قانون جاوس

قانون جاوس المغناطيسي

يَنص قانون جاوس المغناطيسي على أنّ: التدفق المغناطيسي الكلي عبر سطح مغلق يُساوي دائمًا صفر، أي أنّ الأقطاب لا يُمكن أن تَكون أحادية (قطب سالب فردي) بل زوجية (كل قطب موجب يقابله قطب سالب)، سُمي القانون بجاوس نسبةً إلى العالم جاوس، والصيغة الرياضية للقانون تعتمد على نظريات التفاضل والتكامل في الرياضيات.^[١]

الصيغة الرياضية لقانون جاوس المغناطيسي 

يُمكن التعبير عن قانون جاوس المغناطيسي بإحدى الصيغ الرياضية الآتية:^[١]

صيغة التكامل

يُعبر عن قانون جاوس المغناطيسي بصيغة التكامل رياضيًا على النحو الآتي:

تكامل التدفق المغناطيسي = 0

وبالرموز:

b.da = 0 ∫

حيث إنّ: b: التدفق المغناطيسي يُقاس بوحدة ويبر.

صيغة التفاضل

يُعبر عن قانون جاوس المغناطيسي بصيغة التفاضل رياضيًا على النحو الآتي:

متجه التدفق المغناطيسي = تكامل التدفق المغناطيسي عبر سطح مغلق

وبالرموز:

0 = b.da = ∫(∇⋅b).dv ∫

حيث إنّ: b: التدفق المغناطيسي يُقاس بوحدة ويبر.

قانون جاوس للمجال الكهربائي

يُوضّح قانون جاوس للمجال الكهربائي العلاقة التي تَربط توزيع الشحنات الكهربائية والمجال الكهربائي الناجم عنها، ذلك أن التدفق الكهربائي عبر سطح مغلق يتناسب مع مجموع الشحنة الكهربائية التي تحيط بالجسم نفسه، بحيث يتولد مجالًا كهربائيًا موجبًا عن الشحنة الكهربائية الموجبة.^[٢]

الصيغة الرياضية لقانون جاوس الكهربائي

يُمكن التعبير عن قانون جاوس الكهربائي بإحدى الصيغ الرياضية الآتية:^[٢]

صيغة التكامل

يُعبر عن قانون جاوس الكهربائي بصيغة التكامل رياضيًا على النحو الآتي:

المجال الكهربائي = الشحنة الكهربائية المرفقة / السماحية الكهربائية للمساحة الخالية

وبالرموز:

e dv = ∫ e⋅ñ da = Q / ε0.∇ ∫

حيث إنّ:^[٢]

• e: المجال الكهربائي يُقاس بوحدة فولت/م.
• Q: الشحنة الكهربائية تُقاس بوحدة كولوم.
• ε0: السماحية الكهربائية المعيارية تُقاس بوحدة كولوم^2/ نيوتن.
• ñ: متجه الوحدة الطبيعي يُقاس بوحدة م.^[٣]

صيغة التفاضل

يُعبر عن قانون جاوس الكهربائي بصيغة التفاضل رياضيًا على النحو الآتي:

المجال الكهربائي = كثافة الشحنة الكهربائية / سماحية الوسط العازل

وبالرموز:

e = ρ / ε.∇

حيث إنّ:^[٢]

• e: المجال الكهربائي يُقاس بوحدة فولت/م.
• ρ: كثافة الشحنة الكهربائية تُقاس بوحدة كولوم/م³.
• ε: سماحية العزل تُقاس بوحدة فاراد/م.

تطبيقات على قانون جاوس الكهربائي 

كثيرةٌ هي التطبيقات العملية على قانون جاوس الكهربائي، وفيما يأتي أبرزها:^[٤]

• حساب مقدار الكهرباء السكونية.
• حساب التوازن الظاهر في المجال الإلكتروستاتيكي.
• صناعة نظام الموصلات الكهربائية.
• تكوين مجال الشحن الخطي وحل مشاكل المجال الكهروستاتيكي الناتجة من الشحن.
• حساب مقدار المجال الكهربائي عندما يكون قريبًا من صفيحة شحن مستوية.^[٥]
• حساب مقدار المجال الكهربائي بين لوحين متوازيين.^[٥]
• حساب مقدار المجال الكهربائي في خط شحن غير محدود على مسافة محددة.^[٥]

​

مسائل حسابية على قانون جاوس الكهربائي

حساب مقدار المجال الكهربائي

المثال (1):

شحنة نقطية تُساوي -4 ميكروكولوم، تقع في منتصف جسم مكعب الشكل طول ضلعه 5 سم، إذا علمت أن سماحية العزل (ε) تُساوي 8.85 × 10^-12 فاراد/م، جد مقدار المجال الكهربائي؟

الحل:

• كتابة المعطيات:

مقدار الشحنة = -4 × 10^-6 كولوم. طول ضلع المكعب = 5 سم. سماحية العزل = 8.85 × 10^-12 فاراد/م.

• كتابة قانون جاوس الكهربائي:

e = ρ / ε

• تعويض المعطيات:

المجال الكهربائي = -4 × 10^-6 / 8.85 × 10^-12

• إيجاد مقدار المجال الكهربائي:

المجال الكهربائي = -452 × 10^3 كولوم.م/فاراد

المثال(2):

إذا كانت هناك ثلاث شُحنات كهربائية محاطة بسطح ما، بحيث كانت تُساوي الأولى 6 × 10^-6 كولوم، والثانية 3 × 10^-6 كولوم، والثالثة 4 × 10^-6 كولوم، إذا علمت أن سماحية العزل (ε) تُساوي 8.85 × 10^-12 فاراد/م، جد المجال الكهربائي الناتج عن الثلاث شحنات الكهربائية.

