معلومات عن التفاضل والتكامل

مفهوم التفاضل

ما هو قانون التفاضل؟

يعد التفاضل Differention أحد فروع التحليل الرياضي، الذي يعنى بإيجاد معدل التغير لدالة ما بالنسبة إلى المتغير الذي تعتمد عليه، ويعبر التفاضل عن المشتقات التي تستخدم لحل المسائل التي تحوي معدلات تغير غير ثابتة^[١]، كما يستخدم في إيجاد السرعة والمسافة وميل خطوط المماس ومعدل تغير درجة الحرارة واشتقاق القوانين الفيزيائية بالإضافة إلى حساب الربح والخسارة للأعمال التجارية^[٢]، ويمكن التعبير عن المشتقة والتي تساوي معدل التغير اللحظي بالقانون الآتي:^[٣]

المشتقة عند القيمة س = نهاية ( (قيمة الاقتران عند القيمة (س+ه) - الاقتران عند القيمة س) / القيمة ه)، وذلك عندما تؤول قيمة ه إلى الصفر

المشتقة = قَ(س) = نها ((ق(س+ه) - ق(س)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر.

يعنى التفاضل بإيجاد معدل التغير لدالة ما بالنسبة إلى المتغير الذي تعتمد عليه، ويعبر عن المشتقات التي تستخدم لحل المسائل المختلفة.

مفهوم التكامل

ما هو قانون التكامل؟

يعرف التكامل Integral calculus بأنه معكوس التفاضل؛ أي الاشتقاق، وبالتالي فإنه يستخدم لإيجاد دالة ما إذا كان معدل تغيرها معلومًا، ويقسم التكامل إلى نوعين؛ تكامل غير محدود مسؤول عن إيجاد الدالة أو الاقتران الأصلي، وتكامل محدود مسؤول عن إيجاد قيمة التكامل غير المحدود بين حدين أو طرفين معينين^[٤]، وتشمل تطبيقات التكامل حساب كل من؛ المسافة، السرعة، التسارع، الحجم، الاحتمالات، طول القوس، مساحة السطح، الطاقة الحركية، والمساحة بين المنحنيات^[٥]، ويمكن التعبير عن تكامل اقتران ما بالقانون الآتي:^[٦]

تكامل س مرفوعة للقوة ن بالنسبة إلى س = ((س مرفوعة إلى القوة (ن+1)) مقسمومةً على (ن+1)) مجموعةً إلى عدد ثابت مجهول.

∫ س^ن دس = ((س^(ن+1)) / (ن+1)) + ج

يعرف التكامل بأنه معكوس التفاضل، وبالتالي فإنه يستخدم لإيجاد دالة ما إذا كان معدل تغيرها معلومًا, ويقسم إلى نوعين؛ محدود وغير محدود.

مكتشف التفاضل والتكامل

من الذي أوجد طريقة تدوين التفاضل والتكامل؟

لا يعد مكتشف التفاضل والتكامل شخصًا واحدًا فقط، بل يعزى هذا الاكتشاف إلى عالمين، هما؛ إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز، حيث قام كل منهما بوضع أسس التفاضل والتكامل بشكل مستقل وبطرق مختلفة، ولكن الاثنان قاما بدراسة هذه الأسس من ناحية رسم بياني للدوال، ولقد كان غوتفريد لايبنتز مدركًا لأهمية إيجاد طريقة تدوين جيدة، حيث اعتبرت طريقته أكثر ملاءمة لحساب التفاضل والتكامل لمتغيرات متعددة، على غرارإسحاق نيوتن الذي كان يستخدم أي رمز يراه مناسبًا في ذلك اليوم.^[٧]

قام العالمان إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز باكتشاف أسس علم التفاضل والتكامل.

تطبيقات التفاضل والتكامل

ما هي تطبيقات التفاضل والتكامل في مجال الفيزياء؟

يعتبر حساب التفاضل والتكامل في الوقت الحالي نقطة الدخول الأساسية لأي شخص يرغب بدراسة الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء والاقتصاد والتمويل وعلم الهندسة والطب والديموغرافيا، وقد قام هذا العلم بحل كثير من المشكلات مثل تتبع موقع مكوك فضائي، أو التنبؤ بالضغط المتراكم خلف سد مع ارتفاع الماء فيه، والآن مع وجود جهاز الحاسوب أصبح من السهل حلّ بعض مسائل التفاضل والتكامل التي كانت صعبة بل ومستحيلة^[٨][٩]، وفيما يأتي بعض من تطبيقات علم التفاضل والتكامل:

الفيزياء

في الفيزياء ترتبط جميع المفاهيم في الميكانيكا الكلاسيكية والكهرومغناطيسية من خلال حساب التفاضل والتكامل، ومن الأمثلة على تطبيقات هذا العلم استخدامه في قانون نيوتن الثاني للحركة، حيث إنّه تم ذكر كلمة "تغير الحركة" تاريخيًا والتي تشير إلى أنّ التغير في زخم الجسم يساوي القوة المحصلة المؤثرة على الجسم في نفس الاتجاه، والتي يعبر عنها حاليًا بأنّ القوة المحصلة تساوي كتلة الجسم ضرب تسارعه، ويتم التعبير عن قوانين النظرية النسبية لآينيشتاين ونظرية ماكسويل للمجالات الكهرومغناطيسية بلغة التفاضل والتكامل أيضًا.^[٩]

