قانون الانحراف المعياري

ما هو الانحراف المعياري؟

يمكن تعريف الانحراف المعياري (Standard Deviation) فيعلم الإحصاء بأنه مقياس للتغير، والذي يعبر عن مقدار التشتت أو الانتشار لمجموعة من القيم العددية حول متوسطها الحسابي^[١]، ويعد رمز الانحراف المعياري هو الحرف اليوناني سيجما σ^[٢]، وهنالك أنواع مختلفة للانحراف المعياري والتي تعتمد على نوعية البيانات أو المتغيرات، كالانحراف المعياري للمتغيرات المستمرة، والانحراف المعياري للمتغيرات المنفصلة، والانحراف المعياري للمتغيرات الوصفية.^[٣]

يُعرف الانحراف المعياري في علم الإحصاء بأنه مقياس للتغير، والذي يعبر عن مقدار التشتت أو الانتشار لمجموعة من القيم العددية حول متوسطها الحسابي

قانون الانحراف المعياري

ما هو قانون الانحراف المعياري للعينة؟

يمكن التعبير عن قانون الانحراف المعياري عن طريق التباين، إذ يمثل الانحراف المعياري قيمة الجذر التربيعي للتباين^[٢]، ولكن تختلف قوانين الانحراف المعياري باختلاف مجموعة البيانات المتوفرة، فإن قانون الانحراف المعياري لعينة صغيرة تنتمي لمجتمع إحصائي كبير يختلف عن قانون الانحراف المعياري لمجتمع إحصائي كبير^[٤]، وفيما يأتي هذين القانونين:

قانون العينة

يختلف قانون الانحراف المعياري للعينة (Sample standard deviation) عن المجتمع بأن القسمة تتم على عدد القيم مطروحًا منها 1، إذ إن العينة تمثل مجتمعًا أكبر منها، ويرمز للانحراف المعياري للعينة بالرمز Sx، ويكون القانون في هذه الحالة كالآتي:^[٤]

الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (القيمة - الوسط الحسابي للعينة) ^2 / (عدد قيم العينة - 1)] √

ح ع = [(1 - ن) / (2^ (و - س)) ∑] √

[(Sx = √ [∑ ((xi - x̅)^2) / (n - 1

بحيث يرمز:

Sx، ح ع: الانحراف المعياري للعينة.

xi، س: قيم العينة.

x̅، و: الوسط الحسابي للعينة.

n، ن: عدد قيم العينة

قانون المجتمع

يختلف قانون الانحراف المعياري للمجتمع (Population standard deviation) عن العينة بأن القسمة تتم على عدد قيم المجتمع كاملًا، إذ إن القيم تمثل المجتمع بأسره، ويرمز للانحراف المعياري للمجتمع بالرمز σ، ويكون القانون في هذه الحالة كالآتي:^[٤]

الانحراف المعياري للمجتمع = [مجموع (القيمة - الوسط الحسابي للمجتمع) ^2 / (عدد قيم المجتمع)] √

ح م = [ن / (2^ (و - س)) ∑] √

[σ = √ [∑ ((xi - μ)^2) / N

بحيث يرمز:

σ، ح م: الانحراف المعياري للمجتمع.

xi، س: قيم المجتمع الإحصائي.

μ، و: الوسط الحسابي للمجتمع.

N، ن: عدد قيم المجتمع.

يمثل قانون الانحراف المعياري الجذر التربيعي للتباين، ويعتمد على قيمة الوسط الحسابي للعينة أو المجتمع، ويعد الفرق بين قانوني الانحراف المعياري للعينة والمجتمع هو عدد القيم التي يتم القسمة عليها، إذ يتم طرح 1 من عدد القيم للعينة، بينما لا يتم فعل هذا في قانون الانحراف المعياري للمجتمع.

أمثلة على قانون الانحراف المعياري

كيف يتم إيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة؟

فيما يأتي أمثلة على كيفية إيجاد قيمة الانحراف المعياري لكل من العينة المجتمع:

المثال الأول على إيجاد الانحراف المعياري لعينة

ما هي قيمة الانحراف المعياري لعينة مكون من القيم:^[٥]

(1، 2، 2، 4، 6)

• إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم بجمعها، ومن ثم قسمتها على عددها:

الوسط الحسابي = (1 + 2 + 2 + 4 + 6) / 5

الوسط الحسابي = 15 / 5 = 3

• طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية:

(القيمة - الوسط الحسابي للعينة) ^2

(1 - 3) ^2 = (-2) ^2 = 4

(2 - 3) ^2 = (-1) ^2 = 1

(2 - 3) ^2 = (-1) ^2 = 1

(4 - 3) ^2 = (1) ^2 = 1

(6 - 3) ^2 = (3) ^2 = 9

• جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة:

4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16

• قسمة الناتج على عدد القيم مطروحًا منها 1:

