التحليل إلى العوامل

تحليل الأعداد إلى العوامل الأولية

يُعرّف التحليل إلى العوامل الأولية أنّه عملية رياضية لإيجاد الأعداد الأولية للرقم، والتي تُضرب ببعضها للحصول بالنتيجة على العدد الأصلي، أما العدد الأولي فهو عدد صحيح أكبر من 1، ولا يمكن تكوينه بضرب أعداد صحيحة أخرى ببعض، ومن الأعداد الأولية الأعداد التالية بالترتيب: (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23).^[١]

ويوجد لتحليل الأعداد إلى العوامل الأولية طريقتان، الطريقة الأولى هي طريقة التحليل بواسطة القسمة، الطريقة الثانية هي طريقة التحليل بواسطة الشجرة.^[١]

تحليل الأعداد إلى العوامل بطريقة القسمة

تعتبر طريقة القسمة هي الطريقة التقليدية الأكثر شيوعاً والأقدم والمستخدمة لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية، وهي تتم كما في الخطوات الآتية:^[١]

1. يفضّل البدء بأصغر رقم أولي ممكن، بدءاً من تجربة العدد الأولي الأصغر إلى الأكبر بالترتيب، مثل 2 ثم العدد 3 ثم العدد 5 وهكذا
2. يُقسَم العدد المرغوب تحليله إلى عوامله الأولية على العدد الأولي الصغير الذي تم اختياره في الخطوة السابقة.
3. يُنظر إلى نتيجة القسمة، ويحدد إذا ما كان يمكن قسمة الناتج على عدد أولي مرة أخرى أم لا.
4. إن كان بالإمكان القسمة مرة أخرى، يتم القسمة ثانية والنظر في نتيجة القسمة.
5. تستمرّ قسمة النواتج على الأعداد الأولية إلى أن يتم الوصول إلى عدد أخير أولي بحيث لا يمكن الاستمرار في عمليات القسمة.
6. تُحدّد الأعداد الأولية التي تم استخدامها في جميع مراحل عملية القسمة.

تحليل الأعداد إلى العوامل بطريقة الشجرة

يمكن أن يكون من الأسهل تبسيط العدد قبل تحليله إلى عوامله الأولية، وتعتبر هذه الطريقة أسهل حلاً وأكثر بساطة، وتُحلّل الأعداد عن طريق إيجاد عددين، ينتُج عن حاصل ضربهما هذا العدد المرغوب بتحليله إلى عوامله الأولية، ومن ثم إيجاد الأعداد الأولية لهذين العددين، ويسمى العدد المراد تحليله والذي ينتج عن ضرب عددين بالعدد المركب، وللتوضيح أكثر يجب اتباع الخطوات الآتية بالترتيب:^[٢]

1. يتم تجزئة العدد المركب المراد تحليله إلى عوامله الأولية إلى عددين اثنين، بحيث يكون حاصل ناتج ضربهما هو العدد الأصلي المراد تحليله.
2. يتم إيجاد العوامل الأولية للعددين الأول والثاني.
3. في حال نتج عن تجزئة العدد المركب عدداً مركباً آخر، يتم تجزئته أيضاً إلى عددين، بحيث يكون حاصل ناتج ضربهما هو العدد المركب المراد تحليله.
4. يتم تكرار عملية التجزئة في حال عدم الوصول إلى الأعداد الأولية من خطوة أو خطوتين أو أكثر.
5. ينتهي الحل عند الوصول إلى أعداد أولية لا يمكن تحليلها.

أمثلة على تحليل الأعداد إلى العوامل

وفيما يأتي بعض الأمثلة التوضيحيّة لتحليل الأعداد إلى العوامل:

• مثال

ما هو تحليل العدد 24 إلى عوامله الأولية بطريقة القسمة التقليدية

الحلّ:

1. 24 ÷ 2 = 12
2. 12 ÷ 2 = 6
3. 6 ÷ 2 = 3
4. إذًا 24 = 2 × 2 × 2 × 3
5. ينتج أن العوامل الأولية للعدد 24 هي (2، 2، 2 ،3)

• مثال:

جد العوامل الأوّلية للعدد 24 باستخدام طريقة الشجرة.

