الفرق بين التباديل والتوافيق

كيف نميز بين التباديل والتوافيق

من الذي اكتشف التباديل والتوافيق؟

تعد التباديل والتوافيق إحدى أهم قوانين نظرية الاحتمالات في الرياضيات، التي ساهم في اكتشافها العالمان الفرنسيان باسكال وبيير، حيث يساهم كل من هذين القانونين في حساب احتمالات توزيع العناصر في المجموعات وتشكيل مجموعات فرعية منها بترتيب معيّن أو دون ترتيب^[١].

يكمن الفرق الأساسي بين التباديل والتوافيق -التي تستخدم في الاحتمالات بشكل كبير- كون الأول يهتم بالترتيب، بينما يهمله الآخر ^[١].حيث إنّ:

• التباديل تهتم بترتيب العناصر داخل المجموعة والتبديل بينها، مع التركيز على التفاصيل.^[١]
• التوافيق تعني الاختيار أو الانتخاب، مع إهمال الترتيب والتفاصيل والاهتمام بالمجموع.^[٢]

مفهوم التباديل

متى تستخدم التباديل؟

تعرف التباديل أو التراتيب بأنها عدد الاحتمالات الممكنة لتشكيل عدد معين من العناصر في أي مجموعة مع مراعاة الترتيب، إذ تهتم التباديل في حساب احتمال حدث ما، وتعطي قيمة معينة لظهور هذا الحدث ووقوعه^[٣]، فمثلًا، حين تريد حساب عدد الطرق التي يمكن بها توزيع جوائز ثلاث كؤوس (ذهبية،فضية، برونزية) على ثلاثة من أصل ثمانية منافسين،^[٢] أو أن تضع رمزًا سريّا مكونًا من أربعة أرقام للهاتف، فأنت تحتاج إلى استخدام التباديل.^[٤]

أنواع التباديل

يعد التكرار في الاحتمالات عاملًا مهمًا كالترتيب، وبالاعتماد عليه نختار القانون الأنسب للاستخدام، وهناك نوعان أساسيان للتباديل:^[٤]

التباديل مع التكرار

يسمح فيه إعادة استخدام العناصر التي تم تحديدها مسبقًا، كأمثلة "اختيار أربعة ألوان من أصل أربعة ألوان" بحيث يكون عدد العناصر المختارة مساويًا لعدد العناصر الكلية.^[٥]

حيث لو أخذت مثالًا لحساب عدد الطرق لكتابة رمزٍ سريّ لحساب بنكي مكوّن من منزلتين من الرقمين(2،4)، وكان التكرار مسموحًا، ستكون النتيجة 4 طرق وهي: {24 ،22 ،42، 44}، وهذا حسب قانون التباديل مع تكرار:^[٤]

عدد التباديل = ن^ر.

حيث إن:

ن: عدد عناصر المجموعة المراد الاختيار منها.

ر: عدد العناصر المراد اختيارها.

التباديل بدون التكرار

يمنع فيه إعادة استخدام العناصر التي تم تحديدها مسبقًا، ولمعرفة الفرق؛ في حساب عدد الطرق لكتابة رمز سرّيلحساب بنكي مكون من منزلتين من الرقمين{2، 4}، كما في المثال السابق ولكن بدون تكرار، ستكون النتيجة 2 فقط: إمّا 24 أو 42، وهذا حسب قانون التباديل بدون تكرار:^[٤]

عدد التباديل = ن! / (ن - ر)!

حيث إن:

ن: عدد عناصر المجموعة المراد الاختيار منها.

ر: عدد العناصر النراد اختيارها.

قانون حساب التباديل

ل(ن،ر) = ن! / (ن - ر)!^[٤]

حيث إن:^[٤]

ل: هو الرمز الخاص بالتباديل.

ن: هي عدد المتغيرات الموجودة في المجموعة الكلية.

ر: هي عدد المتغيرات الداخلة في حساب احتمال الحدث.

!: هي "المضروب" وتعني الرقم مضروبًا بكل ما هو قبله حتى تصل إلى الرقم 1.

