شرح المتتابعات

نظرة عامة حول المتتابعات وأنواعها

يمكن تعريف المتتاليات، أو المتتابعات (بالإنجليزية: Sequence) بأنها عبارة عن ترتيب لمجموعة من الأعداد التي تتبع عادة لنمط أو قاعدة محددة، ويمكن لهذه المتتالية أن تكون منتهية، أو غير منتهية.^[١]

المتتابعات الحسابية

يمكن تعريف المتتاليات الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic Sequences) بأنها المتتالية التي يكون الفرق بين كل حدين متتاليين من حدودها ثابت، ومن الأمثلة على المتتابعات الحسابية: 2، 4، 6، 8، 10، ......؛ حيث يمكن ملاحظة أنّ الفرق بين كلّ عددين متتاليين منها هو مقدار ثابت، وفي هذه المتتالية يُعطى الحد الأول وهو (2) الرمز: (ح₁)، ويُسمّى أساس المتتالية، ويُرمز للفرق الثابت بين كل حدين متتاليين بالرمز: (د)، وتتبع هذه المتتاليات عادة قاعدة ثابتة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د؛ حيث: ن: هو العدد الذي يعبّر عن ترتيب الحد المراد إيجاد قيمته، (ح _ن): قيمة ذلك الحد، ويمكن من خلال هذه القاعدة إيجاد قيمة أي عدد فيها،^[٢] ويمكن توضيح ذلك من خلال المثال الآتي:

• جد قاعدة المتتالية الآتية: 1، 4، 7، 10، 13، 16، 19، 22، 25، ........؟^[٣]
  • باستخدام القاعدة العامة: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، ينتج أنّ:
    • الفرق بين كل حدين متتاليين في هذه المتتالية هو: د = 3، أما الحد الأول فيها فهو 1، وعليه تكون قاعدتها: ح _ن = 1+(ن-1)×3 = 3×ن-2.

يمكن كذلك إيجاد مجموع حدود المتتاليات الحسابية حتى حد معين فيها (ن) من خلال استخدام القانون الآتي: المجموع = (ن/2)× (2×ح₁+(ن-1)×د)؛ فمثلاً يمكن حساب مجموع أول أربعة حدود في المتتالية السابقة: 1، 4، 7، 10، 13، 16، 19، 22، 25، ........، كما يلي:^[٤]

• مجموع أول أربعة حدود (ن = 4) = (4/2)× (2×1+(4-1)×3) = 2×(11) = 22، وهو يعادل مجموع الحدود الأربعة فيها: 1+4+7+10 = 22.

المتتابعات الهندسية

يمكن تعريف المتتاليات أو المتتابعات الهندسية (بالإنجليزية: Geometric Sequences) بأنها المتتابعات التي تكون فيها النسبة بين كل عددين متتاليين متساوية، ومن الأمثلة على هذه المتتابعات: 2، 6، 18، 54، 162؛ فهذه متتابعة هندسية عدد حدودها 5 حدود، والحد الأول فيها يساوي 2، والنسبة بين كل عددين متتاليين من هذه الأعداد يساوي 3؛ فمثلاً 6/2 = 3، 54/18 = 3،^[٥] ويمكن إيجاد القاعدة العامة لكل متتابعة من المتتابعات الهندسية من خلال القانون الآتي: ح _ن = أ×ر ^(ن-1)؛ حيث أ هو الحد الأول في المتتابعة الهندسية، ويعرف بأساس المتتابعة، ر: هو النسبة الثابتة للمتتابعة الهندسية، ويمكن إيجاده من خلال قسمة أي حدين متتاليين من حدود المتتابعة الهندسية على بعضهما، ويمكن توضيح ذلك من خلال المثال الآتي:^[٦]

• ما هي قاعدة المتتابعة الهندسية الآتية: 5، 10، 20، 40، ......؟
  • ح _ن = أ×ر^(ن-1)، الحد الأول في المتتابعة (أ) هو: أ= 5، النسبة بين كل حدين متتاليين (ر) هي: ر= 10/5 = 20/10 = 40/20 = 2، وبالتالي فإنّ قاعدة هذه المتتابعة هي:
  • ح _ن = 5×2^{( ن-1)}

يمكن إيجاد مجموع المتتابعات الهندسية حتى حد معين فيها (ن) من خلال اتباع القواعد الآتية:^[٤]

• إذا كانت ر<1 فإنّ: المجموع = أ×(1-ر^ن)/(1-ر).
• إذا كانت ر>1 فإنّ: المجموع = أ×(ر^ن-1)/(ر-1).

