محتويات
جمع الأعداد في النظام الثنائي
نظام العد الثنائي (بالإنجليزية: Binary Numeral System) هو نظام عد يستخدم الرقم 2 كأساس، إذ يُمثل القيم العددية باستخدام رمزين فقط وهما 0 و 1، ويُستخدم النظام الثنائي في أجهزة الحواسيب،[١] وفيما يأتي شرح لخطوات إحدى العمليات الحسابية في النظام الثنائي وهي عملية الجمع:
وللجمع بالنظام الثنائي يُوجد 4 قواعد أساسيّة باستخدامها يُمكن إضافة أي رقم ثنائي بسهولة، وهي كالآتي:[٢][٣]
0 | = 0+0 |
1 | = 0+1 |
1 | = 1+0 |
10 | = 1+1 |
جدير بالذكر أنّ عملية الجمع في النظام الثنائي تشبه عملية الجمع في النظام العشري الذي أساسه الرقم 10،[٣] وفيما يأتي جدول يُبين الأرقام في النظام العشري وما يُقابلها في النظام الثنائي:[٤]
...... | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | النظام العشري |
...... | 111 | 110 | 101 | 100 | 11 | 10 | 1 | 0 | النظام الثنائي |
- وعلى سبيل المثال، 1+1 = 2 في النظام العشري، فإنّ 1+1 = 10 في النظام الثنائي.[٣]
- وبنفس الطريقة 1+1+1 = 3 في النظام العشري، فإنّ 1+1+1= 11 في النظام الثنائي.[٣]
- وبطريقة أخرى كأننا نقول 2+1 = 3 في النظام العشري، و10+1 = 11 في النظام الثنائي (أي الرقم الثنائي التالي بعد الـ10).[٥]
وباستخدام القواعد السابقة يُمكننا جمع أعداد النظام الثنائي المُكوّنة من أكثر من منزلة، وذلك بالخطوات التالية:[٥]
على سبيل المثال: ? =1100+1110
خطوات الحل:
- نُرتب الأعداد فوق بعضها بعضًا، ثم نبدأ بجمع كل خانة من اليمين إلى اليسار.
- نضع حاصل جمع كل خانة أسفل منها، وإذا كان ناتج الخانة مكونًا من رقمين نضع الرقم الأول أسفل منها، ونُضيف الرقم الثاني إلى الخانة التي تليها.
- باستخدام القواعد نبدأ بجمع كل خانة، نبدأ بأول خانة على اليمين:
- 0+0 = 0
- 0+1 = 1
- 1+1 = 10، نضع الصفر أسفل الخانة، ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
- 1+1+1 = 1+10 = 11.
وبالتالي ناتج الجمع يكون كالآتي:
- 1
- 1110
- 1100 +
- ــــــــــ
- 11010
إذًا ناتج الجمع: 11010 =1100+1110
أمثلة على جمع الأعداد في النظام الثنائي
المثال الأول: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =101+111
خطوات الحل:
- 1+1 = 10، نضع الصفر أسفل الخانة ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
- 0+1+1= 10، نضع الصفر أسفل الخانة ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
- 1+1+1 = 1+10 = 11.
وبالتالي:
- 11
- 111
- 101 +
- ــــــــ
- 1100
المثال الثاني: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =1000+1011
خطوات الحل:
- 0+1 = 1.
- 0+1= 1.
- 0+0= 0.
- 1+1= 10.
وبالتالي:
- 1011
- 1000+
- ــــــــــ
- 10011
المثال الثالث: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =11000+10111
خطوات الحل:
- 0+1 = 1.
- 0+1= 1.
- 0+1= 1.
- 1+0= 1.
- 1+1= 10.
وبالتالي:
- 10111
- 11000 +
- ــــــــــــ
- 101111
النظام الثنائي هو اللغة المستخدمة في بعض لغات البرمجة ويُمكن تعريفه على أنّه نظام عد أساسه الرقم 2، ويُمثل الأعداد برمزين فقط 0 و 1، وتشبه عملياته الحسابية عمليات النظام العشري، ولذلك يسهل التحويل من النظام العشري إلى الثنائي، ويمتلك النظام الثنائي 4 قواعد أساسية يُمكن من خلالها جمع الأعداد الثنائية بسهولة، عن طريق وضع كل عدد فوق الآخر، وجمع كل خانة من اليمين إلى اليسار، وإذا كان ناتج إحدى الخانات مكونًا من منزلتين نُضيف المنزلة الثانية إلى الخانة التي تليها.
طرح الأعداد في النظام الثنائي
ولطرح النظام الثنائي يوجد 4 قواعد أساسية باستخدامها يُمكن طرح أي رقم ثنائي بسهولة، وهي كالآتي:[٦]
0 | = 0-0 |
1 (مع الاستلاف) | = 0-1 |
1 | = 1-0 |
0 | = 1-1 |
وبنفس عملية الطرح، فعندما نقول 3-2 = 1 في النظام العشري، فإنّ 11-1 = 10 في النظام الثنائي.[٣]
وباستخدام القواعد السابقة يُمكننا طرح أعداد النظام الثنائي المكوّنة من أكثر من منزلة، وذلك بالخطوات الآتية:
على سبيل المثال: ? =100-1010
خطوات الحل:
- نُرتب الأعداد فوق بعضها بعضًا، ثم نبدأ بطرح كل خانة من اليمين إلى اليسار.
