مجسم الموشور وأنواعه

أجزاء مجسم الموشور

يُعدّ الموشور واحدًا من الأشكال الهندسية الرياضية ثلاثيّة الأبعاد (بالإنجليزية: Prism)، ويتميّز باحتوائه على قاعدتين متطابقتين وأوجه مسطّحة، كما أنّه يتميّز بتساوي المقطع العرضي عند أيّ نقطة على طول محوره، بالإضافة إلى ذلك فإنّ مجسم الموشور يُسمّى عادةً تِبعًا لعدد أضلاع قاعدته، وقد يُخطئ بعض الطلاب في التفريق بين الهرم والموشور، إلّا أنّ مفتاح التمييز الأساسي بينهما هو احتواء الهرم على قاعدة مفردة واحدة بينما يحتوي الموشور على قاعدتين اثنتين،^[١][٢] ويُطلق على الموشور اسم عديد الأوجه أيضًا إشارةً إلى أوجهه المضلّعة،^[٣] ويتكوّن مجسم الموشور من الأجزاء الآتية:

قاعدتان

تكون القاعدتان (بالإنجليزية: Bases) للموشور مسطّحة ومتطابقة شكلًا، كما أنّها المُحدّد الرئيس لنوع مجسم الموشور، فالموشور الثلاثي تتكوّن قاعدته من 3 أضلاع، والخماسي من 5 أضلاع وهكذا.^[٤]

رؤوس

تُعرّف رؤوس الموشور عمومًا (بالإنجليزية: Vertices)؛ بأنّها النقاط التي تلتقي عندها حواف الشكل ثلاثيّ الأبعاد ويمكن اعتبارها الزوايا الخاصة به،^[٥] كما يحتوي مجسم الموشور على 6 رؤوس كحدٍّ أدنى، ويوجد بعض العلاقات الرياضيّة التي تربط بين شكل الموشور وعدد رؤوسه،^[٤] ويوضّح الجدول أدناه عدد رؤوس بعض أنواع الموشور:^[٦]

أحرف جانبية

يفصل الحرف الجانبي (بالإنجليزية: Edge) عمومًا بين وجهين في الشكل ثلاثي الأبعاد،^[٥] ولا بدّ للحرف أن يكون مستقيمًا دون انحناء، ويكون عدد حواف الموشور 9 كحدّ أدنى تبعًا لشكله،^[٤] ويوضّح الجدول أدناه عدد الأحرف الجانبية لبعض أنواع مجسم الموشور:^[٦]

أوجه جانبية

يتميّز مجسم الموشور بشكل الأوجه الجانبية له (بالإنجليزية: Faces)، فهي جميعها مستطيلة الشكل عادةً، ويبلغ عدد الأوجه للموشور على الأقل 5 أوجه (مع القاعدتين) فتكون الجانبية 3 كحدّ أدنى، كما يوجد علاقة طردية تربط بين عدد الأحرف الجانبية وعدد الوجود الجانبية للموشور، فكلّما زاد عدد الأحرف ازداد عدد الوجوه بالمقدار ذاته.^[٤]

الموشور هو مجسّم ثلاثي الأبعاد، يتكوّن من أوجه مستطيلة عادةً، ويتميّز باحتوائه على قاعدتين تتطابقان في الشكل مع المقطع العرضي للمجسم على طول محوره، كما يتألف الموشور من عدد من الأجزاء الأساسية؛ كالأحرف، والقاعدتين، والأوجه الجانبية، والرؤوس، وتكون هذه الأجزاء ثابتة لجميع أنواع الموشور مع تباينها في أعدادها.

أنواع الموشور

يوجد العديد من الأنواع للموشور، والتي تختلف حسب شكله، فتصنّف كما ذُكر سابقًا تبعًا لشكل مقطعه العرضي أو شكل قاعدته، وبعد معرفة نوع الموشور يمكن إيجاد مساحة سطح المنشور الرباعي وحسابات أخرى متعلقة به،^[٧] وفيما يأتي أنواع الموشور بالتفصيل:

أنواع الموشور اعتمادًا على المقطع العرضي

يعرف المقطع العرضي (بالإنجليزية: Cross Section) عمومًا على أنّه الشكل الهندسي الناتج عن قطع الشكل ثلاثيّ الأبعاد بشكل مستقيم وعمودي على محوره الرئيسي، ويعدّ المقطع العرضي أحد الأسس المعتمدة في تحديد نوع مجسم الموشور وتصنيفه إلى موشور منتظم، وموشور غير منتظم،^[١][٨] وفيما يأتي تفصيل لذلك:

الموشور المنتظم

يكون الموشور منتظمًا (بالإنجليزية: Regular Prism)؛ إذا كان شكل مقطعه العرضي (أو قاعدته) منتظمًا،^[٩] ويمكن معرفة فيما إذا كان المقطع العرضي منتظم من خلال معيار محدد وهو طول أضلاعه، فالشكل المنتظم يحتوي على عدد من الأضلاع جميعها متساوية، وتكون زواياه الداخلية جميعها متطابقة أيضًا، ومن الأشكال المنتظمة المعروفة للمقطع العرضي للموشور بالتفصيل ما يأتي:^[١٠]

الموشور غير المنتظم

يكون الموشور غير منتظم (بالإنجليزية: Irregular Prism) إذا كان شكل مقطعه العرضي (أو قاعدته) غير منتظمة الشكل،^[٩] كما يمكن القول بأنّ الأوجه الجانبية للموشور غير المنتظم لا تكون متشابهة من حيث الأبعاد أيضًا،^[١١] ويطلق مصطلح الشكل غير المنتظم عمومًا على أيّ شكل هندسي لا تتساوى فيه الأبعاد ولا تتطابق الزوايا الداخلية له، وبذلك يمكن الحصول على أكثر من شكل بـ8 أضلاع مثلًا وتسميته بالشكل الثماني غير المنتظم.^[١٢]

أنواع الموشور اعتمادًا على شكل القاعدة

يختلف شكل المنشور الثلاثي عن شكل المنشور الرباعي بسبب اختلاف شكل قاعدة كل منهما عن الآخر بصورة أساسية، فالموشور عمومًا ينقسم إلى عِدّة أقسام اعتمادًا على شكل القاعدة، ويمكن استنباط اسم الموشور حسب هذه الأشكال أيضًا،^[١] فيما يأتي شرح كل نوع بالتفصيل:

الموشور الثلاثي

يتألّف مجسم الموشور الثلاثي (بالإنجليزية: Triangular Prism) من قاعدتين مثلّثتين، و3 أوجه جانبية مستطيلة الشكل، وفيه:^[١٣][١٤]

• عدد الأوجه الكلية: 5 أوجه.
• عدد الرؤوس: 6 رؤوس.
• عدد الأحرف الجانبية: 9 أحرف.
• الارتفاع: هو المسافة العمودية التي تفصل بين قاعدتيه المتوازيتين.
• الحجم: يكافئ (الارتفاع × مساحة إحدى القاعدتين المثلثتين).
• مساحة القاعدة: تكافئ (مساحة المثلث= 1/2 × قاعدة المثلث × ارتفاعه).

الموشور الرباعي

يتألف الموشور الرباعي (بالإنجليزية: Rectangular Prism) من مستطيلات يبلغ عددها 6، تنقسم إلى أوجه جانبية وقاعدتين، وفيه كل وجهين متقابلين متماثلين ومتطابقين.^[١٥]،^[١٣] كما يُعرف أيضًا باسم متوازي المستطيلات، وفيه:^[١٣][١٥]

• عدد الأوجه الكلية: 6 أوجه.
• عدد الرؤوس: 8 رؤوس.
• عدد الأحرف الجانبية: 12 حرفًا.
• الحجم: يكافئ (الطول × العرض× الارتفاع) وهو حاصل ضرب أبعاده الثلاثة جميعها.
• مساحة سطحه الجانبي: تساوي حاصل جمع مساحات أسطحه الجانبية الأربعة، وتكافئ (2×((العرض× الارتفاع) + (الطول× الارتفاع))).^[١٥]
• مساحة قاعدته: تساوي مساحة المستطيل، وتكافئ (طول القاعدة × عرضها).

الموشور الخماسي

يتألف الموشور الخماسي (بالإنجليزية: Pentagonal Prism) من قاعدتين خماسيّتين، و 5 مستطيلات تمثّل الأوجه الجانبية له، والأوجه السبعة المستطيلة مستوية ومتطابقة، ومقطعه العرضي خماسي، وفيه:^[١٣][١٥]

• عدد الأوجه الكلية: 7 أوجه.
• عدد الرؤوس: 10 رؤوس.
• عدد الأحرف الجانبية: 15 حرفًا.
• الحجم: يكافئ (5/2× طول المنشور× طول قاعدته× ارتفاعه).
• المساحة السطحية: تكافئ ((5× طول المنشور× طول قاعدته) + (5× طول قاعدة المنشور× ارتفاع)).

الموشور السداسي

يتألف الموشور السداسي (بالإنجليزية: Hexagonal Prism) من قاعدتين سداسيّتيّ الشكل، و6 مستطيلات تمثّل الأوجه الجانبية له، كما أنّه قد يكون منتظم أو غير منتظم، وتكون الزوايا الداخلية للقاعدة السداسية متساوية إذا كان موشورًا منتظمًا، وفيما يأتي بعض من خصائصه:^[١٦][١٧]

• عدد الأوجه الكلية: 8 أوجه.
• عدد الرؤوس: 12 رأس.
• عدد الأحرف الجانبية: 18 حرفًا.
• الحجم: يكافئ (3×(3)^0.5)/2) × (طول القاعدة²) × الارتفاع).
• المساحة السطحية: تكافئ ((6 × طول القاعدة × ارتفاع الموشور) +(3(3)^0.5) × (طول القاعدة²)).

