محتويات
كيفية حساب حجم الهرم الرباعي الناقص
يُعرّف الهرم الرباعي (Square Pyramid) بأنّه شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، يتكون من أربعة جوانب مثلثية وقاعدة مربعة ورأس تلتقي عنده نهاية الجوانب المثلثية الأربعة، ويُسمى قمة الهرم، ويُطلق على الهرم الرباعي اسم الهرم خماسي الوجوه لامتلاكه أربعة جوانب وقاعدة، ويُمكن حساب حجمه من خلال الصيغة الرياضية الآتية:[١]
حجم الهرم الرباعي = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
وبما أنّ قاعدة الهرم الرباعي مربعة الشكل، فإنّ مساحة القاعدة المربعة = الطول × العرض، وأطوال أضلاع المربع متساوية، فتُصبح المساحة = الضلع²، وبالتالي يُصبح قانون حجم الهرم الرباعي على النحو الآتي:
حجم الهرم الرباعي = ⅓ × (ضلع القاعدة)² × ارتفاع الهرم
وبالرموز العربية:
ح = ⅓ × س² × ع
وبالرموز الإنجليزية:
V = ⅓ × s² × h
حيث إنّ:
- ح (V): حجم الهرم الرباعي، ويُقاس بوحدة م³.
- س (s): طول أحد أضلاع القاعدة المربعة، ويُقاس بوحدة م.
- ع (h): الارتفاع العمودي للهرم، ويُقاس بوحدة م.
وإذا قطع الهرم الرباعي بمستوى يوازي القاعدة، فإنّ الجزء الواقع بين القاعدة والمستوى الموازي للقاعدة يُسمى هرم رباعي ناقص، وبالتالي يحتوي الهرم الرباعي الناقص على قاعدتين وأربعة جوانب، بحيث تكون القاعدة العلوية المربعة أصغر من القاعدة السفلية المربعة.[٢]
وبالتالي يجب إيجاد مساحة القاعدتين لإيجاد حجم الهرم الرباعي الناقص، وذلك كما يأتي:[٣]
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × (مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية + (مساحة القاعدة السفلية × مساحة القاعدة العلوية)√) × ارتفاع الهرم
وبما أنّ القواعد مربعة الشكل يُصبح القانون:
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × ( (ضلع القاعدة السفلية)² + (ضلع القاعدة العلوية)² + ((ضلع القاعدة السفلية)² × (ضلع القاعدة العلوية)²)√) × ارتفاع الهرم
وبالرموز العربية:
ح ن = ⅓ × ( س² + ص² + (س² × ص²)√) × ع
وبالرموز الإنجليزية:
V = ⅓ × (s + x + √ s x) × h
حيث إنّ:[٢]
- ح ن (V): حجم الهرم الرباعي الناقص، ويُقاس بوحدة م³.
- س (s): طول أحد أضلاع القاعدة المربعة السفلية، ويُقاس بوحدة م.
- ص (x): طول أحد أضلاع القاعدة المربعة العلوية، ويُقاس بوحدة م.
- ع (h): الارتفاع العمودي للهرم، ويُقاس بوحدة م.
أمثلة على حساب حجم الهرم الرباعي الناقص
ندرج فيما يأتي بعض الأمثلة على حساب حجم الهرم الرباعي الناقص:
إيجاد حجم الهرم الرباعي الناقص بمعلومية ارتفاعه ومساحة قاعدتيه
المثال (1):
أوجد حجم الهرم الرباعي الناقص الذي طول ضلع قاعدته السفلية 8 سم وطول ضلع قاعدته العلوية 5 سم وارتفاعه 10 سم.
الحل:
- تُكتب المعطيات:
طول ضلع القاعدة العلوية (ص) = 5 سم.
طول ضلع القاعدة السفلية (س) = 8 سم.
ارتفاع الهرم = 10 سم.
- تُعوض المعطيات في قانون حجم الهرم الرباعي الناقص على النحو الآتي:
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × ( س² + ص² + (س² × ص²)√) × ع
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × ( 8² + 5² + (8² × 5²)√) × 10
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × ( 64 + 25 + (1600)√) × 10
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × ( 89 + 40) × 10
حجم الهرم الرباعي الناقص = 430 سم³.
المثال (2):
أوجد حجم الهرم الرباعي الناقص الذي تبلغ مساحة قاعدته السفلية 50 سم² ومساحة قاعدته العلوية 33 سم² وارتفاعه 11 سم.
الحل:
- تُكتب المعطيات:
مساحة القاعدة السفلية = 50 سم².
مساحة القاعدة العلوية = 33 سم².
ارتفاع الهرم = 11 سم.
- تُعوض المعطيات في قانون حجم الهرم الرباعي الناقص على النحو الآتي:
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × (مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية + (مساحة القاعدة السفلية × مساحة القاعدة العلوية)√)× ارتفاع الهرم
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × (50 + 33 + (50 × 33)√)× 11
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × (83 + (1650)√)× 11
حجم الهرم الرباعي الناقص = 453.27 سم³.
إيجاد ارتفاع الهرم الرباعي الناقص بمعلومية حجمه
أوجد ارتفاع الهرم الرباعي الناقص الذي حجمه 643 سم³ ومساحة قاعدته السفلية 66 سم² ومساحة قاعدته العلوية 28 سم².
الحل:
- تُكتب المعطيات:
مساحة القاعدة السفلية = 66 سم².
مساحة القاعدة العلوية = 28 سم².
حجم الهرم = 643 سم³.
- تُعوض المعطيات في قانون حجم الهرم الرباعي الناقص على النحو الآتي:
حجم الهرم الرباعي الناقص = ⅓ × (مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية + (مساحة القاعدة السفلية × مساحة القاعدة العلوية)√)× ارتفاع الهرم
643 = ⅓ × (66 + 28 + (66 × 28)√) × ع
643 = ⅓ × (94 + (1848)√) × ع
643 = ⅓ × 136.98 × ع
ع = 14.08 سم.
المراجع
- ↑ "Square Pyramid", BYJU'S, Retrieved 6/1/2022. Edited.
- ^ أ ب "Frustum", CUEMATH, Retrieved 6/1/2022. Edited.
- ↑ "Frustum of a Pyramid", Math-Only-Math, Retrieved 6/1/2022. Edited.