الهندسة

يساعد التفاضل والتكامل في الهندسة المعمارية، حيث يساهم في تحديد كميات المواد اللازمة في بناء الهياكل المنحنية وتحسين البنى التحتية للجسور، كما يساعد في فروع الهندسة الكهربائية لتحديد الطول الدقيق لكابل الطاقة اللازم للتوصيل بين محطتين تبعدان أميال عن بعضهما البعض، بالإضافة إلى أهمية علم التفاضل والتكامل في هندسة الطيران الفضائية عند التخطيط لرحلات الفضاء الطويلة، فعند إطلاق مكوك استكشافي يجب الأخذ بعين الاعتبار سرعة دوران الأرض والكوكب المستهدف وقوى الجاذبية المؤثرة للشمس والقمر.^[١٠]

الكيمياء والأحياء

يساعد التفاضل والتكامل في تحديد معدلات التفاعلات الكيميائية وفي إيجاد بعض المعلومات المهمة حول الإضمحلال الإشعاعي^[١٠]، كما يستخدم في تحديد دينامية كثافة السكان حيث تبدأ بمعدلات الولادة والوفيات وصولًا لمعدلات تغير الكثافة السكانية.^[٩]

الرياضيات والإحصاء والهندسة التحليلية

يمكن استخدامه جنبًا إلى جنب مع التخصصات الرياضية الأخرى، فعلى سبيل المثال يمكن استخدامه مع الجبر الخطي للعثور على التقريب الخطي الأنسب لمجموعة نقاط ضمن مجال معين، ويستخدم أيضًا في دراسة الرسوم البيانية لبعض الاقترانات، ولإيجاد القيم القصوى والقيم الصغرى، وقيم الميل، ونقاط التحول في الاقتران^[٩]، كما يساعد في تقييم الاستبيانات الإحصائية للشركات وتحديد قيم أكثر دقة للتنبؤات وخطط العمل المستقبلية.^[١٠]

الطب

يستخدم للعثور على الزاوية المتفرعة الأمثل للأوعية الدموية وذلك لزيادة التدفق، وأيضًا في قوانين الاضمحلال لإزالة دواء معين من جسم المريض، أما في الطب النووي فيستخدم لبناء نماذج للعلاج الإشعاعي الذي يستهدف الأورام^[٩]، كما يستخدم في تحديد معدل النمو الدقيق للبكتيريا في أوساط غذائية أو درجات حرارة مختلفة.^[١٠]

الاقتصاد

يدخل علم التفاضل والتكامل في الاقتصاد أيضًا؛ وذلك لتحديد أقصى ربح خلال توفير وسيلة لحساب التكلفة الحدية والإيرادات الحدية بسهولة^[٩]، كما يستخدم لمراقبة العمليات في شركات التصنيع، من أجل تحسين كفاءة التشغيل زيادة الإنتاج والأرباح.^[١٠]

يدخل استخدام علم التفاضل والتكامل في مختلف مجالات العلوم؛ الفيزياء والكيمياء والأحياء والرياضيات والهندسة التحليلية والطب والاقتصاد.

مسائل على حساب التفاضل والتكامل

كيف يمكن إيجاد السرعة اللحظية باستخدام التفاضل؟

هنالك قوانين وتقنيات عديدة تسهل إيجاد حلول التفاضل والتكامل، ولكن تعتمد الأمثلة الآتية على الطريقة الرئيسية في حساب كل من التفاضل والتكامل:

مسائل على حساب التفاضل

• المثال الأول: ما هي مشتقة الاقتران ق(س)=4س^2؟^[١١]

القانون: قَ(س) = نها ((ق(س+ه) - ق(س)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر.

إيجاد قيمة ق(س+ه) وق(س) عن طريق تعويضهما في الاقتران الأصلي :

ق(س+ه) = 4*(س+ه)^2= 4س^2 + 8س ه +4ه^2

ق(س) = 4س^2

تعويض القيم التي تم إيجادها في القانون:

قَ(س) = نها ((ق(1+ه) - ق(1)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

قَ(س) = نها ((4س^2 + 8س ه +4ه^2 - 4س^2)/ه)

قَ(س) = نها ((8س ه + 4ه^2)/ه)

أخذ ه عامل مشترك ثم اختصارها مع المقام:

قَ(س) = نها ((ه(8س + 4ه))/ه)

قَ(س) = نها (8س +4ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

تعويض 0 مكان ه:

قَ(س) = نها 8س = 8س

• المثال الثاني: ما هي السرعة اللحظية عند س=1 لجسم تم قذفه إلى الأعلى بخط مستقيم، بحيث يتم التعبير عن موقعه بالأقدام عن طريق الاقتران، ق(س) = 96 + 64س -16س^2؟^[١١]

القانون: السرعة اللحظية = قَ(س) = نها ((ق(س+ه) - ق(س)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر.

