خصائص عملية الضرب

خصائص عملية الضرب

لعملية الضرب خصائص عدة، وهذه الخصائص هي:

الخاصيّة التبادليّة

يُمكن تعريف الخاصية التبادليّة (بالإنجليزيّة: Commutative Property) بأنها تلك الخاصيّة التي تُوضّح أنّ اختلاف ترتيب الأرقام أو العوامل أثناء إجراء عمليّة الضرب لا يؤثر على النتيجة النهائية، ويتم التعبير عن ذلك بالرموز: (أ×ب)=(ب×أ)؛ فعلى سبيل المثال إذا كان ناتج ضرب العدد 8 بالعدد 2 يساوي 16، فإنّ ناتج ضرب العدد 2 بالعدد 8 يساوي 16 أيضاً؛ أي أن 8×2=2×8؛ ويجدر بالذكر هنا أن هذه الخاصية لا تنطبق على عملية القسمة،^[١] ويمكن من خلالها تبسيط عملية ضرب الأعداد التي تزيد عن اثنين لتسهيل حلها؛ مثل إيجاد حاصل ضرب 2×3×5×3×2×3×5؛ حيث يمكن إعادة ترتيب هذه المسألة باستخدامها لتصبح: (2×5)×(5×2)×(3×3)×3=10×10×27=2700، وحلها بسهولة.^[٢]

خاصيّة التجميع

يُطلق على الخاصيّة التي تُوضّح إمكانيّة تغيير طريقة تجميع الحدود أو الأرقام دون التأثير على ناتج الضرب اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Associative property)؛ فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب: 3×(5×4)= 60، ويساوي ناتج 4×(3×5)= 60؛^[٣] ويمكن التعبير عنها بالرموز: أ×(ب×ج)= (أ×ب)×ج،^[٤] وهي تعني باختصار أن موقع الأقواس في المسألة الرياضية لا يؤثر على نتيجتها النهائية.^[٥]

خاصيّة التّوزيع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة ضرب العدد أو الحد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Distributive Property) ويمكن التعبير عنها بالرموز على شكل: أ×(س+ص)= أ×س+أ×ص، كما أنّ أ×(س-ص)= أ×س - أ×ص،^[٦] وتساعد هذه الخاصية على تبسيط المسائل المعقدة إلى مسألة بسيطة مُكونة من طرح أو جمع بين عددين أو حدين.^[٧]

خاصيّة الهويّة

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّه في حالة ضرب العدد 1 بأي عدد آخر فسيكون الناتج هو العدد الآخر اسم خاصيّة الهويّة، أو خاصيّة الواحد (بالإنجليزيّة: Identity property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 1 بالعدد 5 هو 5، وناتج ضرب العدد 20 بالعدد 1 هو 20.^[٣]

خاصيّة الصفر

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّ ناتج ضرب أي عدد بالصفر هو صفر اسم خاصيّة الصفر (بالإنجليزيّة: Zero Property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 5 بالعدد 0 هو 0، كما أنّ ناتج ضرب العدد 0 بالعدد 100 هو صفر دائماً،^[٨] وتبرز أهمية هذه الخاصيّة في حل المعادلات؛ فمثلاً عند حل هذه المعادلة: (س-4)(س+4)=0؛ فإن خاصية الصفر تفرض أن أحد القوسين أو كليهما يجب أن يكون مساوياً للعدد صفر، ومنه يكون حلها س=4+،4-.^[٩]

أمثلة متنوعة على خصائص عملية الضرب

المثال الأوّل

ما هي الخاصية التي تمثلها العلاقات الآتية:

• العلاقة الأولى: 5 × 2 = 2 × 5.
• العلاقة الثانية: 7 × 1 = 7
• العلاقة الثالثة: 12 × 0 = 0
• العلاقة الرابعة: 5(2 × 10) = 2(5 × 10)

الحلّ:

• العلاقة الأولى: الخاصيّة التبادلية.
• العلاقة الثانية: خاصيّة الهويّة.
• العلاقة الثالثة: خاصيّة الصفر.
• العلاقة الرابعة: خاصّية التجميع.

