بحث عن نظرية ذات الحدين

كتابة:
بحث عن نظرية ذات الحدين

التعريف بنظرية ذات الحدين

تساعد نظرية ذات الحدين بشكل أساسيّ في إيجاد القيمة الموسّعة للتعبير الجبري للصيغة (x + y) ^n، إذ إنّه من السهل إيجاد قيمة كلّ من (x + y) 2، و (x + y) 3، و (a + b + c) 2 حيثُ يمكن الحصول عليها بضرب عدد المرات على أساس قيمة الأس،[١] ونعني بالتعبير ذو الحدين على أنّه تعبير جبري يحتوي على مصطلحين مختلفين فقط، مثل: (a+b)، (a+b)3.[٢]


ومن الجدير بالذكر أنّه من الصعب إيجاد الصيغة الموسّعة للتعبيرات ذات القيم الأسيّة العالية بنفس الطريقة السابقة، لأنّه سيكون مملاً ويستغرق وقتاً طويلاً، ولكن يمكننا إيجادها بمساعدة نظرية ذات الحدين،[١] والتي تسمح لنا بإيجاد (x + y) n دون ضرب ذات الحدين في نفسه n مرات.[٣]

مبدأ نظرية ذات الحدين

ذكرت نظرية ذات الحدين لأول مرة في القرن الرابع قبل الميلاد من قبل عالم رياضيات يوناني مشهور باسم إقليدس، إذ تنص على مبدأ توسيع التعبير الجبريّ (x + y) n، وتُعبر عنه كمجموع للحدود التي تتضمن الأسس الفرديّة للمتغيرات (x) و (y)، حيثُ يرتبط كلّ حد في التوسُّع ذي الحدين بقيمة رقميّة تسمى المعامل.[١]

تنطوي نظرية ذات الحدين على مصطلحين مهمين، وهما: المعامل ذي الحدين، والتوسُّع ذي الحدين، وفيما يأتي توضيحها:

المعامل ذي الحدين

نحتاج إلى استخدام مجموعات لإيجاد المعاملات التي ستظهر في توسّيع التعبير ذي الحدين، أي عند إيجاد (x + y) n، وفي هذه الحالة، سنستخدم الترميز C (n, r)، حيثُ يُدعى الترميز C (n, r) بمعامل ذي الحدين، ويُعبر عنه على النحو الآتي:[٢]

C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)

حيثُ إنّ:

  • n، r: أعداد صحيحة أكبر من أو يساوي 0 مع n ≥ r، كما يكون المعامل ذي الحدين عددًا صحيحًا.

التوسع ذي الحدين

يكون توسّع ذي الحدين نتيجة لفك الصيغة (x + y) n عن طريق عملية الضرب، حيثُ تتضمن معاملات ذات الحدين، فإذا أردنا فك (x + y)52؛ فقد نضرب (x + y) في نفسها 52 مرة، وهذا قد يستغرق وقتاً طويلاً، لذلك إذا فحصنا بعض التوسّعات البسيطة ذات الحدين، فإنّه يمكننا إيجاد واستنتاج أنماط ستقودنا إلى اختصار للعثور على توسّعات ذات حدين أكثر تعقيدًا، وفيما يأتي توضيحها:[٢]

(x + y)n = ∑ C (n,k) (x(n-k)) (yk) = xn + C (n,1) (x(n − 1)) y + C (n,2) (x(n − 2)) (y2) + ... + C (n,n-1) x (y(n − 1)) + yn

يتعلق بنظرية ذات الحدين مجموعة من الاستنتاجات، وفيما يأتي ذكرها:[٢]

  • يوجد حدود n + 1 في مفكوك (x + y) ^n.
  • تُعتبر الدرجة أو مجموع الأس لكلّ مصطلح هو n.
  • تبدأ القوى على x بـ n وتنخفض إلى 0.
  • تبدأ القوى على y بـ 0 وتزيد إلى n.
  • تُعتبر المعاملات متماثلة.

أمثلة على نظرية ذات الحدين

يُمكن الاطلاع على الأمثلة التوضيحيّة الآتية على كلّ من المعامل ذي الحدين والتوسع ذي الحدين:

مثال 1: جد المعامل ذي الحدين لـ C (5,3).

الحل:

  • C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
  • C (5,3) = 5! / (3! (5 − 3)!)
  • (5x4x3!) / (3!x2!)
  • 5x4 / 2!
  • 10

مثال 2: جد المعامل ذي الحدين لـ C (9,2).

الحل:

  • C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
  • C (9,2) = 9! / (2! (9 − 2)!)
  • (9x8x7!) / (2!x7!)
  • 9x8 / 2!
  • 36

مثال 3: جد المعامل ذي الحدين لـ C (9,7).

الحل:

  • C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
  • C (9,7) = 9! / (7! (9 − 7)!)
  • (9x8x7!) / (7!x2!)
  • 9x8 / 2!
  • 36

مثال 4: حدّد التوسّع ل (x + y) ^5.

الحل:

  • لاحظ أنّ n = 5، وبالتالي، سيكون هناك 5 + 1 = 6 حدود، كل حد له درجة مجمعة من 5، بترتيب تنازلي لقوى x
  • أدخل x5، ثم قلل الأس على x بمقدار 1 لكل حد متتالي حتى يتم الوصول إلى x0 = 1
  • أدخل y0 = 1، ثم قم بزيادة الأس على y بمقدار 1 حتى يتم الوصول إلى y5
  • بعد إدخال x و y، يصبح:
  • x^5 , x^4y , x^3y^2 , x2y^3 , xy4 , y5
  • سيكون التوسّع على الشكل الآتي:
  • (x+y)5 = x5 + 5(x4)y + 10(x3)(y2) + 10(x2)(y3) + 5x (y4) + y5

المراجع

  1. ^ أ ب ت "Binomial Theorem", cuemath, Retrieved 13/3/2022.
  2. ^ أ ب ت ث "Binomial Theorem - Formula, Expansion and Problems", Aakash.byjus, Retrieved 13/3/2022.
  3. ↑ Jay Abramson, "13.6: Binomial Theorem", Mathematics .libretexts, Retrieved 13/3/2022.
6753 مشاهدة
للأعلى للسفل
×