مفهوم مماسات الدائرة

مفهوم مماسات الدائرة

مماس الدائرة (بالإنجليزيّة: Tangent of a Circle) يُعرف بظل الدائرة، وهو عبارة عن خط مستقيم يقع خارج الدائرة ويلامسها عند نقطة واحدة فقط،^[١] وتسمّى النقطة التي يلمس بها المماس الدائرة بنقطة التّماس، إذ يكون عندها المماس عمودي دائمًا على نصف القطر.^[٢]

تلعب مماسات الدائرة دورًا مهمًا في العديد من الإنشاءات والبراهين الهندسيّة، نظرًا لأن خط المماس عموديًا على نصف القطر، فإن النظريّات التي تتضمن مماسات غالبًا ما تتضمن دوائر متعامدة وخطوطًا شعاعيّة، وتتم كتابة معادلة المماس على النحو الآتي:^[٣]

(ص - ص₁) = م (س - س₁)

حيث إنّ:

• (س₁، ص₁): إحداثيّات نقطة التماس.
• م: ميل المماس ويساوي مقلوب معكوس ميل نصف قطر الدائرة (-1/ ميل نصف القطر)

حالات مماسات الدائرة

يمكننا تحديد مماسات الدائرة بناءً على نقطة التماس وموقع المماس بالنسبة للدائرة، إذ يعتبر مماسًا فقط عندما يلمس منحنى الدائرة وإلا فإنه يعتبر مجرد خط، وفيما يأتي حالات التماس للدائرة:^[٤]

• وجود النقطة على الدائرة

يكون للدائرة مماسًا واحدًا في حالة وجود النقطة على محيط الدائرة.

• وجود النقطة خارج الدائرة

يوجد مماسان للدائرة في هذه الحالة، بحيث ينطلق كل منهما من نقطة مشتركة تقع خارج الدائرة، ويلمس كل منهما الدائرة عند نقطة واحدة فقط تقع على محيط الدائرة.

أما في حال وجود النقطة داخل الدائرة فإنه في هذه الحالة لا يمكن أن نرسم مماساً للدائرة، حيث أن الخطوط تمر عبر نقطة تقع في داخل الدائرة.^[٤]

خصائص مماسات الدائرة

يوجد الكثير من الخصائص المتعلقة بمماسات الدائرة، وفيما يأتي أهم هذه الخصائص:^[٥]

• لا يتقاطع خط المماس مع الدائرة بل يلمسها فقط.
• يلمس المماس الدائرة عند نقطة واحدة فقط.
• يكون المماس عموديًا على نصف القطر عند نقطة التّماس.
• تكون أطوال المماسات المنطلقة من نقطة خارجيّة مشتركة إلى الدائرة متساوية.

مثال على مماس الدائرة

دائرة معادلتها (س² + ص² = 25)، أوجد معادلة المماس إذا علمت أن إحداثيّات نقطة التماس هي (3، -4):^[٦]

الحل

فيما ياتي خطوات الحل:

1. نستنتج من معادلة الدائرة أن إحداثيّات نقطة المركز هي (0،0) ونصف القطر يساوي 5.
2. نجد ميل نصف القطر = -4/ 3
3. نجد ميل المماس = 3/ 4
4. نعوض كل من ميل المماس وإحداثيّات نقطة التماس في معادلة المماس بحيث تصبح المعادلة على النحو الآتي:

(ص + 4) = (3/ 4) (س - 3)

خصائص عامّة للدائرة

يوجد العديد من الخصائص العامّة التي تميّز الدائرة عن باقي الأشكال، وفيما يأتي أبرز هذه الخصائص:^[٧]

• قطر الدائرة يقسمها إلى قسمين متساويين.
• الدوائر التي لها أنصاف أقطار متساوية، تسمّى دوائر متطابقة.
• الدوائر التي يختلف طول أنصاف أقطارها أو التي تختلف في الحجم، تسمّى دوائر متشابهة.
• أكبر وتر في الدائرة هو القطر، ويساوي ضعف نصف القطر.

المراجع

1. ↑ "Tangent Of A Circle", byjus, Retrieved 26/1/2022. Edited.
2. ↑ "Tangents to a Circle", toppr, Retrieved 26/1/2022. Edited.
3. ↑ "Tangent Circle Formula", byjus, Retrieved 26/1/2022. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Tangent to a Circle", vedantu, Retrieved 26/1/2022. Edited.
5. ↑ "Tangent to a Circle", byjus, Retrieved 26/1/2022. Edited.
6. ↑ "Equations of circles - Higher", bbc, Retrieved 26/1/2022. Edited.
7. ↑ "Circles in Maths", byjus, Retrieved 2/1/2022. Edited.