تعويض قيمة س بالرقم 1 في القانون:

قَ(1) = نها ((ق(1+ه) - ق(1)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

إيجاد قيمة ق(1+ه) وق(1) عن طريق تعويضهما في الاقتران الأصلي:

ق(1+ه) = 96 + 64 (1+ه) - 16 (1+ه)^2= 96 + 64 + 64ه - 16 - 32ه - 16ه^2 = 144 + 32ه - 16ه^2

ق(1) = 96 + 64*1 - 16*1^2= 144

تعويض القيم التي تم إيجادها في القانون:

قَ(1) = نها ((ق(1+ه) - ق(1)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

قَ(1) = نها ((144 + 32ه - 16ه^2 - 144) / ه)

قَ(1) = نها (32ه - 16ه^2)/ه)

أخذ ه عامل مشترك ثم اختصارها مع المقام:

قَ(1) = نها (ه(32 - 16ه)/ه)،

قَ(1) = نها (32 - 16ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

قَ(1) = نها (32 - 16*0)= 32 قدم/ثانية

• المثال الثالث: ما هو ميل المماس للاقتران ص = ق(س) = س^2 عند النقطة (4,2)؟^[١١]

القانون: ميل المماس = قَ(س) = نها ((ق(س+ه) - ق(س)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر.

تعويض قيمة س بالرقم 2 في القانون:

قَ(2) = نها ((ق(2+ه) - ق(2)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

إيجاد قيمة ق(2+ه) وق(2) عن طريق تعويضهما في الاقتران الأصلي:

ق(2+ه) = (2 + ه)^2 = 4 + 4ه + ه^2

ق(2) = 2^2 = 4

تعويض القيم التي تم إيجادها في القانون:

قَ(2) = نها ((ق(2+ه) - ق(2)) / ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

قَ(2) = نها ((4 + 4ه + ه^2 - 4) / ه)

قَ(2) = نها (4ه + ه^2)/ه)

أخذ ه عامل مشترك ثم اختصارها مع المقام:

قَ(2) = نها (ه(4 + ه)/ه)

قَ(2) = نها (4 + ه)، عندما تؤول ه إلى الصفر

تعويض ه بالرقم 0:

قَ(2) = نها (4 + ه)= 4

مسائل على حساب التكامل

• المثال الأول: ما قيمة تكامل (س^3)؟^[٦]

القانون: ∫ س^ن دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + ج

تعويض 3 مكان ن:

∫ س^3 دس = (س^(3+1) / (3+1)) + ج

∫ س^3 دس = (س^(4) / (4)) + ج

∫ س^3 دس = (س^4)/4 + ج

• المثال الثاني: ما قيمة تكامل (س√)؟^[٦]

القانون: ∫ س^ن دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + ج

تحويل الجذر التربيعي إلى أس، حيث إن الجذر التربيعي يعادل الأس 0.5:

س√ = س^0.5

تعويض 0.5 مكان ن:

∫ س^0.5 دس = (س^(0.5+1) / (0.5+1)) + ج

∫ س^0.5 دس = (س^(1.5) / (1.5)) + ج

∫ س^0.5 دس = (س^1.5)/1.5 + ج

• المثال الثالث: ما قيمة تكامل (س^2)؟^[١٢]

تعويض 2 مكان ن:

∫ س^2 دس = (س^(2+1) / (2+1)) + ج

∫ س^2 دس = (س^(3) / (3)) + ج

∫ س^2 دس = (س^3)/3 +ج

المراجع

1. ↑ "Differential calculus", britannica, Retrieved 2020-11-08. Edited.
2. ↑ "Differential Calculus", byjus, Retrieved 2020-11-08. Edited.
3. ↑ "2.1: Instantaneous Rates of Change- The Derivative", libretexts, Retrieved 2020-11-08. Edited.
4. ↑ "Calculus", jrank, Retrieved 2020-11-08. Edited.
5. ↑ "9. Applications of Integration", whitman, Retrieved 2020-11-08. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} "Introduction to Integration", mathsisfun, Retrieved 2020-11-08. Edited.
7. ↑ "THE HISTORY OF CALCULUS", marktomforde, Retrieved 2020-11-08. Edited.
8. ↑ "Calculus", www.britannica.com, Retrieved 29-12-2019. Edited.
9. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} "Calculus", www.wikiwand.com, Retrieved 29-12-2019. Edited.
10. ^ ^{أ ب ت ث ج} "How is Calculus Used in Everyday Life?", toppr, Retrieved 2020-11-09. Edited.
11. ^ ^{أ ب ت} "Average and Instantaneous Rates of Change: The Derivative", utah, Retrieved 2020-11-08. Edited.
12. ↑ "Integration", byjus, Retrieved 2020-11-08. Edited.