الحلّ:

42

\ /

12 2

\ /

6 2

\ /

3 2

1. إذاً 24 = 2 × 2 × 2 × 3
2. ينتج أن الأعداد المركبة للعدد 24 هي (24، 12، 6)
3. والعوامل الأولية للعدد 24 هي (2، 2، 2 ،3)

• مثال

ما هو تحليل العدد 100 إلى عوامله الأولية بطريقة القسمة التقليدية

الحلّ:

1. 100 ÷ 2 = 50
2. 50 ÷ 2 = 25
3. 25 ÷ 5 = 5
4. إذاً 100 = 2 × 2 × 5 × 5
5. ينتج أن العوامل الأولية للعدد 100 هي (2، 2، 5 ،5)

• مثال

ما هو تحليل العدد 100 إلى عوامله الأولية بطريقة الشجرة

الحلّ:

100

\ /

25 4

\ / \ /

5 5 2 2

1. إذاً 100 = 5 × 5 × 2 × 2
2. ينتج أن الأعداد المركبة للعدد 100 هي (100، 25، 4)
3. العوامل الأولية للعدد 100 هي (5، 5، 2 ،2)

تحليل العبارات الجبرية إلى العوامل

يُعرّف تحليل العبارات الجبرية إلى العوامل بأنّه طريقة رياضية لتبسيط صيغة المقادير الجبرية بهدف تسهيل حلها، وتختلف طرق التحليل باختلاف نوعية وشكل ودرجة العبارة الجبرية، فهي تتم إمّا باستخراج العامل المشترك أو بإعادة تجميع الحدود، أو بإيجاد الفرق بين مربعين، أو باستخدام بعض المتطابقات الرئيسية في الرياضيات.^[٣]

تحليل العبارة التربيعية

تُعرّف المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية، ويوجد فيها متغير أو أكثر من الدرجة الثانية، ولا بد من تحليلها إلى عواملها الأولية لإيجاد حلها، ولكن يجدر الذكر أنّ جميع العبارات التربيعية يمكن حلها بالقانون العام س = - ب ± [ ب² - (4 × أ × جـ) ]√ / 2 × أ حيث:^[٤]

• أ: معامل س²
• ب: معامل س
• جـ: الحد المطلق وهو عدد ثابت

تعدّ طريقة التحليل هذه طريقة طويلة لذا يُلجأ الأغلب للتحليل العبارة إلى عواملها الأولية، ويمكن اتباع الخطوات حسب شكل المعادلة التربيعية كالآتي:

تحليل أس² + ب س + جـ

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة التخمين أو التجربة والخطأ كالآتي:^[٥]

1. يتم تخمين زوج من الأرقام ينتج عن جمعهما الثابت ب (معامل س) ، وينتج عن ضربهما الثابت جـ (الحد المطلق).
2. يتم فتح قوسين ويحلل الحد الأول كالآتي: (س ) (س )
3. يحلل الحد الأخير إلى عوامله الأولية باتباع الخطوة الأولى ويكتب كل عامل في قوس.
4. يتم التأكد من صحة التحليل بإيجاد ناتج ضرب القوسين

تحليل أس² + ب س

يمكن حلّ هذه المعادلة التي حدها المطلق (معامل جـ =0) بطريقة استخراج العامل المشترك كالآتي: ^[٦]

1. يتُخرج العوامل المشتركة سواء كانت أعداد (ثوابت) أو متغيرات (المتغير مثل: س)
2. تُوضع محتويات العوامل المشتركة في قوسين مختلفين، أحد الأقواس للثوابت والقوس الآخر للمتغيرات
3. تُبسّط المعادلة أكثر إن أمكن.

