طريقة حل معادلة تربيعية

ما طرق حل المعادلة التربيعية؟

من الضروري معرفة أنّ الصورة العامّة للمعادلة التربيعية تأخذ الشكل الآتي:^[١]

أ س² + ب س + ج = 0

وفيما يأتي أبرز الطرق لكيفية إيجاد حلول المعادلات التربيعية:

باستخدام القانون العام 

يُمكن استخدام القانون العام لحل معادلة من الدرجة الثانية؛ وذلك بالتعويض في صيغة القانون العام الآتية:^[١]

س = ((- ب) ± (ب² - 4 ×أ × ج)^1/2) / 2 × أ

حيث إنّ:

• س: حل المعادلة التربيعية أيّ القيمة التي تُحقّق المعادلة.
• أ: معامل المجهول س2.
• ب: معامل المجهول س.
• ج: الحد المطلق في المعادلة التربيعية.

بطريقة إكمال المربع

يُمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع كما يأتي:^[٢]

• قسمة جميع حدود المعادلة على معامل س² إن وجد.
• تحويل المعادلة للصيغة العامة، ونقل الحد المطلق (ج) إلى الطرف الأخر من المساواة أيّ مكان الصفر.
• إضافة القيمة (ب / 2 )² إلى طرفي المعادلة، حيث تُمثّل ب معامل المجهول س.
• يجب أن تكون النتيجة المحصلة من المربع الكامل للمعادلة متساوية، أي أنّ ما قبل المساواة يساوي ما بعد المساواة، مع العلم بأن القيمة التي ما قبل المساواة تمثل مربع كامل (س + عدد)².
• أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.
• إيجاد قيم المعامل (س) بعدها والتي تمثل حلول المعادلة من خلال التحليل للعوامل.

بطريقة التحليل إلى العوامل

يُمكن حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل إلى العوامل من خلال الخطوات الآتية:^[٣]

• تحويل صيغة المعادلة إلى الصيغة العامة ومساواتها بالصفر كما يأتي:
• أ س² + ب س + ج = 0
• إيجاد جذرا المعادلة اللذان يُحقّقان المعادلة التربيعية، وذلك من خلال فتح قوسين أسفل المعادلة ووضع س فيهما؛ (س± )(س± ).
• اختيار رقمين ناتج ضربهما يساوي الحد المطلق ج بإشارته، ووضعهما في الأقواس السابقة، حيث يجب الانتباه إلى أنّ:
• إذا كان الحد المطلق (ج) يحمل الإشارة السالبة، فتُعطى إشارة الحد (ب) إلى الرقم الأكبر بينهما.
• إذا كان الحد المطلق (ج) يحمل الإشارة الموجبة فيُعطى الرقمان إشارة الحد ب ليكون ناتج جمعهما قيمة هذا الحد وإشارته.
• مساواة كل قوس من الأقواس السابقة بالصفر لإيجاد قيمة س.

بطريقة الجذر التربيعي

يُستخدم الجذر التربيعي لحل بعض المعادلات التربيعية كما يأتي:^[٤]

• إعادة صياغة المعادلة التربيعية لتُصبح على صورة تسمح بوجود المعامل من الدرجة الثانية في جهة، وجميع الحدود الأخرى في الجهة الأخرى من المساواة.
• أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة بعد إجراء العمليات الحسابية اللازمة.
• الوصول لحل المعادلة بإعطاء الجذر التربيعي حلّين بإشارتين مختلفتين.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

إيجاد حل معادلة بالقانون العام

مثال: جِد حل المعادلة التربيعية الآتية باستخدام القانون العام:^[١]

س2 +  6 س + 5  = 0 

الحل:

• التأكّد من ترتيب المعادلة التربيعية على الصيغة العامة: (أ س² + ب س + ج = 0).
• التعويض بالقانون العام مع الانتباه للإشارات:
• س = ((-ب) ± (ب² - 4 ×أ × ج)^1/2) / 2 × أ.
• س = (-6 ± (6² - 4×1×5 )^1/2) / (2×1)
• س = (-6 ± (16)^1/2 / (2)
• س = (-6 ± 4 )/ 2
• س = -10 / 2؛ ومنه س = -5
• س = -2 / 2؛ ومنه س = -1

إذن مجموعة قِيم س التي تُحقّق المعادلة هي: (-5، -1).

إيجاد حل معادلة بإكمال المربع 

مثال: جِد حل المعادلة الآتية بطريقة إكمال المربع:^[٢]

س² + 4 س + 1 = 0.

الحل:

• نقل الحد المطلق (1) إلى الطرف الآخر للمعادلة أيّ إلى ما بعد المساواة لتصبح المعادلة كالآتي:
• س² +4 س = -1
• إضافة القيمة الآتية إلى طرفي المعادلة: (ب / 2 )² = (4 / 2 )² = 4، لتصبح المعادلة كالآتي:
• س² + 4 س + 4 = -1 + 4
• إكمال المربع الكامل للجزء الأول من المعادلة التربيعية من خلال تحليل الطرف الأيمن للعوامل لتصبح المعادلة:
• (س + 2)² = 3
• أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة لتصبح المعادلة كالآتي؛
  • (س + 2) = ± (3)^1/2
  • ( س+2 ) = ± ( 1.73)
  • س= ± 1.73 - 2
  • س= 3.73- ، س= 0.27-.