المثال الثاني

حلّ العبارة الآتية، مع تحديد الخاصيّة التي تمّ استخدامها، 5 × (7 + 4).

الحل:

• 5 × (7 + 4) = (5 × 7) + (5 × 4) = 55.
• تمّ استخدام خاصّية توزيع الضرب.

المثال الثالث

صحّح الأخطاء الآتية اعتماداً على خصائص عمليّة الضرب.

• 4 × 0 = 4.
• 5 × ( 6 + 2 ) = 5 × 6 × 2.

الحلّ:

• العبارة الأولى: 4 × 0 = 0، اعتماداً على خاصيّة الصفر.
• العبارة الثانية: 5 × ( 6 + 2 ) = (5 × 6) + (5 × 2) = 40، اعتماداً على خاصيّة توزيع الضرب.

المثال الرابع

بسّط الجملة الآتية باستخدام خواص عمليات الضرب وحدّد الخاصيّة التي يجب استخدامها لتبسيطها،(س - 2)(س + 2).

الحلّ:

• (س - 2)(س + 2) = س² + 2س - 2س - 2×2 = س² - 4
• تمّ تبسيطها اعتماداً على خاصيّة توزيع الضرب.

المثال الخامس

أي من الآتي يُعبّر عن خاصية التجميع: أ×1=أ، س×0=0، ب×أ = أ×ب، ج(أ×ب)=ب(أ×ج).

الحلّ:

• ج(أ×ب)=ب(أ×ج).

المثال السادس

بسّط التعبير الآتي باستخدم خاصية الضرب المناسبة: 3×(2س+5) - (س+2).

الحلّ:

• 3×(2س+5) - (س+2) = 6س + 15 - س - 2 = 5س + 13
• تمّ استخدام خاصية التوزيع.

المثال السابع

إذا كان 7×(4×2)=56، فما هو ناتج (7×4)×2؟

الحلّ:

• اعتماداً على خاصية التجميع، فإنّ الجواب هو 56.

من أهمّ هذه خصائص عملية الضرب هي: الخاصيّة التبديلية والتي تعني أنّ اختلاف ترتيب الأرقام خلال الضرب يؤدي للناتج نفسه، وخاصيّة الهوية والتي تعني أنّ ضرب أيّ عدد في العدد 1 يُعطي العدد نفسه، وخاصيّة الصفر حيث أنّ ضرب أي عدد في صفر يكون الناتج صفراً، أمّا خاصيّة التوزيع فتشرح إمكانية ضرب العدد أو الحد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله، وخاصيّة التجميع والتي تمكّن من تغيير طريقة تجميع الحدود أو الأرقام دون التأثير على ناتج الضرب، وهذه الخصائص تُسهّل العمليّات الحسابية وتُبسّطها بشكل كبير.

المراجع

1. ↑ "The Commutative Property of Multiplication", www.coolmath.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
2. ↑ Alexander Katz , "Commutative property of Addition and Multiplication"، brilliant.org, Retrieved 20-2-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Properties of multiplication", www.khanacademy.org, Retrieved 31-8-2018. Edited.
4. ↑ Alexander Katz , "Associative property of Addition and Multiplication"، brilliant.org, Retrieved 20-2-2020. Edited.
5. ↑ Kimberly Osborn, "Associative Property of Multiplication: Definition & Example"، study.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
6. ↑ "Distributive property explained", www.khanacademy.org, Retrieved 23-2-2020. Edited.
7. ↑ Jordan Nisbet (14-6-2020), "Distributive Property: 5 Clear Examples to Use in Class"، www.prodigygame.com, Retrieved 23-2-2020. Edited.
8. ↑ "Zero Property Of Multiplication - Definition with Examples", www.splashmath.com, Retrieved 31-8-2018. Edited.
9. ↑ "The Multiplication Property of Zero", www.dummies.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.