كيفية حساب حجم الأسطوانة

نظرة عامة حول حجم الأسطوانة

يُعرف الحجم بشكلٍ عامّ بأنه عبارة عن مقدار الحيِّز الذي يشغله الشّكل ثلاثيّ الأبعاد في الفراغ، ويُقاس بوحدات مختلفةٍ، مثل: المتر المُكعَّب، والسّنتيمتر المُكعّب، والليتر، وغيرها من الوحدات المكعبة، كما يُطلق أحياناً عليه اسم السعة،^[١] وطريقة حساب حجم الأسطوانة تُشبه إلى حدٍّ كبير طريقة حساب حجم المنشور؛ وذلك نظراً للتّشابه الكبير في خصائص كلا الشّكلَين؛ فحجم الأسطوانة هو حاصل ضرب مساحة القاعدة الدائرية الشكل، والذي يساوي مُربَّع نصف القطر مضروباً في الثابت (π)؛ الذي تُقدَّر قيمته بـ (3.142)، بارتفاع الأسطوانة، ويمكن التّعبير عن قانون حجم الأسطوانة رياضياً كالآتي:^[٢]

• حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع، ومنه: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، وبالرموز: ح= π×نق²×ع؛ حيث:
  • π: ثابت عددي، قيمته (3.14، 22/7).
  • نق: نصف قطر الأسطوانة.
  • ع: ارتفاع الأسطوانة.

يجدر بالذكر هنا أن الأسطوانة المائلة (بالإنجليزية: Oblique Cylinder)، وهي التي لا يقع مركز قاعدتها العلوية على استقامة واحدة مع مركز قاعدتها السفلية يُحسب ارتفاعها بنفس القانون السابق، وهو القانون المختص بالأسطوانة القائمة (بالإنجليزية: Right Cylinder) التي يقع مركز قاعدتيها على استقامة واحدة.^[٢]

لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الأسطوانة.

أمثلة على حساب حجم الأسطوانة

• المثال الأول: أسطوانة معدنيّة ارتفاعها 12سم، ونصف قطر قاعدتها 7سم، جِد حجمها.^[٣]
  • الحلّ:
  • بتعويض الارتفاع ونصف قطر القاعدة في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي:
  • حجم الأسطوانة= 7²×12×3.142= 1847.5سم³.

• المثال الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2سم، وارتفاعها 5سم، جِد حجمها.^[٤]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • حجم الأسطوانة= ²2×5×3.14= 62.8سم³

• المثال الثالث: أسطوانة ارتفاعها 8م، وقطرها 8م، جِد حجمها.^[٤]
  • الحلّ:
  • يجب الانتباه هنا إلى أنَّ المُعطَى هو القُطر وليس نصف القُطر، ولذلك يجب إيجاد نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2، ومن ثُمَّ تعويض الناتج في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، ويتمّ ذلك كما يأتي:
    • نصف القطر=2/8=4م.
  • وبالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة، ينتج أن: حجم الأسطوانة= 4²×8×3.14= 401.92م³

• المثال الرابع: إذا كان ارتفاع تنك لتخزين الزيت 30م، ونصف قطره 10م جد كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.^[٥]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • حجم الأسطوانة= ²10×30×3.14= 9,420م³، وهي كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.

• المثال الخامس: إذا كان ارتفاع أسطوانة ضعف محيط قاعدتها وكان نصف قطرها 10سم، جد حجمها.^[٥]
  • الحلّ:
  • حساب ارتفاع الأسطوانة باستخدام قانون محيط الدائرة (2×π×نق)؛ لأن قاعدة الأسطوانة دائرة الشكل، ومنه: الارتفاع=2× محيط القاعدة= 2×2×π×نق=2×2×3.14×10= 125.6سم.
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • حجم الأسطوانة= ²10×125.6×3.14= 39,438.4 سم³.