أنواع أخرى من المتتابعات

هناك عدة أنواع أخرى من المتتابعات، ومن أشهرها: متتابعة فيبوناتشي (Fibonacci Sequence)، ولتوضيح مفهوم هذه المتتالية ستتم الاستعانة بهذا المثال: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، ...........، والذي يمكن من خلاله ملاحظة أن كل عدد في هذه المتتابعة مساوٍ في قيمته لمجموع العددين الذين يسبقانه؛ فمثلاً العدد 2 يساوي مجموع العددين الذين يسبقانه: 1+1، والعدد 5 يساوي مجموع العددين الذين يسبقانه أي: 2+3، وكذلك الحال بالنسبة لجميع الأعداد المكونة لها، وبشكل عام تُعطى قاعدة متتابعة فيبوناتشي بالعلاقة الآتية: ح _ن = ح _ن-1+ح _ن-2.^[٧]

إيجاد قاعدة المتتابعات

يمكن إيجاد قاعدة المتتابعة عن طريق تحديد نوعها، وتحديد إن كانت متتالية حسابية أو هندسية، ثم إيجاد قاعدتها كما ذُكر سابقاً، وفي حال كانت المتتابعة ليست حسابية أو هندسية، أو فيبوناتشي، فيمكن معرفة قاعدتها عن طريق المحاولة، والخطأ؛ أي محاولة تخمين نوع العلاقة التي تربط بين الأعداد المختلفة فيها؛ فمثلاً يمكن معرفة قاعدة المتتالية الآتية: 1، 4، 9، 16، والتي لا تعتبر حسابية أو هندسية باستخدام طريقة المحاولة، والخطأ؛ عن طريق ملاحظة أن كل عدد فيها يساوي مربع ترتيبه؛ أي أنّ: ح _ن = ن²، وذلك لأنّ: 1² = 1، و 2² = 4، و3² = 9، و4² = 16، وبإيجاد قاعدة هذه المتتابعة يمكن معرفة بقية الحدود فيها، وهي: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49، 64،........^[٨]

أمثلة متنوعة حول المتتابعات

• المثال الأول: ما هو العدد أو الحد الخامس والثلاثون في المتتابعة الحسابية الآتية: 3، 9، 15، 21، ........؟^[٩]
  • الحل:
  • يمكن حل هذا السؤال باستخدام قاعدة المتتابعات الحسابية: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، لينتج أنّ:
    • الفرق بين كل حدين متتاليين في هذه المتتالية هو: د = 6، أما الحد الأول فيها فهو 3، وعليه تكون قاعدتها: ح _ن = 3+(ن-1)×6 = 6×ن-3.
  • ن تمثل ترتيب الحد المراد إيجاده، ويساوي 35، وعليه:
    • بالتعويض في القانون فإن الحد الخامس والثلاثين هو: ح ₃₅ = 6×ن-3 = (6×35)-3 = 207.

• المثال الثاني: متتابعة حسابية الحد الخامس فيها يساوي -8، والحد الخامس والعشرون فيها يساوي 72، فما هي قاعدة هذه المتتابعة، وما هو قيمة الحد مئة؟^[٩]
  • الحل:
  • بما أن المتتابعة حسابية فإن قاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، ولإيجاد قيمة أي حد فإننا نحتاج أولاً إلى إيجاد قيمة كل من: ح₁، د.
  • بما أن الحد الخامس يساوي -8، فإنّ:
    • -8 = ح₁ + (5-1)×د.......... (المعادلة الأولى)
  • بما أن الحد الخامس والعشرين يساوي 72 فإنّ:
    • 72 = ح₁ + (25-1)×د............. (المعادلة الثانية)
    • لدينا الآن معادلتان، وبحل هاتين المعادلتين بطريقة الحذف فإنّ: ح₁ = -24، د = 4.
  • مما سبق ينتج أنّ قاعدة المتتابعة الحسابية هذه هي: ح ن = -24+(ن-1)×4، وبالتالي يمكن إيجاد قيمة الحد مئة بالتعويض في هذه القاعدة، وذلك كما يلي:
    • ح₁₀₀= -24 + (100-1)×4= 372.

