تمارين محلولة في المنطق الرياضي

تمارين محلولة في المنطق الرياضي

تهدف تمارين المنطق الرياضي لتدريب العقل على عدد من التمرينات المنطقية، والمواضيع البديهية؛ ولكنها المُبهمة والمحيرة، ولحل هذه التمرين يجب أن يملك المتدرب عليها الدافع والحافز الكبيرين لإيجاد الحل الصحيح، وبسرعة وبساطة، وفيما يأتي طرق حل هذا النوع من المسائل:^[١]

• تحديد هل الجملة بيانية واضحة (إن وجدت المعطيات).
• وضع عبارات صحيحة، وتحديد ما إذا كانت صحيحة أم خطأ.
• ترجمة الجملة إلى رموز.

التمرين الأول

يوجد لدينا المجموعة التالية من الجمل، والمطلوب ترجمتها للرموز توافق نظريات المنطق الرياضي فيما يأتي:^[٢]

• إذا كانت 3 = x، إذن 2
• إذا كان 0 = x أو 1 = x، إذن x2 = 2.
• يوجد عدد طبيعي ورمزه x، بحيث يكون x² مساوي -22.

الحل:

• الجملة الأولى فيها بيان، وهي جملة خاطئة، وتمثل بالرموز (23 <= x²).
• الجملة الثانية فيها بيان، وهي جملة صحيحة، وتمثل بالرموز (x2=1 ← (x=0 ∨ x= 1).
• الجملة الثالثة فيها بيان، وهي جملة خاطئة.

التمرين الثاني

نفترض أن أ = "ألدو إيطالي"، ب = "بوب إنجليزي"، ومن هذا الافتراض نريد معرفة صحة الجمل الآتية:^[٣]

• ألدو ليس إيطاليًا.
• ألدو إيطالي بينما بوب إنجليزي.
• إذا كان ألدو إيطاليًا، فإن بوب ليس إنجليزيًا.
• ألدو إيطالي، وإذا لم يكن ألدو إيطاليًا فإن بوب إنجليزي.
• إما ألدو إيطالي وبوب إنجليزي، أو ألدو ليس إيطاليًا وليس بوب إنجليزي.

الحل:

• الجملة الأولى خاطئة.
• الجملة الثانية خاطئة.
• الجملة الثالثة صحيحة.
• الجملة الرابعة الجزء الأول صحيح، بينما الجزء الثاني خاطئ.
• الجملة الخامسة الجزء الأول صحيح، بينما الجزء الثاني خاطئ.

التمرين الثالث

أحدهم يمشي في متاهة، وفجأة يجد نفسه يجب أن يختار واحد من ثلاث طرق محتملة وهي: الطريق الأول على اليسار مرصوف بالذهب، والطريق الثاني في الأمام مرصوف بالرخام، والطريق الثالث عن اليمين مرصوف بحجارة صغيرة.^[٣]

المعطيات:

كل شارع محمي بواسطة حارس، ويجب التحدث للحراس، وهم يخبرونا بالآتي:^[٣]

• الحارس على الشارع المرصوف بالذهب: (هذا الطريق يقود مباشرة إليه المركز، وعلاوة على ذلك إذا أوصل طريق الحجارة إلى المركز، فعندئذٍ أيضًا سيوصل طريق الرخام إلى المركز).
• الحارس على الشارع المرصوف بالرخام: (لا طريق الذهب ولا طريق الحجر يوصلان إلى المركز).
• الحارس على الشارع المرصوف بحجارة صغيرة: (اتباع طريق الذهب سيوصل بالتأكيد إلى المركز، واتباع طريق الرخام سوف يُضيع سالكه ولن يستطيع الوصول للمركز).
• يجب أن نعلم أنَّ كل الحراس كاذبون، وعلينا اختيار طريق نتأكد من أنها ستقودنا إلى وسط المتاهة، فما الطريق الذي سنختاره بشكل منطقي وبديهي ليقودنا لمركز الطريق؟.

الحل:

• يوصلنا طريق الشارع المرصوف بالذهب للمركز.
• كما يوصلنا طريق الشارع المرصوف بالرخام للمركز.
• كما يوصلنا طريق الشارع المرصوف بحجارة صغيرة للمركز.

كتاب حول المنطق الرياضي

يُعدُّ كتاب (بالإنجليزية: Mathematical Logic) أحد أشهر كُتب المنطق الرياضي الحديثة، ويحوي الكتاب مجموعة واسعة من الأسئلة والأجوبة بشكل مُفصل ومفهوم، من إثبات النظريات الرئيسية والشهيرة حول المنطق الرياضي، والمنطق الافتراضي، منطق الدرجة الأولى، نظرية النموذج.^[١]

عمِدَ مؤلفي الكتاب (لازلو سيرماز، وزالان جينيس) على تجميع المشاكل حول المنطق الرياضي الكلاسيكي، وهما يملكان أكثر من 30 عام من الخبرة بتدريس المنطق، ودعما الكتاب بنظريات ألعاب المعلومات الكاملة، ونظريات المجموعات، ونظرية العودية، وحول المنطق الافتراضي، وأمثلة على البديهية وعدم البديهية.^[١]

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} " Mathematical Logic Exercises and Solutions", Springer Link, Retrieved 11/2/2022. Edited.
2. ↑ WUCT121, Discrete Mathematics Logic Tutorial Exercises, Page 2. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} Chiara Ghidini,Luciano Serafini, MATHEMATICAL LOGIC EXERCISES, Page 12 21 22. Edited.