العناصر المحايدة في الرياضيات

العنصر المحايد في الجمع

العنصر المحايد (بالإنجليزية: Identity Element)، هو العنصر الذي يدخل على العمليات الحسابيّة مع عنصر آخر ولا يؤثر على ناتج هذه العمليات الحسابية بحيث يكون الناتج هو العنصر الآخر كما هو دون تغيير، وينقسم العنصر المحايد إلى نوعين العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي؛ إذ لا يُوجد هناك العنصر المحايد في الطرح أو في القسمة.^[١]

إنّ العنصر المحايد الجمعي هو الصفر، فإذا أضفنا الصفر إلى عدد حقيقي أو أضفنا العدد الحقيقي إلى الصفر فإنّ الناتج هو الرقم الحقيقي نفسه، حيث إنّ دخول الرقم صفر في أي عملية جمع لا يغير ناتج عملية الجمع ويكون الناتج هو الرقم الحقيقي نفسه، كما هو موضح في المعادلة التالية:^[٢]س + 0 = 0 + س = س حيث س: رقم حقيقي.

أمثلة على العنصر المحايد في الجمع

وفيما يلي بعض الأمثلة على العنصر المحايد في عملية الجمع:

• 6 = 6 + 0
• 2.23 = 0 + 2.23
• 7,321 = 0 + 7,321
• 2- = 0 + 2-
• 18 = 18 + 0

العنصر المحايد في الضرب

إنّ العنصر المحايد الضربي هو 1، فإذا ضربنا واحد في عدد حقيقي أو ضربنا العدد الحقيقي في واحد فإنّ الناتج هو الرقم الحقيقي نفسه، حيث إنّ دخول الرقم واحد في أي عملية ضرب لا يُؤثر على الرقم عندما تقوم بعملية الضرب ويكون الناتج هو الرقم الحقيقي نفسه،^[٣] كما هو موضح في المعادلة التالية:^[٤]

س × 1 = 1 × س = س حيث س: رقم حقيقي.

أمثلة على العنصر المحايد في الضرب

وفيما يلي بعض الأمثلة على العنصر المحايد في عملية الضرب:

• 6 = 6 × 1
• 4.3 = 1 × 4.3
• 7,391 = 7,391 × 1
• 61 = 61 × 1
• 41- = 41- × 1

تبسيط الجمل العددية باستخدام خاصية العنصر المحايد

تبسيط الجمل العددية هي عملية كتابة المسألة الحسابية بطريقة أخرى دون التأثير على قيمة التعبير الأصلي، بحيث تُكتب بأبسط طريقة ممكنة ليسهل حلها، من خلال تقليل أكبر قدر ممكن من عمليات الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة، وذلك باستخدام عدة خواص مثل خاصية العنصر المحايد، وخاصية التوزيع، وخاصية التبادل وغيرها،^[٥] كما يُعد العنصر المحايد الضربي المفتاح لتبسيط الجمل العددية الخاصة بجمع الكسور العشرية.^[٦]

أمثلة على تبسيط الجمل العددية باستخدام خاصية العنصر المحايد

• أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = 0 + 8 + 1×5
  • نبسط المعادلة بتقليل عمليات الضرب والجمع قدر الإمكان.
  • باستخدام العنصر المحايد الضربي يُمكن أن نُقلل من عمليات الضرب، نضرب العدد 5 في واحد، ويكون الناتج العدد الحقيقي وهو العدد 5.
  • تُصبح المعادلة: ? = 0 + 8 + 5
  • باستخدام العنصر المحايد الجمعي يُمكن أن نُقلل من عمليات الجمع، نجمع العدد 8 مع العدد صفر ويكون الناتج العدد الحقيقي وهو العدد 8.
  • تُصبح المعادلة: ? = 8 + 5
  • الحل: 13 = 8 + 5

• أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = (3+0) × 3 + 2×1 + 1×4
  • نُبسط المعادلة بتقليل عمليات الضرب والجمع قدر الإمكان.
  • باستخدام العنصر المحايد الضربي يُمكن أن نُقلل من عمليات الضرب، نبدأ من اليسار، نضرب العدد 4 في واحد، ويكون الناتج العدد الحقيقي وهو العدد 4.
  • نضرب أيضًا العدد 2 في العدد واحد ويكون الناتج العدد الحقيقي وهو العدد 2.
  • تُصبح المعادلة:  ? = (0+3) × 3 + 2 + 4
  • باستخدام العنصر المحايد الجمعي يُمكن أن نُقلل من عمليات الجمع، نجمع الأرقام داخل القوس وهو العدد 3 مع العدد صفر ويكون الناتج العدد الحقيقي وهو العدد 3.
  • تُصبح المعادلة:  ? = 3 × 3 + 2 + 4
  • نُجري عملية الضرب، لأنّ الأولويّة للضرب، ثم الجمع، وتُصبح المعادلة: ? = 9 + 2 + 4
  • نجمع الأعداد من اليسار إلى اليمين، تُصبح المعادلة: ? = 9 + 6
  • الحل: 15 = 9 + 6

• أوجد ناتج العملية الحسابية التالية: ? = 4/5 + 1/2
  • نبسط المسألة باستخدام العنصر المحايد الضربي.
  • نضرب كل كسر برقم 1.
  • تُصبح المعادلة: ? = 1 × 4/5 + 1 × 1/2
  • نحول العدد 1 إلى كسر لنتمكن من توحيد المقامات ويُصبح مقام كل كسر نفس العدد.
  • لتوحيد مقام العدد الأول وهو 1/2 فإنّه يجب تحويل العدد واحد إلى 5/5 وهو مقام العدد الثاني، ويجب الانتباه أنّ 5/5 تساوي 1.
  • لتوحيد مقام العدد الأول وهو 4/5 فإنّه يجب تحويل العدد واحد إلى 2/2 وهو مقام العدد الأول، ويجب الانتباه أنّ 2/2 تساوي 1.
  • تُصبح المعادلة: ? = 2/2 × 4/5 + 5/5 × 1/2
  • نضرب البسط في البسط والمقام في المقام لكل عدد.
  • تُصبح المعادلة: ? = 8/10 + 5/10
  • نجمع العدد الكسري بجمع البسط مع البسط والمقام نفسه.
  • الحل: 13/10

الخلاصة

العنصر المحايد هو العنصر الذي يدخل على العمليات الحسابية دون أن يؤثر على ناتجها، وينقسم إلى العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي، والعنصر المحايد الجمعي هو الصفر بحيث إذا دخل الصفر إلى عملية الجمع لا يؤثر على ناتجها، بحيث إذا أضفنا الصفر إلى العدد الحقيقي يكون الناتج العدد الحقيقي نفسه، والعنصر المحايد الضربي هو الواحد بحيث إذا دخل الواحد إلى عملية الضرب لا يؤثر على ناتجها، بحيث إذا ضربنا الواحد في العدد الحقيقي يكون الناتج العدد الحقيقي نفسه، وتُستخدم خاصية العنصر المحايد لتبسيط الجمل العددية لأبسط تعبير حسابي ممكن ليبسهل حله.

المراجع

1. ↑ "Identity Element", science.jrank, Retrieved 15/8/2021. Edited.
2. ↑ "Additive Identity: Definition & Examples", study, Retrieved 15/8/2021. Edited.
3. ↑ "Addition and Multiplication Properties with Real Numbers", ck12, Retrieved 15/8/2021. Edited.
4. ↑ "Multiplicative Identity", mathsisfun, Retrieved 15/8/2021. Edited.
5. ↑ "Simplifying expressions", gcfglobal, Retrieved 16/8/2021. Edited.
6. ↑ "Identity Property", solving-math-problems, Retrieved 16/8/2021. Edited.