729
• طبّق قاعدة ضرب الأسس ليُصبح الناتج: 3^(4) × 3^(2) = 3^(2+4) = 3^6 = 3×3×3×3×3×3 = 729
• وبالتالي: 3^(4) × 3^(2) = 3^(2+4) = 729

قاعدة قسمة القوى

تنص قاعدة قسمة الأسس على أنّ الأسس المقسومة على بعضها تُطرح إذا كان لها نفس الأساس، أي: س^(ن) / س^(م) = س^(ن-م)، على سبيل المثال:^[٣]

2^(5) / 2^(3) = 4، على النحو الآتي:

• فك الأسس كلٌ على حدا ليُصبح الناتج:(2×2×2×2×2) / (2×2×2) = 32 / 8 = 4
• طبّق قاعدة قسمة الأسس ليُصبح الناتج:2^(5) / 2^(3) = 2^(3-5) = 2^2 = 4
• وبالتالي: 2^(5) / 2^(3) = 2^(3-5) = 4

قاعدة رفع قوة لقوة أخرى

تنص قاعدة رفع قوة لقوة أخرى على أنّ إذا كان العدد مرفوعاً لقوة ما وموضوع داخل قوس وهذا القوس مرفوع لقوة أخرى فإنّ الناتج يكون رفع العدد إلى قوة تُساوي حاصل ضرب القوتين معًا، أي: (س^(ن))^م = س^(ن×م)، على سبيل المثال:^[٢]

• (9^(2))^3 = 9^(2×3) = 9^(6) = 9×9×9×9×9×9= 531441
• (7^(1))^4 = 7^(1×4) = 7^(4) = 7×7×7×7 = 2401

قاعدة رفع حاصل ضرب عددين لقوة ما

تنص قاعدة رفع حاصل ضرب عددين لقوة ما على أنّه إذا ضُرب عددين في بعضها ورُفعا لقوة ما يُمكن توزيع القوة لكلّ عدد ثمّ إيجاد ناتج الضرب، أي: (س×ص)^ن = س^ن × ص^ن، على سبيل المثال:^[٢]

(2×4)^5 =32768، على النحو الآتي:

• جد ناتج الضرب ثمّ ارفع الناتج للأس ليُصبح الناتج: (2×4)^5 = 8^5 = 8×8×8×8×8 = 32768
• طبّق قاعدة رفع حاصل ضرب عددين لقوة ما ليُصبح الناتج:(2×4)^5 = 2^5 × 4^5 = 2×2×2×2×2 × 4×4×4×4×4 = 32 × 1024 = 32768
• وبالتالي: (2×4)^5 = 2^5 × 4^5 = 32768

قاعدة رفع حاصل قسمة عددين لقوة ما

تنص قاعدة رفع حاصل قسمة عددين لقوة ما على أنّه إذا قُسم عددين على بعضها ورُفعا لقوة ما يُمكن توزيع القوة لكلّ عدد ثمّ إيجاد ناتج القسمة، أي: (س/ص)^ن = س^ن / ص^ن، على سبيل المثال:^[٢]

(2/10)^3 =125، على النحو الآتي:

• جد ناتج القسمة ثمّ ارفع الناتج للأس ليُصبح الناتج: (2/10)^3 = 5^3 = 5×5×5 = 125
• طبّق قاعدة رفع حاصل قسمة عددين لقوة ليُصبح الناتج: (2/10)^3 = 10^3 / 2^3 = 10×10×10 / 2×2×2 = 1000 / 8 = 125
• وبالتالي: (2/10)^3 = 10^3 / 2^3 = 125

قاعدة القوة الكسرية

تنص قاعدة القوة الكسرية على أنّ العدد إذا رُفع لقوة كسريّة يكون الناتج برفع العدد لقوة بمقدار قيمة بسط الكسر ثمّ حساب الجذر بمقدار مقام الكسر، أي: س^(ن/م) = (س^ن)√م، على سبيل المثال:^[٢]

• 5^(3/4) = (5^4)∛ = (5×5×5×5)∛ = (625)∛ = 8.549

المراجع

1. ↑ Ryan Juraschka (14/6/2021), "Exponent Rules: 7 Key Strategies to Solve Tough Equations", Prodigy, Retrieved 12/1/2022. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} "Basic rules for exponentiation", Math Insight, Retrieved 12/1/2022. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Laws of Exponents", MATH is FUN, Retrieved 12/1/2022. Edited.