• المثال السادس: احسب كمية الماء الموجودة داخل قارورة مياه صغيرة الحجم، إذا كان الماء يملؤ 75% منها، علماً أن نصف قطرها الداخلي هو 2سم، وارتفاعها هو 6سم.^[٥]
  • الحلّ:
  • حساب ارتفاع الماء داخل القارورة= 0.75×6= 4.5سم؛ لأن الماء يملؤ 75% من القارورة.
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • حجم الأسطوانة= ²2×4.5×3.14= 56.52 سم³، وهي كمية الماء الموجودة داخلها.

• المثال السابع: إذا كان حجم الأسطوانة 54π م³، وارتفاعها 6 م، جد قيمة نصف قطرها.^[٥]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • نق²×6×π×54 =π ، وبقسمة الطرفين على (6π)، وأخذذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 3 م.

• المثال الثامن: قطعة حجم على شكل ربع أسطوانة نصف قطرها 8سم، وارتفاعها 5سم، جد حجمها.^[٥]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • حجم الأسطوانة= ²8×5×3.14= 1005 سم³، ولحساب حجم قطعة الجبن يجب قسمة الحجم كاملاً على (4)؛ لأن قطعة الجبن تمثل ربع الأسطوانة كاملة، ومنه:
  • حجم قطعة الجبن= 1005/4= 251.2 سم³.

• المثال التاسع: جد حجم الأسطوانة التي يبلغ ارتفاعها 6سم، ومساحة قاعدتها 30 سم².^[٦]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة:
  • حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع=30×6= 180 سم³.

• المثال العاشر: إذا كان هناك أنبوب معدني مجوّف من الداخل وأسطواني الشكل، نصف قطره الداخلي 2سم، ونصف قطره الخارجي 2.4سم، وطول الأنبوب 10سم، جد حجم المعدن المستخدم في صناعته.^[٦]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة الخارجية= 3.14× 2.4²×10= 180.9 سم³.
    • حجم الأسطوانة الداخلية= 3.14× 2²×10= 125.6 سم³.
  • حجم المعدن المستخدم في صناعتها= حجم الأسطوانة الخارجية-حجم الأسطوانة الداخلية= 180.9-125.6= 55.3 سم³، وهو حجم المعدن المستخدم في تصنيع هذا الأنبوب المعدني.

• المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الأسطوانة 440 م³، وارتفاعها 35 م، جد قيمة نصف قطرها.^[٧]
  • الحلّ:
  • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • 440= نق²×35×3.14 ، وبقسمة الطرفين على (35×3.14)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 2م.

• المثال الثاني عشر: إذا كان قطر أسطوانة ما يساوي ضعف ارتفاعها، وكان حجمها 64π سم، جد قيمة نصف قطرها.^[٨]
  • الحلّ:
  • قطر الأسطوانة وفق معطيات السؤال هو: قطر الأسطوانة= 2 ×نصف القطر= 2×الارتفاع؛ وبقسمة الطرفين على (2) ينتج أن نصف قطر الأسطوانة= ارتفاع الأسطوانة، وبتعويض القيم قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
  • π×نق×نق² = 64×π ، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج فإن، نق= 4سم.

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المساحة الجانبية للأسطوانة، قانون مساحة الإسطوانة.

فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها

للتعرف على هذا الشكل الهندسي وكيفية حساب مساحته وحجمه شاهد الفيديو الآتي:^[٩]

المراجع

1. ↑ "Volume", MathIsFun, Retrieved 25-3-2017. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Volume enclosed by a cylinder", Math Open Reference, Retrieved 25-3-2017. Edited.
3. ↑ "Volume of a Cylinder", mathteacher.com.au, Retrieved 25-3-2017. Edited.
4. ^ ^{أ ب} Daniel H., "Volume of cylinders"، basic-mathematics.com, Retrieved 25-3-2017. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت ث ج} "Calculating the volume of a cylinder", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Volume of Cylinders", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
7. ↑ "Volume of a Cylinder", byjus.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
8. ↑ "How to find the volume of a cylinder", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
9. ↑ فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها.