مسائل على حجم المخروط

كيفية حساب حجم المخروط

يمكن حساب حجم المخروط اعتمادا على نوعه، وذلك كما يلي:

قانون حجم المخروط القائم

فيما يأتي قانون حساب حجم المخروط القائم بالكلمات والرموز:^[١]

حجم المخروط= 1/ 3 × مساحة القاعدة الدائرة × الارتفاع.

بالرموز: حجم المخروط = 1/ 3× π × نق²× ع.

قانون حجم المخروط الناقص

فيما يأتي قانون حساب حجم المخروط الناقص بالكلمات والرموز:^[٢]

حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (مساحة القاعدة الأولى + مساحة القاعدة الثانية + الجذر التربيعي لناتج (مساحة القاعدة الأولى × مساحة القاعدة الثانية) × الارتفاع.

وبالرموز: حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (م1+م2+ √(م1×م2)) ×ع.^[٢]

مسائل على حجم المخروط

فيما يلي بعض المسائل على حجم المخروط:

السؤال الأول: احسب حجم مخروط قائم إذا كان نصف قطره = 2 سم، وارتفاعه = 5 سم.^[١]

الحل:

مُعطيات السؤال:

نق= 2 سم.

ع= 5 سم.

بالتعويض بالقانون: حجم المخروط = 1/ 3× π × نق²× ع.

= (1/3) × 3.14 × (2)² × 5

= (1/3) × 3.14 × 4 × 5

= (1/3) × 3.14 × 20

ومنها حجم المخروط= 20.93 سم³.

السؤال الثاني: مخروط ناقص قاعدتيه مربعات الشكل إذا كان طول ضلع القاعدة الأولى 10 سم، وطول ضلع القاعدة الثانية 7 سم، وفرق الارتفاع بينهما 12 سم، جد حجم المخروط الناقص.^[٢]

الحل:

معطيات السؤال:

يمكن حساب مساحة قواعد الهرم من خلال قانون مساحة المربع.

مساحة المربع= (طول الضلع)².

مساحة القاعدة الأولى= (10)² = 100 سم².

مساحة القاعدة الثانية= (7)² = 49 سم².

ع= 12 سم.

بالتعويض بالقانون: حجم المخروط الناقص= 1 /3 × (م1+م2+ √(م1×م2)) ×ع.

حجم المخروط الناقص= 1 /3 ×(100+49+ √(100×49)×12

حجم المخروط الناقص= 876 سم³.

السؤال الثالث: احسب حجم مخروط قائم إذا كان قطره 7 سم وارتفاعه 12 سم.^[٣]

الحل:

معطيات السؤال:

نق= 7/ 2 = 3.5.

ع= 12 سم.

بالتعويض بالقانون: حجم المخروط = 1/ 3× π × نق²× ع.

= (1/3) × 22/ 7 × (3.5)² × 5

6= (1/3) × 22/ 7 × 61.25

ومنها حجم المخروط= 154 سم³.

السؤال الرابع: إذا كان حجم مخروط دائري قائم هو 9856 سم³، وكان قطر قاعدته 28 سم، احسب ارتفاعه.^[٤]

الحل:

معطيات السؤال:

قطر القاعدة= 28 سم.

نق= 28 /2 = 14 سم.

حجم المخروط= 9856 سم³

بالتعويض بالقانون= حجم المخروط = 1/ 3× π × نق²× ع.

9856= 1/ 3× 7/22 ×(14)² × ع.

ومنها ع= 48 سم.

السؤال الخامس: تملأ أمل كيسًا مخروطيًا بالمجوهرات، إذا كانت سعة الكيس 24 سم، كم يبلغ ارتفاع الكيس إذا كان نصف قطره 3 سم؟^[٣]

الحل:

معطيات السؤال:

نق= 3 سم

حجم المخروط= 24 سم.

بالتعويض بالقانون: حجم المخروط= 1/ 3× π × نق²× ع.

24= 1/ 3× π×(3)²× ع.

ومنها، 3ع= 24 π.

الإرتفاع= 8 π سم.

السؤال السادس: يوجد مخروطان الأول قطره 6 سم وارتفاعه 10 سم، والآخر قطره 3 وارتفاعه 8، إذا تم تعبئة المخروط الصغير بالرمل وتم تفريغ هذه الرمال بالمخروط الأكبر، ما الحجم المتبقي داخل المخروط الكبير.^[٥]

الحل:

نقوم بحساب حجم كل مخروط

نق المخروط الأكبر= 6/ 2 =3

نق المخروط الأصغر= 3/ 2= 1.5

حجم المخروط الأكبر= (1/3)×π×3²×10

حجم المخروط الأكبر= π30 سم³.

حجم المخروط الأصغر= (1/3)×π × ²1.5×8

حجم المخروط الأصغر= 6 سم³.

حجم الفراغ الباقي داخل المخروط الكبير= حجم المخروط الكبير - حجم المخروط الصغير= 30π - π6،

= π24 سم³.

السؤال السابع: جد نصف قطر مخروط إذا كان حجمه 132 سم³ وارتفاعه 14سم.^[٣]

الحل:

بالتعويض بالقانون= حجم المخروط = 1/ 3× π × نق²× ع.

132= (1/3) × (22/7) × نق² × (14).

نق²= (132 × 7 × 3) / (22 × 14).

نق²= 9.

نق= 3 سم.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} byjus team (2019), "Volume of a Cone", byjus, Retrieved 31/12/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} cuemath team (2020), "Volume of Frustum", cuemath, Retrieved 31/12/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} cuemath team (2020), "Volume of Cone", cuemath, Retrieved 31/12/2021. Edited.
4. ↑ Joe Kochitty, Rajshekhar Ratrey,Parabhadeep Dedi...etc (2020), "Cone", toppr, Retrieved 31/12/2021. Edited.
5. ↑ varsitytutors team (2020), "Example Questions", varsitytutors, Retrieved 31/12/2021. Edited.