التكامل المحدود في الرياضيات

مفهوم التكامل المحدود

ينقسم التكامل لنوعين، هما التكامل المحدود والتكامل الغير محدود، ويعرّف التكامل المحدود بأنّه عبارة عن المساحة تحت المنحنى في الرسم البياني، حيث تنحصر المساحة بين نقطة بداية ونقطة نهاية بالنسبة لمحور السينات x، وتكون النتيجة النهائية له رقم ثابت،ويختلف التكامل المحدود عن التكامل الغير محدود في نتيجة التكامل النهائية، إذ تكون نتيجة تكامل الاقتران الغير محدود اقتران.^[١]

ويتم استخدام التكامل المحدود في تطبيقات متعددة؛ كحساب مساحة الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص وإيجاد الحجوم،^[٢] بالإضافة لذلك، تستخدم في العديد من التطبيقات الفيزيائية مثل إيجاد كتلة جسم معلوم الكثافة.^[٣]

الصيغة العامة للتكامل المحدود

تتبع الصيغة العامة للتكامل المحدود المبرهنة الخاصة بإيجاد المساحة، و يمكن التعبير عن التكامل المحدود بالصيغة التالية:^[٤]

حيث إن:[٤]  

التكامل على الفترة من a إلى b، حيث أن a تمثل الحد الأدنى للتكامل و b يمثل الحد الأعلى للتكامل .

  الاقتران المراد إيجاد تكامله. 

تكامل الاقتران بالنسبة للمتغير x.  

خصائص التكامل المحدود

يتميز التكامل المحدود بالعديد من الخصائص والنظريات التي تستخدم في حل الأسئلة المتعلقة به، وفيما يلي ذكر للخصائص الشائعة للتكامل المحدود:^[١]

• يكون ناتج التكامل في الفترة المحصورة بين (أ،ب)، مساويً لسالب نفس التكامل في الفترة المحصورة بين (ب،أ).
• يمكن تجزئة التكامل، حيث أن ناتج التكامل في الفترة بين (أ، ب)، يساوي لمجموع التكامل المحصور في الفترة بين (أ،ج)، والفترة (ج، ب).
• إذا كانت حدود التكامل متساوية، فإن ناتج التكامل يكون يساوي صفر.
• إذا كان الإقتران ق(س) متصل في الفترة (أ، ب)، فإن الإقتران قابل للتكامل والاشتقاق على نفس الفترة.
• يكون ناتج التكامل للاقتران ق(س) في الفترة (أ، ب) يساوي ناتج تكامل الاقتران ق(ص) على نفس الفترة، وتسمى هذه الخاصية بالخاصية التبديلية.
• يمكن إيجاد قيمة تكامل محدود باستخدام خاصية جمع تكاملَيْن محددَيْن على الفترة نفسها.

طرق حل التكامل المحدود

تعد طريقة عكس المشتقة من أسهل الطرق لحل التكامل مباشرة، ولكن أحيانا يصعب حل التكامل بهذه الطريقة، لوجود الاقتران في صورة معقدة غير مباشرة؛ مثل الاقترانات المثلثية والإقترانات اللوغارتمية التي يتطلب تكاملها وقتا أطول، عندها نلجأ لطرق أخرى للحل، ومنها:[٥]

• التكامل بالأجزاء

التكامل بالأجزاء (بالإنجليزية: Integration by parts) تساعد هذه الطريقة بإيجاد التكامل لحاصل ضرب اقترانين، لأنه يصعب إيجادها بطريقة مباشرة، وتتم هذه الطريقة بضرب الاقتران الأول بتكامل الاقتران الثاني ناقص حاصل التكامل لناتج ضرب تكامل الاقتران الثاني في مشتقة الاقتران الأول.

• التكامل بالتعويض

التكامل بالتعويض (بالإنجليزية: Integration by substitution) يستخدم التكامل بالتعويض لتغيير صورة الاقتران لصورة مألوفة يسهل إيجاد تكاملها، وذلك عن طريق تعويض المتغير بمتغير آخر وإيجاد التكامل ثم إرجاع الاقتران لصورته الأصلية بتعويض المتغير الأصلي.

• التكامل باستخدام الكسور الجزئية

التكامل باستخدام الكسور الجزئية (بالإنجليزية: Integration by partial fractions) إذا كان الاقتران المراد إيجاد تكامله بصورة كسرية؛ أي كثير حدود على كثير حدود، بشرط أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام، فعندها يمكن استخدام التكامل باستخدام الكسور الجزئية، نظرا لتبسيطها الاقتران بحيث يسهل إيجاد تكامله. تتم هذه الطريقة كما يلي:

1. أولا تحليل المقام.
2. فرض متغيرات بعدد العوامل وقسمة كل متغير على عوامل المقام.
3. مساواتها بالاقتران الأصلي وإيجاد المتغيرات ثم حل التكامل.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Properties Of Definite Integral", byjus. Edited.
2. ↑ "Definite Integral", Cuemath. Edited.
3. ↑ "Applications of Integration", libretexts, Retrieved 19/4/2022. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Definite integral", Mathworld. Edited.
5. ↑ إميل شكر الله، طرق التكامل، صفحة 44-57. بتصرّف.