الفرق بين التباين والانحراف المعياري والخطأ المعياري

التباين

يعرف التباين (بالإنجليزية: Variance) بأنه مربع الانحراف المعياري للعينة أو مجموعة من البيانات، ويستخدم لتحليل العوامل التي تؤثر في توزيع وانتشار البيانات المقدمة للدراسة،^[١] وبمعنى بسيط فإن التباين يحسب مدى تباعد القيم في المجموعة المعطاة عن الوسط الحسابي لها، ويمكن القيام بحسابها من خلال الخطوات التالية:^[٢]

1. يتم طرح المتوسط الحسابي من كل قيمة في المجموعة بشكل منفصل، ويعطي ذلك معلومات عن مدى بعد كل نقطة عن المتوسط الحسابي.
2. يتم حساب مربع كل هذه النقاط حتى تصبح كل القيم في المجموعة موجبة، بعدها يتم جمع ناتج التربيع لكل القيم معاً.
3. يقسم مجموع المربعات على عدد القيم الموجودة في المجموعة، وهذا يعتبر التباين.

مثال: حساب التباين للمجموعة التالية من النقاط (2، 7، 3، 12، 9).^[٣]

الحل:

1. الخطوة الأولى هي حساب المتوسط الحسابي لهذه النقاط، ويتم ذلك من خلال حساب المجموع لهذه النقاط وهو 33، ثم يقسم هذا المجموع على عدد النقاط وهو (5)، ويكون الناتج للمتوسط الحسابي هنا هو (6.6).
2. بعدها يتم طرح القيم الموجودة لدينا من الوسط الحسابي كل نقطة على حدة كما التالي (4.6-، 0.4، 3.6-، 5.4، 2.4).
3. بعدها يتم تربيع كل القيم الموجودة لدينا وتكون كالتالي (21.16، 0.16، 12.96، 29.16، 5.76).
4. بعدها يتم جمع القيم المربعة مرة أخرى ويكون ناتج الجمع لدينا (69.20).
5. ويقسم الناتج (69.20) على عدد النقاط الموجودة لدينا وهو (5)، ويكون الناتج (13.84) وهو التباين.

الانحراف المعياري

يقصد بحساب الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard Deviation) لمدى تشتت البيانات بالنسبة للمتوسط الحسابي، لذلك فإن الحصول على قيمة منخفضة للانحراف المعياري يعني أن القيم تتجمع حول المتوسط الحسابي، بينما الحصول على قيمة انحراف معياري عالي تعني أن القيم منتشرة وبعيدة عن المتوسط الحسابي،^[٤] ويمكن حساب الانحراف المعياري من خلال النقاط التالية:^[٥]

• يتم إيجاد المتوسط الحسابي للقيم الموجودة لدينا.
• ثم يتم طرح كل قيمة من المتوسط الحسابي بشكل منفصل.
• بعدها يتم تربيع كل القيم الناتجة من عملية الطرح في الخطوة السابقة.
• يتم حساب المتوسط الحسابي لمربع النقاط عن طريق جمعها وقسمتها على عدد القيم الموجودة لدينا.
• بعدها يتم إيجاد الجذر التربيعي للقيمة النهائية للمتوسط الحسابي الجديد، والناتج يكون الانحراف المعياري المطلوب.
• بطريقة أخرى فإن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لناتج التباين.

مثال: حساب الانحراف المعياري بشكل أفضل للقيم (6، 2، 3، 1).^[٦]

الحل:

• يتم حساب الوسط الحسابي في البداية من خلال الحصول على مجموع القيم (12) ثم يقسم على عدد القيم (4) الموجودة لدينا، ونحصل على المتوسط الحسابي (3).
• بعدها يتم طرح كل قيمة من المتوسط الحسابي الذي تم الحصول عليه ليتم الحصول على (3، 1-، 0، 2-).
• في هذه النقطة يتم حساب مربع كل القيم الموجودة في الخطوة السابقة لنحصل على (9، 1، 0، 4).
• نحصل على المتوسط الحسابي للقيم المتبقية لدينا حيث نجمعها ونحصل على (14) ونقسمها على عددها (4) ويكون الناتج هنا (3.5).
• نجد الجذر التربيعي لهذا الناتج لنحصل على الانحراف المعياري وتكون الإجابة (1.87).

