نظرية فيثاغورس ومسائل رياضية تطبيقية

نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس إحدى النظريات الهندسية التي تستخدم في حساب أطوال أضلع المثلثات، ويعود الفضل في اكتشاف هذه النظرية بشكلٍ أساسي إلى العالم اليوناني فيثاغورس في عام 490 قبل الميلاد، وتنص هذه النظرية على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربع الضلعين المجاورين للزاوية القائمة في المثلث نفسه، وتتبع نظرية فيثاغورس المعادلة ( س^2 + ص^2 = ع^2)، حيث يمثل المتغير ع طول الوتر، بينما يمثل المتغيرين (س،ص) أطوال الضلعين الآخرين في المثلث^[١]، ولا يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس سوى على المثلثات قائمة الزاوية التي يكون قياس إحدى زواياها مساويًا 90 درجة، حيث يكون الوتر في هذا المثلث هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، بينما يطلق على الضلعين الآخرين اسم ساقي المثلث، كما يمكن استخدام نظرية فيثاغورس في حساب طول أحد أضلع المثلث في حال كان طول الوتر وطول الضلع الآخر معلومين.^[٢]

مسائل رياضية تطبيقية على نظرية فيثاغورس

عادةً ما يتم استخدام نظرية فيثاغورس في إيجاد أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية، أو للتحقق مما إذا كان مثلث ما قائمًا أم لا، كما تستخدم من قبل علماء الفضاء والأرصاد الجوية للعثور على المدى ومصدر الصوت، وتستخدم أيضًا من قبل علماء المحيطات لمعرفة سرعة الصوت في الماء،^[٢] ومن الجدير بالذكر أنه يتم معرفة ما إذا كان مثلث ما قائم الزاوية أم لا باستخدام نظرية فيثاغورس من خلال تطبيق النظرية على أطوال أضلع المثلث المتوفرة، ففي حال كان طول مربع الوتر مساويًا لمجموع طول مربعي الضلعين المجاورين للزاوية القائمة فسيكون المثلث في هذه الحالة قائم الزاوية، بينما في حال لم تتساوى هذه الأطوال فسيكون المثلث إما حادًا أو منفرج الزاوية^[٣]، وفيما يأتي بعض المسائل الرياضية التطبيقية على نظرية فيثاغورس:

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر في مثلث قائم الزاوية أ ب ج، مع العلم بأن الضلع أ ج هو الوتر، والضلع أ ب هو أحد أضلاع المثلث والذي يساوي 4، بينما يكون الضلع ب ج هو الضلع الثاني والذي يساوي العدد الحقيقي 3:^[٤]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

4^2 + 3^2 = (أ ج)^2

16 + 9 = (أ ج)^2

25 = (أ ج)^2

25√ = (أ ج)^2

5 = أ ج

وبالتالي فإن طول الوتر في هذا المثلث يساوي 5.

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر في مثلث قائم الزاوية أ ب ج، مع العلم بأن الضلع أ ج هو الوتر، والضلع أ ب هو هو أحد أضلاع المثلث والذي يساوي 15، بينما يكون الضلع ب ج هو الضلع الثاني والذي يساوي 8:^[٣]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

15^2 + 8^2 = (أ ج)^2

255 + 64 = (أ ج)^2

289 = (أ ج)^2

289√ = (أ ج)^2

17 = أ ج

وبالتالي فإن طول الوتر في هذا المثلث يساوي 17.

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول أحد أضلاع المثلث قائم الزاوية أ ب ج، مع العلم بأن طول الوتر أ ج يساوي 20، وظول الضلع الآخر أ ب يساوي 10، بحيث يسمى الضلع المطلوب حساب طوله ب ج:^[٥]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

10^2 + (ب ج)^2 = 20^2

100 + (ب ج)^2 = 400

(ب ج)^2 = 400 - 100

(ب ج)^2 = 300

(ب ج)^2 = 300√

ب ج = 17.32

وبالتالي فإن طول الضلع ب ج في هذا المثلث يساوي العدد العشري 17.32.

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول أحد أضلاع المثلث قائم الزاوية أ ب ج، مع العلم بأن طول الوتر أ ج يساوي 10، وطول الضلع الآخر ب ج يساوي 9، بحيث يسمى الضلع المطلوب حساب طوله أب:^[٥]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

(أ ب)^2 + 9^2 = 10^2

(أ ب)^2 + 81 = 100

(أ ب)^2 = 100 - 81

(أ ب)^2 = 19

(أ ب)^2 = 19√

أ ب = 4.4

وبالتالي فإن طول الضلع أ ب في هذا المثلث يساوي 4.4.

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة ما إذا كان المثلث أ ب ج قائم الزاوية أم لا، مع العلم بأن الضلع أ ج هو الوتر والذي يساوي 37، والضلع أ ب هو أحد الضلعين المتبقين والذي يساوي 12، والضلع ب ج هو الضلع الآخر والذي يساوي 35:^[٣]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

12^2 + 35^2 = 37^2

144 + 1225 = 1369

1369 = 1369

نظرًا لظهور مجموع طول مربعي الضلعين أ ب و ب ج مساويًا لطول مربع الوتر فإن المثلث قائم الزاوية.

• يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة ما إذا كان المثلث أ ب ج قائم الزاوية أم لا، مع العلم بأن الضلع أ ج هو الوتر والذي يساوي 14، والضلع أ ب هو أحد الضلعين المتبقين والذي يساوي 5، والضلع ب ج هو الضلع الآخر والذي يساوي 10:^[٣]

س^2 + ص^2 = ع^2

(أ ب)^2 + (ب ج)^2 = (أ ج)^2

5^2 + 10^2 = 14^2

25 + 100 = 196

125 < 196

نظرًا لظهور مجموع طول مربعين الضلعين أب و ب ج غير مساوي لطول مربع الوتر فإن المثلث غير قائم الزاوية.

المراجع

1. ↑ "Pythagorean theorem", www.britannica.com, Retrieved 2020-07-01. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Pythagorean Theorem Formula", www.toppr.com, Retrieved 2020-07-01. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث} "1.1 The Pythagorean Theorem"، www.ck12.org، اطّلع عليه بتاريخ 2020-07-01. Edited.
4. ↑ "Using the Pythagorean Theorem to Solve Problems", courses.lumenlearning.com, Retrieved 2020-07-01. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "Pythagorean Theorem", www.mathwarehouse.com, Retrieved 2020-07-01. Edited.