• المثال الثالث: متتابعة قاعدتها: ح_ن = 3ن+2، فما هي الحدود الخمسة الأولى لهذه المتتابعة؟^[١٠]
  • الحل:
  • ح _ن = 3ن+2، ومنه:
  • ح₁ = 3×1+2 = 5.
  • ح₂ = 3×2+2 = 8.
  • ح₃ = 3×3+2 = 11.
  • ح₄= 3×4+2 = 14.
  • ح₅ = 3×5+2 = 17.
  • وبالتالي فإن الحدود الخمسة الأولى: 5، 8، 11، 14، 17.

• المثال الرابع: جد الحدود المفقودة في المتتابعة الآتية: 8، ....، 16، ....، 24، 28، 32؟^[١١]
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود الأخيرة فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 8+(ن-1)×4؛ لأن الحد الأول هو 4، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 4.
  • وبالتالي فإن الحدود المفقودة هي:
    • ح ₂ = 4+4×2 = 12.
    • ح ₄ = 4+4×4 = 20.

• المثال الخامس: ما هي قيمة الحد س في المتتابعة الآتية: 16، 21، س، 31، 36؟^[١١]
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 16+(ن-1)×5؛ لأن الحد الأول هو 16، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 5.
  • بالتالي فإن الحدود المفقودة هي:
    • ح ₃= 11+5×3 = 26.

• المثال السادس: ما هي قاعدة المتتابعة الآتية: 4، 5، 6، 7، ......؟^[١٢]
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 4+(ن-1)×1 = ن+3؛ لأن الحد الأول هو 4، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 1.

• المثال السابع: ما هي قاعدة المتتابعة الآتية: -1، 0، 3، 8، 15، ......؟^[١٢]
  • الحل:
  • هذه المتتابعة ليست هندسية ولا حسابية، ولإيجاد قاعدتها فإنه يجب تخمين العلاقة بين قيمة ن التي تمثل ترتيب الحد، و ح _ن التي تمثل قيمة الحد، ولتسهيل ذلك يمكن عمل الجدول الآتي:

• • وبالتالي يلاحظ أن قاعدة المتتالية هي: ح _ن = ن×(ن-2).

• المثال الثامن: جد الحد الخامس في المتتابعة الآتية: 1، 4، 27، 256، ........؟^[١٣]
  • الحل:
  • هذه المتتابعة ليست هندسية ولا حسابية، ولإيجاد قاعدتها فإنه يجب تخمين العلاقة بين قيمة ن التي تمثل ترتيب الحد، و ح _ن التي تمثل قيمة الحد، ولتسهيل ذلك يمكن عمل الجدول الآتي:

• • وبالتالي يمكن استنتاج أنّ القاعدة هي: ح _ن = ن ^ن
  • الحد الخامس فيها هو: ح ₅ = 5 ⁵ = 3125.

• المثال التاسع: ما هي قيمة الحد السادس في المتتابعة الآتية: 2، 5، 10، 17، 26، .....؟^[١٣]
  • الحل:
  • لإيجاد قيمة الحد السادس فإنه يجب معرفة قاعدة المتتابعة، ولتسهيل الحل يتم عمل الجدول التجريبي الآتي:

• • وبالتالي فإن القاعدة هي ح _ن = ن²+1، وبتطبيق هذه القاعدة فإن الحد السادس = 6²+1 = 36+1 = 37.

المراجع

1. ↑ "sequences", mathigon.org, Retrieved 2-8-2020. Edited.
2. ↑ "Arithmetic sequences and series", www.mathplanet.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
3. ↑ "Sequences", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Sequence And Series", byjus.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
5. ↑ "Sequences", brilliant.org, Retrieved 2-8-2020. Edited.
6. ↑ "Number Sequences", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
7. ↑ "Sequences", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
8. ↑ "Sequences - Finding a Rule", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-8-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "The Formula of Arithmetic Sequence", www.chilimath.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
10. ↑ "Definition and Examples of Sequences", www.cliffsnotes.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
11. ^ ^{أ ب} "Number Sequences", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
12. ^ ^{أ ب} "Using and Writing nth Term Rules for Sequences", www.ck12.org, Retrieved 3-8-2020. Edited.
13. ^ ^{أ ب} "Finding the Next Number in a Sequence: The Method of Common Differences", www.purplemath.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.