تحليل أس² + جـ

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة استخراج العامل المشترك كالآتي: ^[٧]

1. يتم استخراج الأعداد (الثوابت) كعوامل مشتركة إن وجدت.
2. توضع محتويات العوامل المشتركة في قوسين مختلفين، تتضمّن الأقواس الأعداد الثوابت والمعاملات ( س ).
3. التأكّد من أنّ طرف المعادلة الآخر يساوي صفر.
4. تُبسّط المعادلة أكثر إن أمكن.

تحليل العبارة التكعيبية

المعادلة التكعيبية هي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، لها صيغة أس³ + ب س² + جـ س + د = 0 يمكن حل معادلة العبارة التكعيبية باستخدام القانون العام:^[٨]

س = [ ك + (ك² + (ر - ل)³)√ ]^(1/3) + [ ك - ( ك² + (ر - ل²)³)√ ]^1/3 + ل

حيث

• ل = - ب

3أ

• ك = ل³ + (ب جـ - 3 أ د)

6 أ²

يَستغرق استخدام هذه الصيغة وقتًا طويلاً، ولا يفضّل استخدامها إلا في حال عدم الرغبة في استخدام أسلوب التحليل إلى العوامل في حلّ المعادلات التكعيبية، وكالآتي استعراض لخطوات تحليل الفرق بين المكعبين، وتحليل مجموع المكعبين بطرق مباشرة:^[٨]

تحليل الفرق بين مكعبين

يمكن تحليل الفرق بين مكعبين كالآتي:^[٩]

1. يتم فتح قوسين متجانبين، القوس الأول يتسع لحدين، والقوس الثاني يتسع لثلاثة حدود.
2. اتباع القانون الرياضي مع الالتزام بإشارات الجمع والطرح أ³ - ب³ = (أ - ب) ( أ² - أ ب + ب²).

تحليل مجموع مكعبين

يمكن تحليل مجموع مكعبين كالآتي:^[٩]

1. يتم فتح قوسين متجانبين، القوس الأول يتسع لحدين، والقوس الثاني يتسع لثلاثة حدود.
2. اتباع القانون الرياضي مع الالتزام بإشارات الجمع والطرح أ³ + ب³ = (أ + ب) ( أ² - أ ب + ب²).

تحليل العبارات الجبرية المرفوعة لأس أكبر من 3

إن في بعض الأحيان تكون المعادلات من درجات أكبر من 3، وفي هذه الحالة يجب تبسيطها ويمكن الاستعانة بطرق التحليل المذكورة سابقاً، مع العلم بأن حلها قد يطول قليلاً عن المعادلات التربيعية والتكعيبة.^[١٠]

ويعتمد حل العبارات المرفوعة لأس أكبر من 3 بحسب شكلها، على سبيل المثال في حال وجود حدود من الدرجة الرابعة وحدود الدرجة الثانية، يمكن استخراج العامل من الدرجة الثانية كعامل مشترك، ثم حله بطريقةتحليل العبارة التربيعية.^[١٠]

أمثلة على تحليل الجمل إلى العوامل

• المثال الأول

2 س² - 4 س - 16 = 0

العبارة تربيعية من الدرجة الثانية

1. يتم فتح قوسين كما يلي:
2. ( ) × ( )
3. يستخرج العدد 2 عاملا مشتركا كالآتي: (2 ) × ( س² - 2 س - 8) = 0
4. تحلل العبارة التربيعية داخل القوس الكبير بفتح قوسين صغيرين يحلل فيها الحد الأول أما الحد الأخير فبطريقة التخمين كما تم شرحها سابقًا 2(س - 4)(س + 2)
5. العوامل هي: 2، (س - 4)، (س + 2)