يوجد شرط أساسي لتحقق هذه العلاقة وهو أن تكون ن>ر.^[٣]

طرق ترميز التباديل

الترميز باستخدام الصف الواحد

يستخدم الترميز باستخدام الصف الواحد للتعبير اختصارًا عن عدد الاحتمالات باستخدام المصفوفات، حيث تتكون المصفوفة من أعمدة وسطور، وكتسهيل للعملية الحسابية، تم الاستعانة بمعادلة (ن!) لتسهيل العملية.^[٦]

حيث إنّ الإشارة "!" هي معادلة ضرب الرقم ن بما قبله حتى تصل للرقم 1، مثل  !5= 5 * 4 * 3 * 2 * 1.^[٤]

الترميز باستخدام الصفين

يستخدم ترميز التباديل باستخدام الصفين في علم الجبر ما يسمّى "identity matrix" أو مصفوفات التعريف أو الهوية المكوّنة من أعمدة وسطور، حيث تحتوي كل خانة على أحد الرقمين {0،1}^[٧]، ويمكننا حساب التباديل الممكنة كما في الترميز باستخدام الصف الواحد لعدد (ن) من العناصر وإيجاد احتمالات ظهورها^[٨]، حيث تستخدم في البرمجة أو الحسابات المحوسبة مثل برنامج إكسل لإيجاد الاحتمالات.^[٩]

الترميز الدائري

الترميز الدائري للتباديل هو عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل عناصر مجموعة بحيث يكون التشكيل دائريًا، ويتم إزاحة كل عنصر بمقدر درجات معينة، حتى يكون بالنظر الأفقي سطرًا واحدًا، كما في الأرقام (1,2،3) فإذا قمنا بإزاحة الرقم (1) بشكل دائري، لتِصبح المجموعة: (2,3,1) وبإزاحة أخرى تصبح:(3,1,2) وهكذا ويكتب الترميز الدائري على الصياغة الآتية: .^[١٠]

مفهوم التوافيق

متى تستخدم التوافيق؟

تعرف التوافيق بأنها عدد الاحتمالات الممكنة لتشكيل عدد معين من العناصر في أي مجموعة دون مراعاة الترتيب، فمثلًا حين تريد حساب عدد طرق توزيع ثلاث عناصر من الجدول الدوري على 8 أشخاص، أو توزيع ثلاث هدايا دون تمييز بينها في الرتبة على 5 أشخاص، فأنت تحتاج إلى استخدام التوافيق.^[٢]

قانون حساب التوافيق

ت(ن،ر) = ن! / ((ن-ر)! * ر!)^[٢]

حيث إن:^[٢]

ت: هو الرمز الخاص بالتوافيق.

ن: وهي عدد المتغيرات الموجودة في المجموعة الكلية.

ر: وهي عدد المتغيرات الداخلة في حساب احتمال الحدث والتكرارات الخاصة بها.

ويتم استخدام قانون التوافيق في حال عدم أهمية ترتيب متغيرات المجموعة الكلية، وكل من التوافيق والتباديل تهتم في حساب احتمال حدث ما، وتعطي قيمة معينة لظهور هذا الحدث ووقوعه.^[٢]

تعرف التوافيق بأنها عدد الاحتمالات الممكنة لتشكيل عدد معين من العناصر في أي مجموعة دون مراعاة الترتيب، ويعتمد قانون المضروب على مضروب عدد العناصر الكلية ومضروب الفرق بين عدد العناصر الكلية وعدد العناصر المراد اختيارها.

أمثلة على حساب التباديل

المثال الأول

كم عدد الطرق التي يتم بها اختيار الفائز الأول والثاني من بين 10 أشخاص؟^[٤]

توضيح: الترتيب هنا مهم، فحين يُختار الأول لا يعود بالإمكان وضعُه ضمن احتمالات اختيار الثاني ،فلا يحتسب، وهكذا..

الجواب: حسب قانون التباديل فإن:

ل(ن،ر) = ن! / (ن - ر)!

ل(2،10) = 10! / (10 - 2)!

ل(2،10) = 10! / 8!

يمكن كتابة 10! على الصورة الآتية: 10 * 9 * 8!

ل(2،10) = 10 * 9 * 8! / 8!     

يمكن اختصار 8! من البسط والمقام

ل(2،10) = 90

المثال الثاني

كم عدد الطرق التي يُمكن بها ترتيب خمسة أجسام وراء بعضها البعض؟^[٣]

توضيح: حين يتم اختيار الجسم الأول لن يصبح بالإمكان اختياره مجددًا، وتكون قيمة ر هنا تساوي 5 لأن جميع الأجسام يجب ترتيبها.

الجواب: حسب قانون التباديل فإن:

ل(ن،ر) = ن! / (ن - ر)!

ل(5،5) = 5! / (5 - 5)!

قيمة مضروب العدد 0 تساوي 1

ل(5،5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 =120 طريقة.

المثال الثالث

ما عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الأحرف الإنجليزية (a.b.c.d) في كلمة مكونة من أربعة أحرف؟

الجواب وفقًا لقانون التباديل:

ل(ن،ر) = ن! / (ن - ر)!

ل(4،4) = 4! / (4 - 4)!