16 / (5 - 1) = 16 / 4 = 4

• أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = 4√ = 2

المثال الثاني على إيجاد الانحراف المعياري لعينة

ما هي قيمة الانحراف المعياري لمعدل ضربات القلب لخمسة رجال وخمس نساء، إذا كانت قيم ضربات قلوبهم:^[٦]

71، 83، 63، 70، 75، 69، 62، 75، 66، 68

• إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم بجمعها، ومن ثم قسمتها على عددها:

الوسط الحسابي = (68 + 70 + 75 + 83 + 63 + 69 + 75 + 66 + 62 +71) / 10

الوسط الحسابي = 702 / 10 = 70.2

• طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية:

(القيمة - الوسط الحسابي للعينة) ^2

(68 - 70.2) ^2 = 4.84

(70 - 70.2) ^2 = 0.04

(75 - 70.2) ^2 = 23.04

(83 - 70.2) ^2 = 163.84

(63 - 70.2) ^2 = 51.84

(69 - 70.2) ^2 = 1.44

(75 - 70.2) ^2 = 23.04

(66 - 70.2) ^2 = 17.64

(62 - 70.2) ^2 = 67.24

(71 - 70.2) ^2 = 0.64

• جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة:

4.84 + 0.04 + 23.04 + 163.84 + 51.84 + 1.44 + 23.04 + 17.64 + 67.24 +0.64 = 353.6

• قسمة الناتج على عدد القيم مطروحًا منها 1:

353.6 / (10 - 1) = 39.289

• أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = 39.289√ = 6.268

المثال الأول على إيجاد الانحراف المعياري لمجتمع

ما هي قيمة الانحراف المعياري لمجتمع إحصائي مكون من الأعداد الحقيقية:^[٧]

6، 2، 3، 1

• إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم بجمعها، ومن ثم قسمتها على عددها:

الوسط الحسابي = (6 + 2 + 3 + 1) / 4

الوسط الحسابي = 12 / 4 = 3

• طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية:

(القيمة - الوسط الحسابي للمجتمع) ^2

(6 - 3) ^2 = (3) ^2 = 9

(2 - 3) ^2 = (-1) ^2 = 1

(3 - 3) ^2 = (0) ^2 = 0

(1 - 3) ^2 = (-2) ^2 = 4

• جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة:

9 + 1 + 0 + 4 = 14

• قسمة الناتج على عدد القيم كاملة:

14 / 4 = 3.5

• أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للمجتمع:

الانحراف المعياري للمجتمع= 3.5√ = 1.87

المثال الثاني على إيجاد الانحراف المعياري لمجتمع

ما هي قيمة الانحراف المعياري لمجتمع إحصائي مكون من القيم:^[٨]

4، 12، 7، 8، 9، 2، 5 ،11، 9، 3، 7، 4، 10، 9، 6، 9، 4، 4، 12، 5

• إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم بجمعها، ومن ثم قسمتها على عددها:

الوسط الحسابي = (4+12+7+8+9+2+5+11+9+3+7+4+10+9+6+9+4+4+12+5) / 20

الوسط الحسابي = 140 / 20 = 7

• طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية:

(القيمة - الوسط الحسابي للمجتمع) ^2

(4 - 7) ^2 = 9

(12 - 7) ^2 = 25

(7 - 7) ^2 = 0

(8 - 7) ^2 = 1

(9 - 7) ^2 = 4

(2 - 7) ^2 = 25

(5 - 7) ^2 = 4

(11 - 7) ^2 = 16

(9 - 7) ^2 = 4

(3 - 7) ^2 = 16

(7 - 7) ^2 = 0

(4 - 7) ^2 = 9

(10 - 7) ^2 = 9

(9 - 7) ^2 = 4

(6 - 7) ^2 = 1

(9 - 7) ^2 = 4

(4 - 7) ^2 = 9

(4 - 7) ^2 = 9

(12 - 7) ^2 = 25

(5 - 7) ^2 = 4

• جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة:

(9+25+0+1+4+25+4+16+4+16+0+9+9+4+1+4+9+9+25+4) = 178

• قسمة الناتج على عدد القيم كاملة:

178 / 20 = 8.9

• أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للمجتمع:

8.9√ = 2.983 

الانحراف المعياري للمجتمع يساوي العدد النسبي 2.983.

المراجع

1. ↑ "Standard deviation", britannica, Retrieved 17/3/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Standard Deviation and Variance", mathsisfun, Retrieved 17/3/2021. Edited.
3. ↑ "Standard deviation (and variance)", managers-net, Retrieved 17/3/2021. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} "Population and sample standard deviation", khanacademy, Retrieved 17/3/2021. Edited.
5. ↑ "How to Calculate a Sample Standard Deviation", thoughtco, Retrieved 17/3/2021. Edited.
6. ↑ "How to Find Sample Standard Deviation", sciencing, Retrieved 17/3/2021. Edited.
7. ↑ "Population and sample standard deviation", khanacademy, Retrieved 17/3/2021. Edited.
8. ↑ "How to Calculate Population Standard Deviation", thoughtco, Retrieved 17/3/2021. Edited.