• المثال الثاني

- 4 س² + 12 س = 0

1. يمكن استخراج عاملين مشتركين اثنين من العبارة التربيعية: العامل المشترك الأول هو العدد الثابت 4، والعامل المشترك الثاني هو المتغير المجهول س فتصبح العبارة كالآتي: 4 س ( - س + 3) =0
2. العوامل هي: (4 س) ، (- س + 3)

• المثال الثالث

س² - 25 = 0

1. يتم فتح قوسين كما يلي:
2. ( ) × ( )
3. يتم تعبئة القوسين بالأعداد المناسبة بالتجربة بحيث ينتج عن حاصل ضربهما المعادلة الأصلية
4. ( س - 5 ) × ( س + 5 )
5. العوامل هي: (س - 5)، (س + 5)

• المثال الرابع

3 س³ - 27 س = 0

1. يمكن استخراج عاملين مشتركين اثنين من العبارة التكعيبية، أحدهما العدد الثابت 3، والآخر هو المتغير المجهول فتصبح: (3 × س) × ( س² - 9 ) = 0
2. ما داخل القوس الثاني عبارة تربيعية يمكن حله بطريقة التخمين لتصبح المعادلة كالآتي: ( 3 × س) ×( س - 3) ( س + 3 ) = 0
3. العوامل هي: (3 س)، ( س - 3)، ( س + 3)

• المثال الخامس

س² + 9 س + 14 = 0

1. يتم فتح قوسين كما يلي:
2. ( ) × ( )
3. يتم تعبئة القوسين بالأعداد المناسبة بالتجربة بحيث ينتج عن حاصل ضربهما المعادلة الأصلية.
4. ( س+ 7 ) × ( س + 2 )
5. العوامل هي: (س + 7)، (س + 2)

• المثال السادس

س³ - 8 = 0

لتحليل الفرق بين مكعبين الى عوامله:

1. س³ - 8 = س³ - 2³
2. يتم فتح قوسين بحيث يكون القوس الثاني أكبر من القوس الأول.
3. يتم تعبئة القوسين حسب القانون.
4. (س - 2) × ( س² + 2 س + 4) = 0
5. العوامل هي: (س - 2 )، (س² + 2 س + 4)

• المثال السابع

س³ + 216 ص³ = 0

لتحليل مجموع مكعبين إلى عوامله:

1. س³ + 216 ص³ = 0
2. س³ +( 6 ص )³= 0
3. يتم فتح قوسين بحيث يكون القوس الثاني أكبر من القوس الأول.
4. يتم تعبئة القوسين بالأعداد المناسبة حسب القانون.
5. ( س + 6 ص) × ( س² - 6 س ص + 36 ص²) = 0
6. العوامل هي: (س + 6 ص)، (س² - 6 س ص + 36 ص²)

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Prime Factorization", mathsisfun, Retrieved 15/12/2021. Edited.
2. ↑ "What is a Factor Tree? - Definition & Example", study, Retrieved 15/12/2021. Edited.
3. ↑ "factorization-of-algebraic-expressions", cuemath, Retrieved 15/12/2021. Edited.
4. ↑ Emily Rodriguez (15/1/2017), " quadratic-equation", britannica, Retrieved 15/12/2021. Edited.
5. ↑ Lee Johnson (8/12/2020), "tips-for-solving-quadratic-equations", sciencing, Retrieved 15/12/2021. Edited.
6. ↑ "Factors of Algebraic Expressions", amritalearning, Retrieved 16/12/2021. Edited.
7. ↑ "solving-quadratic-equations-square-root-method", chili math, Retrieved 16/12/2021. Edited.
8. ^ ^{أ ب} Lee Johnson (30/11/2018), "How to Solve Cubic Equations", sciencing, Retrieved 16/12/2021. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "sum-or-difference-of-cubes", cliffsnotes, Retrieved 16/12/2021. Edited.
10. ^ ^{أ ب} "Factoring Quadratics: The Weird Case", purplemath, Retrieved 16/12/2021. Edited.