محتويات
حساب المسافة بين نقطة ومستقيم
تُمثل المسافة بين نقطة ومستقيم الخط العمودي النازل من هذه النقطة إلى الخط المستقيم بحيث تكون هذه المسافة هي أقصر مسافة بينهما،[١] ويُمكن حساب المسافة بين النقطة (ع) التي إحداثياتها على المستوى الديكارتي (س1، ص1)، وبين المستقيم (ل) الذي معادلته الخطية:[٢]
(أ س+ ب ص + جـ = 0)
وذلك باستخدام الصيغة الرياضية الآتية:[٣]
ف = |أ س1 + ب ص1 + جـ| / (أ² + ب²)√
حيث إنّ:
- ف: المسافة العمودية بين النقطة والخط المستقيم.
- (س1، ص1): إحداثيات النقطة التي تبعد عن الخط المستقيم.
- (أ، ب، جـ): أعداد حقيقية.
أمثلة على حساب المسافة بين نقطة ومستقيم
ندرج فيما يأتي أمثلة على حساب المسافة بين نقطة ومستقيم:
إيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم
مثال: أوجد طول الخط المستقيم الواصل بين الخط المستقيم -3 س + 9 ص + 8 = 0، والنقطة (3، 7).
الحل:
إيجاد قيم (س1، ص1) من إحداثيات النقطة على النحو الآتي:
- س1= 3
- ص1= 7
إيجاد قيم (أ، ب، جـ) من معادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:
- أ = -3
- ب = 9
- جـ = 8
تعوض القيم في معادلة المسافة بين النقطة والخط المستقيم لإيجاد المسافة على النحو الآتي:
- المسافة = | أ س1 + ب ص1 + جـ | / (أ² + ب²)√
- المسافة = | -3 × 3 + 9 × 7 + 8 | / ((-3)² + 9²)√
- المسافة = | -9 + 63 + 8 | / (9 + 81)√
- المسافة = |62| / 90√
- المسافة = 62 / 9.486
- المسافة = 6.53 وحدة طول.
إيجاد معادلة الخط المستقيم
مثال: أوجد قيمة جـ في معادلة الخط المستقيم -4 س - 3 ص + جـ = 0 إذا كانت المسافة بين هذا الخط والنقطة (6، -2) تساوي 5 سم.
الحل:
إيجاد قيم (س1، ص1) من إحداثيات النقطة على النحو الآتي:
- س1= 6
- ص1= -2
إيجاد قيم (أ، ب) من معادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:
- أ = -4
- ب = -3
تعوض القيم في معادلة المسافة بين النقطة والخط المستقيم لإيجاد قيمة جـ المجهولة على النحو الآتي:
- المسافة = | أ س1 + ب ص1 + جـ | / (أ² + ب²)√
- 5 = | -4 × 6 + -3 × -2 + جـ | / ((-4)² + (-3)²)√
- 5 = | -24 + 6 + جـ | / (16 + 9)√
- 5 = | -18 + جـ | / (25)√
- 5 = | -18 + جـ | / 5
- 25 = | -18 + جـ |
وبما أنّه توجد قيمة مطلقة فإنّه يوجد حلان للمعادلة وهما كالآتي:
- 25 = -18 + جـ
- -25 = -18 + جـ
تُحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة جـ الأولى على النحو الآتي:
- 25 = -18 + جـ
- جـ = 43
تُحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة جـ الثانية على النحو الآتي:
- -25 = -18 + جـ
- جـ = -7
المراجع
- ↑ "Distance of a Point From a Line", CUEMATH, Retrieved 11/1/2022. Edited.
- ↑ "How to Find the Distance Between a Point & a Line", study, Retrieved 11/1/2022. Edited.
- ↑ "Distance of Point From a Line", toppr, Retrieved 11/1/2022. Edited.
