حساب حجم المخروط الناقص

قانون حساب حجم المخروط الناقص

يمكن حساب حجم المخروط الناقص أيًا كان شكله باستخدام كل من ارتفاع المخروط (ع)، ومساحة قاعدته، وذلك باستخدام العلاقة الآتية:^[١]

حجم المخروط الناقص = (ارتفاع المخروط الناقص / 3) × (مساحة القاعدة الأولى + مساحة القاعدة الثانية + الجذر التربيعي لحاصل ضرب مساحة القاعدة الأولى في الثانية)

ولكن المشكلة أنه في كثير من الأحيان لا نعرف مساحة قاعدتي المخروط، ولكن نعرف نصف قطره، وبالتالي نحتاج إلى إيجاد قانون حجم المخروط بدلالة نصف القطر، وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[١]

بما أن قاعدتي المخروط دائرية الشكل فإن مساحة كل من القاعدتين = مساحة الدائرة = π × (مربع نصف القطر)

• مساحة القاعدة السفلية = π × (مربع نصف قطر القاعدة السفلية)
• مساحة القاعدة العلوية = π × (مربع نصف قطر القاعدة العلوية)
• من القانون الذي تم ذكره في الأعلى فإن حجم المخروط = (ارتفاع المخروط الناقص / 3) × (مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية + الجذر التربيعي لحاصل ضرب مساحة القاعدة السفلية في العلوية)

وبالتالي فإن حجم المخروط بدلالة نصف قطر القاعدة العلوية والسفلية = (ارتفاع المخروط الناقص / 3) × (π × (مربع نصف قطر القاعدة العلوية) + (π × مربع نصف قطر القاعدة السفلية) + الجذر التربيعي للقيمة (π × مربع نصف قطر القاعدة العلوية + π × مربع نصف قطر القاعدة السفلية)

مثال على حساب حجم المخروط الناقص

قد يصعب فهم القانون السابق، وقد يظنه البعض صعب التطبيق، ولكن المثال الآتي يبين أن تطبيقه سهل جدًا.

مثال: مخروط ناقص ارتفاعه 45 سم، ونصف قطر القاعدة السفلية 28 سم، ونصف قطر القاعدة العلوية 7 سم فما هو حجمه؟^[٢]

الحل: يمكن حل السؤال باتباع الخطوات الآتية:

• حجم المخروط الناقص = (ارتفاع المخروط الناقص / 3) × (مساحة القاعدة السفلية + مساحة القاعدة العلوية + الجذر التربيعي لحاصل ضرب مساحة القاعدة السفلية في العلوية)
• مساحة القاعدة السفلية = مساحة الدائرة = π × (مربع نصف قطر القاعدة السفلية)، ويساوي π × 28 × 28، ويساوي 2461.7 سنتمتر مربع.
• مساحة القاعدة العلوية = π × (مربع نصف قطر القاعدة العلوية)، ويساوي π × 7 × 7، ويساوي 153.8 سنتمتر مربع.
• بعد إيجاد مساحة كل من القاعدة العلوية والسفلية فإنه يتم التطبيق في قانون حجم المخروط الناقص، وذلك كما يلي:

حجم المخروط الناقص = (45 / 3) × (2461.7 + 153.8 + (2461.7 + 153.8) √، ويساوي 48510 سنتمتر مكعب.

ملاحظة هامة: يلفظ الرمز (π) بلفظ باي؛ وباي هي حرف لاتيني، ويمثل نسبة محيط أي دائرة إلى قطرة وهو عد دوري لا نهائي، وله قيمة تقريبية تساوي 3.14 أو 22 / 7.^[٣]

مفهوم المخروط الناقص

يعرف المخروط الناقص (بالإنجليزية: Truncated Cone) بأنه المخروط الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي للمخروط بشكل موازٍ لقاعدته الدائرية، ممّا يؤدّي إلى إزالة رأس المخروط، ويمكن التعبير عن هذا المخروط باستخدام أبعاد؛ الارتفاع، ونصف القطر، والارتفاع أو البعد الجانبي.^[٤]

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Volume of Frustum", www.cuemath.com, Retrieved 28-1-2021. Edited.
2. ↑ "Volume of frustum of a cone", www.brainkart.com, Retrieved 28-12-2021. Edited.
3. ↑ "What Is Pi, and How Did It Originate?", www.scientificamerican.com, Retrieved 28-12-2021. Edited.
4. ↑ "Truncated Cone", superprof, Retrieved 24/3/2022. Edited.