قانون متوازي الأضلاع

قانون حساب طول أقطار متوازي الأضلاع

يمكن تعريف قطري متوازي الأضلاع بأنّهما الخطان المستقيمان الواصلان بين كل زاويتين متقابلتين فيه، أما عن طولهما فيمكن قياسه باستخدام القانون الآتي:^[١]

طول القطر (ق،ل) = الجذر التربيعي (أ²+ب²-2×أ×ب×جتا(أَ)).

أما القانون الذي يربط بين طول أضلاع متوازي الأضلاع، وبين طول أقطاره فهو كالآتي:^[٢]

ق²+ل²=2×(أ²+ب²)

إذ إن:

• ق: طول القطر الأول.
• ل: طول القطر الثاني.
• أ: طول الضلع الأول لمتوازي الأضلاع.
• ب: طول الضلع الثاني لمتوازي الأضلاع.
• أَ: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ، ب، والمقابلة للقطر المطلوب حساب طوله.

قانون حساب مساحة متوازي الأضلاع

يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع بعدة طرق ندرجها فيما يأتي:^[٣]

• الطريقة الأولى

تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول القاعدة والارتفاع، والقانون كالآتي:^[٤]

المساحة = طول القاعدة × الارتفاع

ويجدر بالذكر أن ارتفاع متوازي الأضلاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة، وهو يمثل طول الخط المستقيم الواصل بين القاعدة والضلع المقابل لها، ويمكن حساب الارتفاع عن طريق اتباع القانون الآتي:^[٥]

الارتفاع= طول الضلع الجانبيّ × جا (الزاوية المجاورة له أو المكمّلة لها).

• الطريقة الثانية

تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم ضلعا متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون كالآتي:

المساحة = الضلع الأول × الضلع الثاني × جا (أي زاوية من زوايا متوازي الأضلاع)

حيث تكون كل زاويتين متجاورتين متكاملتين في متوازي الأضلاع؛ أي مجموعهما 180°، وجا (الزاوية) = جا (180-الزاوية)؛ أي جيب الزاوية المكمّلة لها.

• الطريقة الثالثة

تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول قطري متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون كالآتي:

المساحة = 1/2 × (القطر الأول×القطر الثاني×جا (الزاوية المحصورة بين القطرين))

قانون حساب محيط متوازي الأضلاع

يعبر محيط الشكل الهندسي بشكل عام عن المسافة المحيطة به من الخارج، ويساوي محيط متوازي الأضلاع كغيره من الأشكال الهندسية مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، لذلك يمكن التعبير عنه باستخدام القانون الآتي:

محيط متوازي الأضلاع (أب ج د) =أ+ب+ج+د.

أو محيط متوازي الأضلاع (أب ج د) = 2× (طول القاعدة أو الضلع العلوي+طول أحد الجانبين).

إذ إن:

• أ، ب، ج، د هي أطوال أضلاع متوازي الأضلاع.

ومن القوانين الأخرى التي يمكن استخدامها لحساب محيط متوازي الأضلاع:^[٣]

المحيط= 2 × أ +(أ2×4-2ل×2+2ق×2)√

إذ إن:

• أ: طول أحد الأضلاع.
• ق، ل: طول قطري متوازي الأضلاع.

المحيط=2×(أ+ع/جا(أَ)

إذ إن:

• أ: طول أحد الأضلاع.
• ع: ارتفاع متوازي الأضلاع.
• أَ: أية زاوية من زوايا متوازي الأضلاع.

أمثلة على تطبيق قوانين متوازي الأضلاع

فيما يأتي مجموعة من الأمثلة على تطبيق قوانين متوازي الأضلاع:

المثال الأول: متوازي أضلاع مساحته 24 سنتميترًا مربعًا، وطول قاعدته 4 سم، أوجد ارتفاعه.

الحل:

• بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع
• المساحة= القاعدة×الارتفاع
• =24=4×الارتفاع
• الارتفاع= 6 سم.

المثال الثاني: إذا كان طول الضلع الأول من متوازي الأضلاع 35 سم، وطول الضلع الثاني 82 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 37 درجة، أوجد طول القطر المقابل لهذه الزاوية.

الحل:

• بتطبيق قانون طول القطر
• ينتج أن: طول القطر=الجذر التربيعيّ (أ2+ب2-2×أ×ب×جتا(أَ))
• =الجذر التربيعي (822+352-2×82×35×جتا(37))
• =58 سم

المثال الثالث: إذا كان طول الضلع الأول من متوازي الأضلاع 12 سم، وطول الضلع الثاني 40 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 45 درجة، أوجد طول القطر المقابل لهذه الزاوية.

الحل:

• بتطبيق قانون طول القطر
• ينتج أن: طول القطر = الجذر التربيعي (أ2+ب2-2×أ×ب×جتا(أَ))
• = الجذر التربيعي (402+122-2×40×12×جتا(45))
• = 32.6 سم

المثال الرابع: متوازي أضلاع طول قاعدته 10 وارتفاعه 8، ما مساحته؟

الحل:

• بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع
• فإن المساحة = 8 × 10 = 80 وحدة مربعة

المثال الخامس: في متوازي الأضلاع (أ ب ج د)، يبلغ قياس الزاوية أ = 2س+12، والزاوية ج المجاورة لها = 5س، أوجد قياس الزاويتين (أ، ج) بالدرجات.

