تقرير عن المعادلات التفاضلية المتجانسة

المعادلات التفاضلية المتجانسة

تعرف المعادلات التفاضلية بأنها المعادلات التي تحتوي على مشتقات لدالة معروفة بوجود مجموعة من المتغيرات حيث أنها تقسم إلى معادلات تفاضلية متجانسة وغير متجانسة.^[١] أما المعادلات التفاضلية المتجانسة هي المعادلات التي يكون فيها درجات كل من (x, y) متساوية في الحدود، بالإضافة إلى إمكانية كتابتها على صورة f (kx, ky) = k^ (N) * f (x, y) حيث أن k هي عبارة عن ثابت لا يساوي 0، وتكون الصورة العامة لها تكون على شكل:^[١] dy/dx = f(x,y) بعض الأمثلة على معادلات تفاضلية متجانسة:^[١]

1. f( x,y ) = 2x - 8y
2. f( x,y ) = sin(x/y)
3. f( x,y ) = x^2 + 8xy+ 9y^2
4. f( x,y ) = (x^2 + y^2) / (xy).

وعند كتابة هذه المعادلات على صورة f (kx, ky) يجب أن يكون الناتج k^ (N) * f (x, y) للتأكد من أن هذه المعادلات التفاضلية هي معادلات متجانسة، وهذه طرق التحقق من المعادلات السابقة:^[٢]

1. f (kx, ky) = 2kx - 8ky، ومنها: (f (kx, ky) = k (2x - 8y.
2. f (kx, ky) = sin (kx/ky)، ومنها: f (kx, ky) = sin (x/y).
3. f (kx, ky) = k^2*x^2 + 8 (kx) (ky) + 9*k^2*y^2، ومنها: (f (kx, ky) =k^2* (x^2 + 8xy+ 9y^2.
4. f (kx, ky) = (k^2*x^2 + k^2*y^2) / (k^2*xy)، ومنها: f (kx, ky) = (x^2 + y^2) / (xy).

طريقة حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

يتم حل المعادلات التفاضلية المتجانسة بواسطة تكامل المعادلات ولكن بالبداية يجب اتباع هذه الخطوات:^[١]

• فصل المتغيرات الموجودة فيها عن المشتقات ووضع كل منهما على الجانبين من المعادلة لتصبح على صورة dy/dx = f (x, y).
• نقوم بكتابة المتغيرات فيها على صورة y = v×x ونشتقها لتصبح على صورة dy/dx = d (v×x) /dx ومنها:

dy/dx = v×dx/dx + x×dv/dx

dy/dx = v + x×dv/dx

• كتابتها على صورة g (v) = v + x×dv/dx ومنها: g (v) - v = x×dv/dx.
• بفصل المتغيرات تصبح dv/ (g (v) -v) = dx/x.
• مكاملة طرفي المعادلة وحلها.
• استبدال ال(v) من خلال v = y/x في الناتج.

مسألة محلولة على حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

أوجد حل المعادلة: dy/dx = (x^2 + y^2) / (xy).^[٣]

الحل:

• فصل الحدود في المعادلة

(dy/dx = (x^2/ xy) + (y^2 / xy

( dy/dx = ( x/ y ) + ( y/x

(dy/dx = (y/ x) ^ (-1) + (y/x؛ لكتابة الحدود على صورة (y/x).

• استبدال (y) من خلال كتابتها على صورة y = v×x و dy/dx = v + x×dv/dx تعويضها بالمعادلة.

• فصل المتغيرات

v ×dv = (1/x)×dx

• مكاملة طرفي المعادلة تصبح

v^ (2) / 2 = ln (x) + c؛ حيث إن c هو ثابت ناتج عن التكامل.

• إرجاع v = y/x لتصبح

y/x)^(2) = 2×( ln(x) +c ))

أهمية المعادلات التفاضلية واستخداماتها

تعد المعادلات التفاضلية من المعادلات المستخدمة في بعض التطبيقات المختلفة في الحياة الواقعية، حيث يتم استخدامها في مجالات الهندسة والفيزياء والعلوم وبعض المجالات الأخرى، فالدالة الموجودة فيها هي عبارة عن عملية يتم احتسابها بينما المشتقات تعمل على وصف معدل التغيير في أداء تلك العملية،^[٤] وهذه بعض استخدامات المعادلات التفاضلية:^[٥]

• حساب التغيرات بدرجات الحرارة.
• المعادلة التي تصف عملية تفريغ المكثفات R×dQ/dt + Q/C = 0.
• تغير الضغط الجوي مع الارتفاع [dP/dh = -p× [(m×g) /kT.
• إيجاد الربح والخسارة لمستقبل الاستثمار في الأعمال التجارية.^[٤]

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} "Homogeneous Differential Equation", cuemath, Retrieved 10/2/2022. Edited.
2. ↑ "Homogeneous Differential Equation", byjus, Retrieved 10/2/2022. Edited.
3. ↑ "Homogeneous Differential Equations", math's is fun, Retrieved 10/2/2022. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Applications of Derivatives", cuemath, Retrieved 17/2/2022. Edited.
5. ↑ "Differential Equation Applications", hyperphysics, Retrieved 17/2/2022. Edited.