حل متباينات القيمة المطلقة

حل متباينات القيمة المطلقة

يُعبّر عن متباينات القيمة المطلقة (بالإنجليزيّة: Absolute value inequalities) بمسألة تتألف من القيمة المطلقة العادية بالإضافة إلى إشارات المتباينات المختلفة، وعمليّة حلّها تكون نفسها بغض النظر عن إشارة المتباينة المستخدمة، بحيث نأخذ بالاعتبار إشارة القيمة المطلقة إذ لا يمكن أن تكون القيمة المطلقة عددًا سالبًا، على سبيل المثال: |س+3|<0.^[١]

وفيما يأتي طرق حل متباينات القيمة المطلقة:

حل متباينات القيمة المطلقة باستخدام خط الأعداد

تتضمن متباينات القيمة المطلقة تعبيرًا جبريًا داخل القيمة المطلقة،^[٢] إذ يمكن حل أي نوع منها باستخدام خط الأعداد، وفيما يلي طريقة حلّها خطوة بخطوة مع تطبيقها على هذا المثال:^[٣]

مثال: حل المتباينة التالية: |س+2|>4

• الخطوة الأولى

تحويل إشارة المتباينة إلى مساواة وحلّها؛ |س+2|=4، وينتج عن هذا معادلتان إحداهما (س+2=4) ومنها (س=2)، والأخرى (س+2=4-) ومنها (س=6-).

• الخطوة الثانية

تمثيل قيم المتغير (س) من الخطوة الأولى على خط الأعداد بالترتيب، فنجد أنها قسّمت خط الأعداد إلى ثلاثة أجزاء (فترات).

• الخطوة الثالثة

أخذ من كل فترة عدد عشوائي يقع داخلها ونعوّضه في المتباينة الأصليّة للتأكد من الفترة المطلوبة، وفق الجدول التالي:

• الخطوة الرابعة

اختيار الفترة الصحيحة بناءً على ناتج التعويض، وهي (2 ,6-) وتُكتب (6-<س<2)

حل متباينات القيمة المطلقة باستخدام الصيغ العامة

بعد أن تعرفنا على طريقة حل متباينات القيمة المطلقة باستخدام خط الأعداد، يمكن حلّها باستخدام الصّيغ بشكل أسرع، إذ يوجد 4 طرق لحلها باستخدام الصيغ:^[٣]

• |س| < ب أو |س| ≤ ب : يكون الحل إمّا ( ب>س>-ب ) أو ( ب≥س≥-ب )

مثال: |س-50|≤2

الحل: (2 ≥ س-50 ≥ 2-)، نطرح (50) من طرفي المتباينة فيكون الناتج (52 ≥ س ≥ 48)

• |س| > ب أو |س| ≥ ب : يكون الحل إما (س>ب أو س<-ب) أو (س≥ب أو س≤-ب)

مثال: |2س-1|≥4

الحل: نفصل المتباينة إلى جزئين ونحل كل منهما كمعادلة عادية فينتج:

• (2س-1 ≤ 4-): تكون س ≤ (2/ 3-)
• (2س-1 ≥ 4 ): تكون س ≥ (2/ 5)

• |س| < -ب أو |س| ≤ -ب : لا يوجد حل.

مثال: |س-2|<3- ، لا يوجد حل.

• |س| > -ب أو |س| ≥-ب : الحل هو جميع الأعداد الحقيقيّة.

مثال: |س-2|>3- ، الحل هو جميع الأعداد الحقيقيّة (R).

القيمة المطلقة والمتباينات

وفيما يلي توضيح للقيمة المطلقة والمتباينات:

القيمة المطلقة

يُمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute value) على أنها مقدار المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي (بغض النظر عن إشارته) عن الصفر على خط الأعداد،^[٤] ويكون هذا المقدار موجب دائمًا، إذ تُعزى أحيانًا الإشارة السالبة للدلالة على الاتجاه أو للتعبير عن الزيادة والنقصان في مقدار الربح والخسارة لمعاملة ما، ولكن بالنسبة للقيمة المطلقة يتم اعتبار القيمة الرقمية فقط وتجاهل الإشارة السالبة.^[٥]

تكتب القيمة المطلقة لرقم أو متغير على شكل |س| بحيث أن (س) هو عدد صحيح، على سبيل المثال تتم كتابة القيمة المطلقة للعدد (4) على شكل |4|، وتكتب للعدد (4-) على شكل |4-|، إذ يكون ناتج كل منهما يساوي (4) بحيث أن |4|=|4-|=4، فيكون الناتج موجبًا للقيمة المطلقة لجميع الأعداد.^[٦]

اقتران القيمة المطلقة

يُعبر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س) = |س| بحيث أن:^[٧]

• |س| = + س، بحيث تكون س > 0
• |س| = - س، بحيث تكون س < 0

إذ يحوّل اقتران القيمة المطلقة قيم المتغير (س) إلى قيم موجبة دائمًا على سبيل المثال:^[٨]

• ق(4-)=|4-|=4
• ق(234-)=|234-|=234

وعند رسم اقتران القيمة المطلقة بيانيًا فإنه يعطي شكل حرف (V)، ويمتاز بعدّة خصائص أهمّها:^[٩]

• يكون مجاله جميع الأعداد الحقيقيّة.
• يكون مداه إمّا الصفر أو جميع الأعداد الحقيقيّة التي تزيد عنه.
• رسمه البيانيّ يكون بالكامل فوق محور السّينات.
• رسمه البيانيّ يكون متماثلًا مع محور الصّادات.

المتباينات

تُعرف المتباينات (بالإنجليزيّة : Inequalities) على أنها التعبيرات الرياضيّة التي لا يتساوى فيها الطرفان فتكون على عكس المعادلات إذ يتم استبدال إشارة المساواة بإشارات رياضيّة أخرى كالآتي:^[١٠]

• أ ≠ ب : أ لا تساوي ب
• أ > ب : أ أكبر من ب
• أ < ب : أ أصغر من ب
• أ ≥ ب : أ أكبر من ب أو تساويها
• أ ≤ ب : أ أصغر من ب أو تساويها

بالإضافة إلى أن هناك أنواع مختلفة من المتباينات أهمها:^[١١]

• متباينات متعدّدة الحدود
• متباينات القيمة المطلقة
• متباينات نسبيّة

المراجع

1. ↑ "The Absolute-Value Inequality: Definition & Example", study, Retrieved 4/2/2022. Edited.
2. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة abe7f559_f6e5_43e9_9d64_c65bdb209b9b
3. ^ ^{أ ب} "Absolute Value Inequalities", cuemath, Retrieved 4/2/2022. Edited.
4. ↑ "Absolute Value", brilliant, Retrieved 4/2/2022. Edited.
5. ↑ "Absolute Value", cuemath, Retrieved 4/2/2022. Edited.
6. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 2bbef55a_2617_4bf8_832e_0b8f34ce3027
7. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 1c0f71e8_be1a_448a_8dc9_5e84403f08ca
8. ↑ "Absolute Value Function: Definition & Examples", study, Retrieved 4/2/2022. Edited.
9. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 7a1f17c0_9122_4f19_af7f_23dba64e0309
10. ↑ "Inequalities", cuemath, Retrieved 4/2/2022. Edited.
11. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 39c62a2d_7297_4a42_9fb4_4df519c9e27e