إذن مجموعة قِيم س التي تُحقّق المعادلة هي: (3.73- ، 0.27-).

إيجاد حل معادلة بالتحليل إلى العوامل 

مثال: جِد حل المعادلة الآتية باستخدام التحليل للعوامل:^[٣]

س2 - 3 س - 10 = 0. 

الحل:

• التأكّد من أنّ المعادلة مكتوبة بالصيغة العامة.
• قيمة الحد المطلق تساوي (-10)، إذن الرقمان اللذان يساوي ناتج ضربهما (-10) ومجموعهما (-3) هما: -5، 2.
• يوضع الرقمان في الأقواس هكذا؛ (س-5) (س+2) = 0
• س -5 = 0؛ ومنه س= 5
• س+2 = 0؛ ومنه س= 2-

إذن مجموعة قِيم س التي تُحقّق المعادلة هي: (5، -2).

إيجاد حل معادلة بالجذر التربيعي

مثال: جِد حل المعادلة الآتية:^[٤]

-2 س² + 15 = س² - 12

الحل:

• نقل الحدود المُطلقة إلى طرف ما بعد المساواة بالمعادلة، لتُصبح المعادلة كالآتي:
• -2 س² = س² - 12 - 15
• نقل الحد س² إلى طرف ما قبل المساواة في المعادلة لتُصبح المعادلة كالآتي:
• -2 س² - س² = -27
• الوصول في النهاية إلى المعادلة التربيعية بهذا الشكل:
• - 3 س² = -27
• قسمة طرفي المعادلة على معامل س² وهو (-3) لتصبح المعادلة كالآتي:
• س² = 9
• أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة لينتج: س = ± (9)^1/2
• س = 3 ، س = -3

إذن مجموعة قِيم س التي تُحقّق المعادلة هي: (3 ، -3).

أسئلة شائعة حول المعادلة التربيعية

كيف نستخدم المعادلات التربيعية في حياتنا؟

تُستخدم المعادلات التربيعية في حياتنا اليومية على النحو الآتي:^[٥]

• حساب قِيم الأرباح التي يُمكن تحقيقها من منتجات ما.
• استخدام الحسابات في الرياضة؛ كمعادلة السرعة التربيعية لإيجاد ارتفاع كرة السلة.
• استخدامها في الأنظمة التعليمية المختلفة؛ كالرياضيات، والفيزياء، وعلوم الكمبيوتر.
• إيجاد سرعة الكثير من الأمور الحياتية حولنا؛ كسرعة السفن والطائرات.
• ضبط طبق القمر الصناعي لإعداده بزوايا صحيحة لالتقاط الإشارات.
• استخدامها في المجالات العسكرية؛ مثل: إيجاد سرعة الطائرات العسكرية، والمسافات بين القوة العسكرية والعدو، والتنبؤ بأماكن سقوط الرصاص.
• استخدامها في المجالات الهندسية؛ كتصميم هياكل السيارات، وأنظمة الصوت.
• استخدامها في المجالات الزراعية؛ كحساب مساحات قطع الأراضي المُنتجة للمحاصيل الزراعية.
• استخدامها في الأعمال الإدارية؛ كمهمة تحديد الرواتب، وخطط التقاعد للموظفين، وتصميم نماذج وخطط التأمين.

ما أسهل طريقة لحل المعادلة س2 + 2 س - 10 = 5 ؟

يُمكن حل المعادلة س² + 2 س - 10 = 5 عن طريق التحليل للعوامل بكل سهولة كما يأتي:

• تحويل المعادلة للصيغة العامة:
• س² + 2 س - 15 = 0
• التحليل إلى العوامل:
• (س+5) (س-3) = 0

إذن مجموعة قِيم س التي تُحقّق المعادلة هي: (-5 ، 3).

يُشار إلى أنّه يُمكن اتّباع الخطوات الآتية لمعرفة أسهل طريقة لحل معادلة جبرية من الدرجة الثانية:^[١]

1. محاولة البحث عن عامل أو طُرق تحليل العبارة التربيعية لإيجاد قِيم س المُمكنة من خلال التحليل للعوامل، فإن حقّقت النواتج المعادلة فهي الطريقة الأسهل.
2. في حال عدم التمكّن من إيجاد العامل المناسب، يُمكن الانتقال للنظر في معامل ب، ومحاولة قسمته على العدد 2، فإن كان الناتج عدد بدون كسور، فطريقة إكمال المربع هي الطريقة المُثلى للحل.
3. إن لم تكن إكمال المربع هي الحل أو كانت صعبة، فيجب الانتقال للحل باستخدام القانون العام.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} Lee Johnson (8/12/2020), "Tips For Solving Quadratic Equations", SCIENCING, Retrieved 1/7/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Completing the Square", MATH IS FUN, Retrieved 1/7/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Solving Quadratic Equations Using Factoring", Varsity Tutors, Retrieved 1/7/2021. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "How to Solve Quadratic Equations using the Square Root Method", ChiliMath , Retrieved 1/7/2021. Edited.
5. ↑ "Uses of quadratic equations in daily life", All Uses of, 28/10/2019, Retrieved 1/7/2021. Edited.