الحل:

• كتابة المعطيات:

مقدار الشحنة الأولى (ش1) = 6 × 10^-6 كولوم. مقدار الشحنة الثانية (ش2) = 3 × 10^-6 كولوم. مقدار الشحنة الثالثة (ش3) = 4 × 10^-6 كولوم. سماحية العزل = 8.85 × 10^-12 فاراد/م.

• كتابة قانون جاوس الكهربائي:

e = ρ / ε

• تعويض المعطيات:

المجال الكهربائي = (ش1 + ش2 + ش3) / ε المجال الكهربائي = (6 × 10^-6 + 3 × 10^-6 + 4 × 10^-6) / 8.85 × 10^-12

• إيجاد مقدار المجال الكهربائي:

المجال الكهربائي = 1.47 × 10^6 كولوم.م/فاراد

المثال (3):

إذا كان مقدار الشحنة الكهربائية الإجمالي لسطح كرة يُساوي 6 × 10^−7 كولوم، وكان مقدار المجال الكهربائي على الجزء الدائري الأول منها يُساوي 8 × 10^4 كولوم.م/فاراد، جد مقدار المجال الكهربائي على الجزء المُسطح من قاعدة الكرة المشحونة، إذا علمت أن سماحية العزل (ε) تُساوي 8.85 × 10^-12 فاراد/م.

الحل:

• كتابة المعطيات:

مقدار الشحنة = 6 × 10^-7 كولوم. المجال الكهربائي على الجزء الدائري = 8 × 10^4 كولوم.م/فاراد. سماحية العزل = 8.85 × 10^-12 فاراد/م.

• كتابة قانون جاوس الكهربائي:

e = ρ / ε

• تعويض المعطيات:

المجال الكهربائي على الجزء المسطح + المجال الكهربائي على الجزء الدائري = ش / ε المجال الكهربائي على الجزء المسطح + 8 × 10^4 = 6 × 10^-7 / 8.85 × 10^-12 المجال الكهربائي على الجزء المسطح = (6 × 10^-7 / 8.85 × 10^-12) - 8 × 10^4

• إيجاد مقدار المجال الكهربائي:

المجال الكهربائي على الجزء المسطح = -1.22 كولوم.م/فاراد

حساب مقدار الشحنة المسببة للتدفق الكهربائي

المثال (1):

إذا علمت أن الشحنة الكهربائية الإجمالية لسطح كرة غير معروف، وكان المجال الكهربائي على الجزء الدائري منها -5.04 × 10^4 كولوم.م/فاراد، جد مقدار الشحنة الكهربائية المسببة للتدفق الكهربائي على قاعدة الكرة المشحونة، علمًا بأن سماحية العزل تُساوي 8.854 × 10^-12 فاراد/م.

الحل:

• كتابة المعطيات:

المجال الكهربائي = -5.04 × 10^4 كولوم.م/فاراد. سماحية العزل = 8.854 × 10^-12 فاراد/م.

• كتابة قانون جاوس الكهربائي:

e = ρ / ε

• تعويض المعطيات:

-5.04 × 10^4 = الشحنة الكهربائية / 8.854 × 10^-12

• إيجاد مقدار الشحنة الكهربائية:

الشحنة الكهربائية = -44.63 × 10^-8 كولوم

المثال(2):

إذا كانت شحنة كهربائية تقع على سطح دائري، وكان المجال الكهربائي المؤثر عليها يُساوي -1.13 × 10^6 كولوم.م/فاراد، جد مقدار التدفق الكهربائي الناتج عن الشحنة الكهربائية، علمًا بأن سماحية العزل تُساوي 8.854 × 10^-12 فاراد/م.

الحل:

• كتابة المعطيات:

المجال الكهربائي = -1.13 × 10^6 كولوم.م/فاراد. سماحية العزل = 8.854 × 10^-12 فاراد/م.

• كتابة قانون جاوس الكهربائي:

e = ρ / ε

• تعويض المعطيات:

-1.13 × 10^6 = الشحنة الكهربائية / 8.854 × 10^-12

• إيجاد مقدار الشحنة الكهربائية:

الشحنة الكهربائية = -10 × 10^-6 كولوم = -10 ميكروكولوم

يدرس قانون جاوس نوعين من أنواع المجال، أولهما المجال المغناطيسي وثانيهما المجال الكهربائي، وتكمن أهميته في المجال المغناطيسي أنه جاء دليلًا قاطعًا على أنّ الأقطاب لا يُمكن أن تَكون أحادية، بينما تكمن أهميته في المجال الكهربائي أنه إثبات على أن التدفق الكهربائي عبر سطح مغلق يتناسب مع مجموع الشحنة الكهربائية التي تحيط بالجسم نفسه.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Gauss’s Law for Magnetic Fields", em, Retrieved 29/9/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث} "Gauss’s Law for Electric Fields", em, Retrieved 29/9/2021. Edited.
3. ↑ "Normal Vector", mathworld wolfram, Retrieved 29/11/2021. Edited.
4. ↑ "Application of Gauss’ Law", feynmanlectures.caltech, Retrieved 4/10/2021. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "Gauss Law - Applications, Gauss Theorem Formula", BYJU'S, Retrieved 4/10/2021. Edited.