ما هي الأعداد الناطقة؟

تعريف الأعداد الناطقة

الأعداد الناطقة هي الأعداد النسبية (بالإنجليزية: Rational Numbers) وهي نوع من أنواع الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers)، وهي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسور، أي تتكون من بسط ومقام، حيث يكون كل من المقام والبسط أعدادًا صحيحة ويكون المقام لا يساوي الرقم صفر، ويمكن تمثيله بالرموز على صورة أ/ب، حيث أن أ و ب أعداد صحيحة، وب لا تساوي الرقم صفر.^[١]

طرق تمييز الأعداد النسبية

فيما يأتي بعض الأمثلة على كيفية تمييز الأعداد النسبية:^[٢]

• 2/7: العدد 2 هنا عدد صحيح، و7 عدد صحيح أيضًا، إذًا فهو عدد نسبي.
• 0/0: الرقم صفر هنا موجود بالمقام، لذلك ليس عدد نسبي.
• 9-: يمكننا كتابة العدد 9- على الصورة 1/ 9-، إذا فهو عدد نسبي.
• 0: الرقم صفر هنا بالبسط، لذلك فهو عدد نسبي أي يمكن كتابته على صورة 0/1.

الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية

إن الأعداد النسبية (بالإنجليزية: Rational Numbers) والأعداد غير النسبية (بالإنجليزية: Irrational Numbers)، كلاهما تحت مجموعة الأعداد الحقيقية لكن لهما خصائص مختلفة:^[٣]

الأعداد النسبية

وهي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسور، وعند القيام بقسمة الكسر يعطينا عدد عشري، ومن الأمثلة عليها ما يلي:

• العدد الصحيح: مثل الرقم 9 حيث يمكن كتابته على الشكل 9/1.
• الجذور للأعداد المربعة: مثل الجذر 81√ حيث يمكن تبسيطه إلى 9 ويمكن كتابته على الشكل 9/1.
• العدد العشري المنتهي والدوري: حيث يكون ناتج قسمة الكسر العشري المنتهي هو عدد عشري له نهاية مثل: 1/2 حيث يمكن كتابته كعدد عشري نهائي 0.5، ومثال آخر حيث يمكن التعبير عن الكسر 1/4 كعدد عشري نهائي إنه 0.25، أما الكسر العشري الدوري عندما يكون ناتج قسمة الكسر رقم غير منتهي ومتكرر مثل: 7/9 حيث يمكن كتابته كعدد عشري 0.7777777، ومثال آخر حيث يمكن التعبير عن 1/3 كعدد عشري دوري 0.33333 حيث إن تكرار العدد 3 سيستمر دون نهاية.^[٤]

الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية لا يمكن كتابتها على شكل كسور عشرية أو على شكل نسبة ولكن يمكن كتابتها على شكل أعداد عشرية، ومن الأمثلة عليها ما يلي:

• عدد مقامه صفر: مثل 5/0.
• الجذور للأعداد غير المربعة: مثل الجذر 2√ حيث إنه لا يمكن تبسيطه ويمكن كتابته على الشكل 1.41521356
• عدد عشري غير منتهي وغير دوري: هو عدد عشري يستمر إلى ما لا نهاية مع عدم وجود مجموعة من الأرقام تتكرر إلى ما لا نهاية مثل: 0.212112111 ولا يمكن تمثيل الأعداد العشرية من هذا النوع ككسور.
• الباي (π): قيمة الباي هي... 3.142 وهو رقم عشري لا ينتهي ولا يتكرر.

خصائص الأعداد النسبية

نظرًا لأن الأعداد النسبية هي نوع من أنواع الأعداد الحقيقية، فإنها سوف تخضع لجميع خصائص الأعداد الحقيقية، وفيما يلي بعض الخصائص المهمة للأعداد النسبية:^[١]

• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في العدد النسبي هو الرقم 1 فقط، فإنّه يُطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي.^[٢]
• عند ضرب عددين نسبيين فإنّ الناتج يكون حاصل ضرب البسط/حاصل ضرب المقام، مثل:

4/3 . 1/2 =

(2).(3) / (1).(4) =

4/6

• إذا ضربنا أو جمعنا أو طرحنا أي عددين نسبيين تكون النتائج دائمًا عددًا نسبيًا، بالتالي بعض الأمثلة:

2/5 . 3/7 = 6/35

2/3 - 1/3 = 1/3

7/6 + 2/5 = 47/30

• إذا قسمنا أو ضربنا البسط والمقام بنفس العامل يبقى العدد النسبي كما هو، بالتالي بعض الأمثلة:^[٢]

2/5 إذا تم ضرب البسط والمقام بالعدد 3

2.3/5.3 = 6/15

6/15 إذا تم قسمة البسط والمقام على العدد 3

3÷3/15÷6 = 2/5

• يتم إغلاق الأعداد النسبية في إطار عمليات الجمع والطرح والضرب، بالتالي بعض الأمثلة:^[٥]

(7/6) + (2/5) = 47/30

(5/6) - (1/3) = 1/2

(2/5). (3/7) = 6/35

• إذا أضفنا صفرًا إلى عدد نسبي، سنحصل على نفس الرقم نفسه، بالتالي بعض الأمثلة:^[٥]

1/2 + 0 = 1/2

• بالنسبة للأعداد النسبية، يكون الجمع والضرب تبادليًا (الخاصية التبادلية):^[٥]

(2/5) . (3/7) = (3/7) . (2/5) = 6/35

(7/6) + (2/5) = (2/5) + (7/6) = 47/30

علما بأن الخاصية التبادلية لا تنطبق على الطرح والقسمة حيث أن:

(1/3) - (2/3) = 1/3 بينما (2/3) - (1/3) = 1/3-

4/9 ÷ 1/2 = 8/9 بينما 1/2 ÷ 4/9 = 9/8

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Rational Numbers", byjus, Retrieved 9/1/2022. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Rational Numbers", toppr, Retrieved 9/1/2022. Edited.
3. ↑ "Rational and Irrational Numbers", byjus, Retrieved 9/1/2022. Edited.
4. ↑ "Terminating decimals on the GRE", economist, Retrieved 9/1/2022. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "Properties of Rational Numbers", byjus, Retrieved 9/1/2022. Edited.