- نضع حاصل طرح كل خانة أسفل منها.
- إذا كان العدد المطروح أكبر من العدد المطروح منه نستلف واحد من الخانة التي تليه، فإذا كان العدد 0 نستلف واحد من الخانة التالية يُصبح 10، ويُصبح 1 في الخانة التالية بعد الاستلاف يساوي 0.
- باستخدام القواعد السابقة نبدأ بطرح كل خانة، نبدأ بأول خانة على اليمين:
- 0-0= 0
- 0-1= 1
- 1-0= نستلف واحد من الخانة التالية، تُصبح 10-1=1.
- 0-1= بعد الاستلاف منه يصبح 0-0=0.
وبالتالي ناتج الطرح يكون كالآتي:
- 010
- 1010
- 100 -
- ـــــــــــ
- 110
إذًا ناتج الطرح: 110 =100+1010
طرح الأعداد باستخدام المتممة
وفيما يأتي خطوات طرح أعداد النظام الثنائي باستخدام المتممة:[٧]
على سبيل المثال: ?=100101-110010
خطوات الحل:
- نجد متمم العدد المطروح أي العدد الثاني من عملية الطرح وهو (100101).
- نجد متتم العدد الثنائي من خلال تبديل كل 0 إلى 1، وتبديل 1 إلى 0.
- متتم العدد 100101: 011010.
- نجمع متمم العدد المطروح مع العدد الأول وهو المطروح منه:
- 1 1
- 011010
- 110010 +
- ـــــــــــــــــ
- 1001100
وإذا تضمّن الناتج عملية ترحيل أي زاد عدد المنازل على جهة اليسار بسبب ترحيل متبقي، فإننا نضيف الرقم المُرّحل إلى النتيجة، وإذا لم يكن هناك ترحيل يكون ناتج الطرح هو الناتج نفسه.
- تضمن ناتج المثال لدينا عملية ترحيل 1001100 وهو آخر منزلة الرقم 1.
- نضيف الرقم 1 الزائد إلى العدد الناتج 1100.
- 1100
- 1 +
- ـــــــــــ
- 1101
وبالتالي ناتج طرح 1101=100101-110010
أمثلة على طرح الأعداد في النظام الثنائي
المثال الأول: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =100-110
خطوات الحل:
- 110
- 100 -
- ــــــــ
- 010
نحل المعادلة باستخدام المتممة:
- نجد متممة العدد 100 وهي: 011.
- نُضيف العدد 011 إلى 110.
- 1
- 011
- 110 +
- ــــــــ
- 1001
ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.
- 1
- 1 +
- ـــــ
- 10
إذا ناتج طرح المعادلة: 10 =100-110
المثال الثاني: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =10000-10110
خطوات الحل:
- 10110
- 10000 -
- ـــــــــــــ
- 00110
نحل المعادلة باستخدام المتممة:
- نجد متممة العدد 10000 وهي: 01111.
- نُضيف العدد 01111 إلى 10110.
- 111
- 01111
- 10110 +
- ـــــــــــــ
- 100101
ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.
- 1
- 101
- 1 +
- ــــــــــ
- 110
إذا ناتج طرح المعادلة: 110 =10000-10110
المثال الثالث: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =0101-1110
خطوات الحل:
- 010
- 1110
- 0101 -
- ــــــــــ
- 1001
نحل المعادلة باستخدام المتممة:
- نجد متممة العدد 0101 وهي: 1010.
- نُضيف العدد 1010 إلى 1110.
- 11
- 1010
- 1110 +
- ـــــــــــــ
- 11000
ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.
- 1000
- 1 +
- ــــــــــ
- 1001
إذا ناتج طرح المعادلة: 1001 =0101-1110
يمتلك النظام الثنائي 4 قواعد أساسية لعملية الطرح، ويُمكن من خلالها طرح الأعداد الثنائية بسهولة بوضع كل عدد فوق الآخر وطرح كل منزلة من اليمين إلى اليسار، وإذا كان المطروح أكبر من المطروح منه نستلف واحد من الخانة التالية، كما يُمكن استخدام طريقة المتممة لطرح الأعداد الثنائية، ونجد متتم العدد الثنائي من خلال تبديل كل رقم 0 إلى 1 وكل رقم 1 إلى 0.
المراجع
- ↑ "Binary number system", britannica, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ↑ "Binary Addition", byjus, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج "Adding and Subtracting Binary Numbers", cimt, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ↑ "Binary Number System", mathsisfun, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ^ أ ب "Binary Addition and Subtraction", circuitglobe, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ↑ "Binary Subtraction", math-only-math, Retrieved 20/8/2021. Edited.
- ↑ "Binary Subtraction", cuemath, Retrieved 20/8/2021. Edited.