الحل:

• وفقًا لخواص متوازي الأضلاع، فإن كل زاويتين متجاورتين متكاملتان، أي مجموعها 180 درجة
• ومنه، مجموع قياس الزاوية أ + قياس الزاوية ج =180
• =2س+12+5س
• ومنه، س=24
• وعليه، قياس الزاوية أ=2س+12=2×24+12= 60 درجة
• وقياس الزاوية د=5×24= 120 درجة

المثال السادس: يبلغ محيط متوازي الأضلاع 56 سم، ونسبة طول كل ضلعين متجاورين فيه إلى بعضهما هي 4:3، أوجد طول كل ضلع من أضلاعه.

الحل:

• لحل هذا السؤال نفترض أن طول أضلاعه هي: 4س، 3س
• وبعد تطبيق قانون محيط متوازي الاضلاع=2× (أ+ب)
• = 2× (4س+3س)=56
• ومنه 56=14س
• س=4
• وعليه طول أحد الضلعين المتقابلين=4س=4×4=16سم
• أما طول الضلعين الآخرين المتقابلين=3س=3×4=12سم

المثال السابع: متوازي أضلاع طول ضلعيه: 10سم، 6 سم، ما محيطه؟

الحل:

• بما أن كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متساويين
• فإن طول الضلعين الآخرين هو: 10سم و6 سم
• وبالتالي فإن محيط متوازي الأضلاع= 10+6+10+6= 32 سم

المثال الثامن: يتقاطع القطران (أد)،و (ج ب) لمتوازي الأضلاع (أ ب ج د) الذي يشكّل الضلع ج د قاعدته في النقطة ي، ويبلغ طول أي= 41سم، ي د= 4س2+5، أوجد قيمة س.

الحل:

• وفقًا لخواص متوازي الأضلاع، فإنّ قطراه ينصّف كلّ منهما الآخر
• وعليه أي=ي د
• = 41=4س2+5
• ومنه س=3

المثال التاسع: إذا كان هناك متوازي الأضلاع أب ج د قاعدته (ب ج)، وكانت النقطة (و) نقطة تقاطع قطريه (أج)، (ب د)، وكان طول (ب و)=4سم، وطول (أج) يزيد بمقدار 5 عن طول القطر (ب د)، أوجد طول (وج).

الحل:

• وفقًا لخواص متوازي الأضلاع، فإنّ قطراه ينصّف كلّ منهما الآخر
• وعليه (ب و)=(ود)=4سم
• طول (ب د)=(ب و)+(ود)=8سم
• ولأن طول القطر (أج) يزيد بمقدار 5 سم عن طول القطر (ب د)
• فإن طول (أج)=(ب د)+5=8+5=13 سم
• ولأن طول (وج) يعادل نصف طول (أج) وفقًا لخواص متوازي الأضلاع
• فإن أج=2×(وج)=2×(وج)=13، ومنه وج=6.5 سم

المثال العاشر: في متوازي الأضلاع (أ ب ج د)، يبلغ طول الضلع (أب) = 6س-10، وطول الضلع الموازي له (ج د)= 3س+5، أما الضلع (أ ج) فيبلغ طوله 4 س-5، أوجد طول هذا الضلع بالأرقام.

الحل:

• وفقًا لخواص متوازي الأضلاع، فإن كل ضلعين متوازيين فيه متساويين
• وعليه، فإن أب= ج د
• = 6س-10= 3س+5
• ومنه س= 5
• ومنه أ ج=4س-5=4×5-5=15

المثال الحادي عشر: متوازي أضلاع طول قاعدته 3 وارتفاعه 6، ما مساحته؟

الحل:

• بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع
• فإن المساحة =6 × 3 = 18 وحدة مربعة

المثال الثاني عشر: متوازي الأضلاع (أ ب ج د) يشكل الضلع (أد) قاعدته، أما ضلعه العلوي فهو (ب ج)، ويبلغ طول الضلع أب=15سم، وارتفاعه=12سم، أوجد قياس الزاوية د، مع العلم بأنّها زاوية حادة.

الحل:

• يتطلب حل السؤال إسقاط عمود من النقطة ج نحو القاعدة لتشكيل المثلث (ج ن د) قائم الزاوية في ن، ووتره هو (ج د)
• وبناء على ذلك يمكن الاستعانة بقانون جيب الزاوية لإيجاد قياس الزاوية د
• حيث جا (د)=المقابل (الارتفاع)/الوتر
• =12/15=0.8
• ومنه د=53.1 درجة

المراجع

1. ↑ "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
2. ↑ "Example Question #1 : How To Find The Length Of The Diagonal Of A Parallelogram", www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Parallelogram. Formulas and Properties of a Parallelogram", onlinemschool.com, Retrieved 16-2-2020. Edited.
4. ↑ "Area of parallelograms", www.khanacademy.org, Retrieved 8-2-2019. Edited.
5. ↑ "Parallelogram", mathworld.wolfram.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.