قيمة مضروب العدد 0 تساوي 1

ل(2،10) = 4 * 3 * 2 * 1 =24 طريقة.

أمثلة على حساب التوافيق

المثال الأول

كم عدد الطرق اتي يمكن بها اختيار ثلاثة لاعبين من أصل عشرة لاعبين؟^[٢]

توضيح: الترتيب هنا ليس مهمًا، حيث يتم اختيارهم بشكل عشوائي.

الجواب: وفقًا لقانون التوافيق فإن:

ت(ن،ر) = ن! / ((ن-ر)! * ر!)

ت(3،10) = 10! / ((10-3)! * 3!)

ت(3،10) = 10! / (7! * 3!)

يمكن كتابة 10! على الصورة الآتية: 10 * 9 * 8 * 7!

ت(3،10) = 10 * 9 * 8 * 7! / (7! * 3!)

يمكن اختصار 7! من البسط والمقام

ت(3،10) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2) = 120 طريقة

المثال الثاني

كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع ثلاث قطع من بسكويت الشوكولاتة وعشر قطع من بسكويت التوت في صندوق يستوعب 13 قطعة؟ ^[١١]

توضيح: الترتيب هنا ليس مهمّا، حيث يمكن وضع قطع بسكويت الشوكولاتة وجعل قطع بسكويت التوت تترتب بنفسها

وفقًا لقانون التوافيق:

ت(ن،ر) = ن! / ((ن-ر)! * ر!)

ت(3،13) = 13! / ((13-3)! * 3!)

ت(3،13) = 13! / ((10)! * 3!)

ت(3،13) = 13 * 12 *11 * 10! / (10! * 3!)

يمكن حذف 10! من البسط والمقام

ت(3،13) = 13 * 12 * 11 / (3 * 2 * 1) = 286 طريقة.

المثال الثالث

بكم طريقة يمكننا تشكيل ثلاث مجموعات مكونة من طفلين وثلاثة أطفال وأربعة أطفال من المجموعة الكلية المكونة من تسعة أطفال؟

توضيح: هذا السؤال يتطلب تكوين ثلاث مجموعات فرعية بحيث يُحذف عدد أطفال كل مجموعة بعد تشكيلها والترتيب يس مهمّا.

الجواب:

المجموعة الأولى: مكوّنة من طفلين، وفقًا لقانون التوافيق فإن:

ت(2,9) = 9! / ((9-2)! * 2!)

ت(2,9) = 9! / (7! * 2!)

ت(2,9) = 9 * 8 * 7! / (7! * 2!)

ت(2,9) = 72 / 2 = 36 طريقة.

المجموعة الثانية: مكوّنة من ثلاثة أطفال بعد اختيار الطفلين من المجموعة الأولى، بحيث يصبح مجموع الأطفال المتبقيين = 7

ت(3,7) = 7! / ((7-3)! * 3!)

ت(3,7) = 7 * 6 * 5 * 4! / ((4)! * 3!)

ت(3,7) = 7 * 6 * 5 / (3 * 2)

ت(3,7) = 35 طريقة.

المجموعة الثالثة: مكوّنة من أربعة أطفال، بعد اختيار أطفال المجموعتين سيكون مجموع اللأطفال المتبقي = 4.

ت(4،4) = 4! /((4-4)! * 4!)

ت(4،4) = 4! / 4!

ت(4,4) = 1

ثم لمعرفة مجموع الاحتمالات عن طريق عملية الضرب لنتائج المجموعات الثلاث:

36 * 35 * 1 = 1260

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Permutations and combinations"، .britannica، Retrieved 2020-11-12. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} "Easy Permutations and Combinations", betterexplained, Retrieved 2020-11-12. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Permutations and Combinations", hyperphysics, Retrieved 2020-11-12. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ د} "Combinations and Permutations", mathsisfun, Retrieved 2020-11-12. Edited.
5. ↑ "Permutations and combinations", britannica, Retrieved 2020-11-13. Edited.
6. ↑ "Permutations and determinants Math 130 Linear Algebra", mathcs.clarku, Retrieved 2020-11-13. Edited.
7. ↑ "Definition:Permutation Matrix", proofwiki, Retrieved 2020-11-13. Edited.
8. ↑ "Permutation matrices", math.drexe, Retrieved 2020-11-13. Edited.
9. ↑ "Random numbers, combinations, and permutations", .coursera, Retrieved 2020-11-15. Edited.
10. ↑ "Permutation Cycle", archive, Retrieved 2020-11-13. Edited.
11. ↑ "Combinations", brilliant, Retrieved 2020-11-17. Edited.