الخطأ المعياري

يعد الخطأ المعياري (بالإنجليزية: Standard Error) مشابه لعمل الانحراف المعياري حيث يعمل النوعان على قياس المتغيرات بالنسبة للمتوسط الحسابي والقيم الموجودة،^[٧] ولكن يشير الخطأ المعياري بشكل خاص إلى الفرق بين المتوسط الحسابي لعينة محددة، والمتوسط الحسابي للعدد الكامل من المجموعة الكبرى، كما يبين مقادر الاختلاف في المتوسط الحسابي إذا ما تم إعادة التجربة مرة أخرى باستخدام عينة مختلفة من نفس المجموعة الكبرى، ومع أنه في العادة يتم حساب الخطأ المعياري للمتوسط الحسابي، ولكن يمكن الحصول على الخطأ المعياري للوسيط (بالإنجليزية: Medians).^[٨]

ومن الأمور المهمة عند حساب الخطأ المعياري هو حجم العينة، لذا فإنه كلما زادت حجم العينة انخفضت قيمة الخطأ المعياري، وهذا يعني أن العملية الإحصائية كانت أقرب لقياس نتائج حقيقة لهذه التجربة، ويتم ذكر الخطأ المعياري بجانب المتوسط الحسابي كرقم أو تحويلها لنسبة.^[٨]

ويتم حساب الخطأ المعياري من خلال حساب الانحراف المعياري كما تم ذكره سابقاً ثم يتم قسمته على الجذر التربيعي لحجم العينة التي استخدمت في التجربة.^[٩]

مثال: حساب الخطأ المعياري للقيم التالية (5، 10، 12، 15، 20):^[١٠]

الحل:

1. في البداية يتم حساب المتوسط الحسابي للقيم بحساب المجموع (62)، ثم قسمته على عدد القيم (5)، ويكون الناتج للمتوسط الحسابي (10.5).
2. ثم يتم حساب التباين من خلال طرح كل قيمة من هذه القيم من المتوسط الحسابين بعدها يتم تربيع ناتج القيم، وبعدها يتم جمع القيم الجديدة وقيمتها على عدد القيم الموجودة فنحصل على قيمة التباين.
3. بعدها نأخذ الجذر التربيعي للتباين لنحصل على الانحراف المعياري ويكون الناتج (5.35).
4. ويتم تقدير الخطأ المعياري عن طريق قسمة الانحراف المعياري على جذر عدد القيم، ويكون ناتج الخطأ المعياري 2.39.

المراجع

1. ↑ "variance", britannica, Retrieved 9/1/2022. Edited.
2. ↑ "Variance & Standard Deviation", sciencebuddies, Retrieved 9/1/2022. Edited.
3. ↑ "4.5.3 Calculating the variance and standard deviation", statcan, Retrieved 9/1/2022. Edited.
4. ↑ "Standard Deviation", nih, Retrieved 9/1/2022. Edited.
5. ↑ "Standard Deviation", cuemath, Retrieved 9/1/2022. Edited.
6. ↑ "Introduction", khanacademy, Retrieved 9/1/2022. Edited.
7. ↑ "Standard Error of the Mean (SEM)", statisticsbyjim, Retrieved 9/1/2022. Edited.
8. ^ ^{أ ب} "Standard error in statistics", scribbr, Retrieved 9/1/2022. Edited.
9. ↑ "Standard Error of the Mean vs. Standard Deviation: The Difference", investopedia, Retrieved 9/1/2022. Edited.
10. ↑ "Standard Error", byjus, Retrieved 9/1/2022. Edited.