ما هي مقاييس التشتت في الإحصاء

ما هي مقاييس التشتت في الإحصاء

في علم الإحصاء يوجد عدد كبير من القوانين التي يتمّ استخدامها في حساب تباين واحتمالات والتناسق بين المعلومات والبيانات ومن بين هذه القوانين يوجد مجموعة قوانين تُدعى مقايس التشتت(بالإنجليزية: Measures of dispersion) التي تدل على الفرق بين المعلومات والبيانات ومعدل التشتت والتباعد بينها، ولها أكثر من نوع^[١]

المدى

المدى (بالإنجليزية: Range) هو من أكثر قوانين التشتت سهولة وشهرة، حيث يختصّ هذه القانون بحساب الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة من بين قيم المعلومات والبيانات، أي أن:

المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة

وحسابه سهل ويعطي فكرة سريعة عن تباعد البيانات أو تقاربها، لكنه لا يستخدم جميع البيانات في حسابه.

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Mean Deviation) هو مقياس من مقاييس التشتت، يقيس مدى تباعد أو تقارب البيانات عن متوسطها الحسابيّ، ويمثل الجذر التربيعي الموجب لمتوسطات مربعات القيم المعطاة ويعدّ أساسًا لمجموعة قوانين أخرى تابعة لمقاييس التشتت.

وهناك حالتين لحساب الانحراف المعياري:

• الانحراف المعياري لكافة البيانات (بالإنجليزية Population Standard Deviation) أي في حال استخدام كافة البيانات المراد حساب الانحراف المعياري لها:

ولحسابه يجب إيجاد المتوسط الحسابيّ (وهو قانون حساب القيمة المتوسطة للمعلومات، ويتمّ حسابه عن طريق جمع كل القيم المدخلة وتقسيمها على عددها) ثم طرح كل قيمة معطاة في البيانات من المتوسط الحسابيّ، وتربيعها، ثم جمع كل النتائج من عملية التربيع، ثم قسمة النتيجة على عدد القيم وأخيرًا أخذ الجذر التربيعي لها، إذ تُستخدم مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت معًا لإيجاد الإنحراف المعياري.

يمكن تمثيل قانون الانحراف المعياري كالآتي:^[٢]

الانحراف المعياري= (( مجموع(القيمة - المتوسط الحسابي)² / عدد القيم) )√ ،

وبالرموز:

ع = ((مجموع مربع (س-μ)/ن))√

إذ أن:

س: القيم المدخلة.

√: رمز الجذر التربيعي

μ: المتوسط الحسابي

ن: عدد القيم.

• الانحراف المعياري للعينة (بالإنجليزية Sample Standard Deviation): في حال استخدام عينة من البيانات المراد حساب الانحراف المعياري لها وليس جميعها :

الانحراف المعياري للعينة = (مجموع (القيمة-المتوسط الحسابي للعينة)² / (عدد القيم-1))√،

ع=((مجموع مربع (س-μ) /ن-1))√

حيث :

س: القيم المشمولة في الحساب.

√: رمز الجذر التربيعي،

μ: المتوسط الحسابي

ن: عدد القيم.

ن-1: تصحيح بسل(Bessel's correction)

التباين

هو مقياس من مقاييس التشتت، وهو يمثّل مربع الإنحراف المعياري، التباين = ع².

معامل التشتت

معامل التشتت (بالإنجليزية: Dispersion coefficient) وهو ناتج الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة مقسومًا على مجموعهما، ويعدّ معامل التشتت المقياس الرئيس لتشتت البيانات والمعلومات المدخلة والمجموعة، وبطريقة أخرى يتمّ حساب معامل التشتت عن طريق حساب متوسط الانحراف وتقسيمه على متوسط القيم.

مثال على حساب مقاييس التشتت

إذا كان عدد الساعات اليوميّة التي يقضيها 4 طلاب في الدراسة ممثلة بالبيانات الآتية: 2، 5، 2، 3، أوجد قيم كل من: المدى وإلانحراف المعياري والتباين.

• يوجد أولًا المدى حسب العلاقة:

المدى= أكبر قيمة- أصغر قيمة = 5-2=3.

• يمكن ثانيًا إيجاد الانحراف المعياري حسب العلاقة:

ع = ((مجموع مربع (س-μ) /ن)√

1. يتم حساب الوسط أو المتوسط الحسابيّ والذي هو 12÷4= 3 . 2.ثم يتم طرح المتوسط الحسابيّ من كل قيمة ثم تربيعها:

2-12= (-10)²=100

5-12= (-7)²=49

2-12=(-10)²=100

3-12=(-9)²=81

3. تجمع القيم المربّعة:

(100+100+49+81=330)

4. يقسم المجموع السابق على عدد القيم:

330/4=82.5

5. يؤخذ الجذر التربيعيّ لناتج القسمة والذي يمثل قيمة الانحراف المعياري، حيث:

ع = 82.5√=9.0829

• بالنسبة للتباين فهو مربع الإنحراف المعياري:

(9.0829)²=82.5 تقريبًا.

المراجع

1. ↑ "Measures of Dispersion", www.toppr.com, Retrieved 11-1-2020. Edited.
2. ↑ "Standard Deviation", www.mathsisfun.com, Retrieved 2020-10-27. Edited.