أنواع الموشور اعتمادًا على الزاوية بين الأوجه والأحرف

يعد الموشور القائم والمائل من التصنيفات الأخرى الهامّة عند دراسة مجسم الموشور، ويعتمد هذا التصنيف بصورة أساسية على الزاوية التي تتشكّل بين أضلاع أوجه الموشور وأحرف قاعدته،^[١] وفيما يلي كل نوع من هذه الأنواع بالتفصيل:

الموشور القائم

يطلق اسم الموشور القائم (بالإنجليزية: Right Prism) على أي مجسم موشور يتّصف بالخصائص الآتية:^[١][٣]

• الزوايا التي تربط بين قاعدتيه والأوجه الجانبية له جميعها قائمة (تساوي 90 درجة).
• شكل الأوجه الجانبية للموشور القائم هو مستطيلات.
• مساحة سطحه تكافئ (طول قاعدة الموشور× ارتفاعه) + 2× (طول المنشور× طول جانبه) + (طول المنشور× طول قاعدته).
• حجمه يكافئ 0.5× (طول قاعدة الموشور× ارتفاعه× طوله).
• عند النظر عبر الموشور القائم من إحدى قاعدتيه يُلاحظ انطباقها مباشرةً على القاعدة المقابلة.
• جميع المقاطع الجانبة للموشور القائم متوازية ومتطابقة على طول محوره وعمودية عليه.
• ارتفاع الموشور القائم يوازي حافته الجانبية ويساوي طولها دائمًا ويكافئ المسافة العمودية التي تفصل بين قاعدتي الموشور.

الموشور المائل

يطلق اسم الموشور المائل (بالإنجليزية: Oblique Prism) على أيّ مجسم موشور يتّصف بالخصائص الآتية:^[١][٣]

• الزاوية التي تربط بين أوجهه الجانبية وقاعدته عند الحروف غير قائمة (لا تساوي 90 درجة).
• شكل الأوجه الجانبية للموشور المائل هو متوازي الأضلاع.
• مساحة سطحه تكافئ (طول قاعدته ×ارتفاعه) + 2 (طول الموشور× طول الجانب) + (طول الموشور× طول قاعدته).
• حجمه يكافئ 0.5× (طول قاعدة الموشور× ارتفاعه× طوله).
• عند النظر عبر الموشور المائل من إحدى قاعدتيه يُلاحظ عدم انطباقها مباشرةً على القاعدة المقابلة.
• جميع المقاطع الجانبية للموشور المائل متوازية ومتطابقة إلّا أنّ نهايات المقاطع الجانبية لا تكون عمودية على القواعد.
• ارتفاع الموشور المائل لا يكون موازيًا لحافّته الجانبية ولا يساوي طولها إطلاقًا، إنّما يكافئ أقصر مسافة بين قاعدتي الموشور دائمًا.

يمكن تصنيف الموشور حسب عدّة معايير؛ كشكل القاعدة، والشكل الهندسي للمقطع العرضي إن كان منتظمًا أم لا، كما يمكن تقسيمه بناءً على الزاوية بين أوجهه الجانبيه وقاعدته، وترتيب القاعدتين أسفل بعضهما بصورة تمكّن الناظر من إحداهما عبر المنشور من رؤية الأخرى منطبقة تمامًا عليها، أو استحالة ذلك، إلى موشور قائم، وموشور مائل، مع ضرورة الانتباه إلى الخصائص المشتركة والمختلفة بين أنواع الموشور جميعها.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} "Prism", Byjus, Retrieved 13/08/2021. Edited.
2. ↑ "Pyramid ", Byjus, Retrieved 13/8/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Prisms", Math Bits Notebook, Retrieved 13/08/2021. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث} "10.2 Faces, Edges, and Vertices of Solids", ck12, 17/08/2016, Retrieved 13/08/2021. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "What are the properties of 3D shapes?", BBC, Retrieved 13/08/2021. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Vertices, Faces and Edges", Vedantu, Retrieved 13/08/2021. Edited.
7. ↑ "Prisms", Maths Is Fun, Retrieved 13/08/2021. Edited.
8. ↑ "cross section", Merriam-Webster, Retrieved 13/08/2021. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Prisms", CUEMATH, Retrieved 13/08/2021. Edited.
10. ↑ "What are regular and irregular shapes?", Edplace, Retrieved 13/08/2021. Edited.
11. ↑ "Prisms", TechnologyUK, Retrieved 13/08/2021. Edited.
12. ↑ "What are regular and irregular shapes?", The School Run, Retrieved 13/08/2021. Edited.
13. ^ ^{أ ب ت ث} "3D Shapes Prisms", Learner, Retrieved 13/08/2021. Edited.
14. ↑ "Volume of Triangular Prism", CUEMATH, Retrieved 13/08/2021. Edited.
15. ^ ^{أ ب ت ث} "Rectangular Prism", CUEMATH, Retrieved 13/08/2021. Edited.
16. ↑ "Hexagonal Prism - Definition with Examples", Splash Learn, Retrieved 13/08/2021. Edited.
17. ↑ "Hexagonal Prism", CUEMATH, Retrieved 13/08/2021. Edited.