قانون محيط المثلث متساوي الساقين

حساب محيط المثلث متساوي الساقين

يمكن تعريف المثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) بأنّه المثلث الذي يتساوى فيه طول ضلعين، وزاويتين، ويُمكن إيجاد محيط المثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles Perimeter) وهو المسافة المحيطة به من الخارج إذا عُلم طول أحد ضلعيه وطول قاعدته باستخدام الصيغة الآتية:^[١][٢]

• محيط المثلث متساوي الساقين= 2×طول الساق+طول القاعدة، وبالرموز: ح=2×أ+ب، حيث إنّ:
  • أ: طول أحد الضلعين المتساويين، أو طول الساق.
  • ب: طول قاعدة المثلث متساوي الساقين.

حساب محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

يُمكن حساب محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين بجمع جميع أطوال أضلاعه، وبما أنّه مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين، فإنّ من خصائص المثلث قائم الزاوية أنّ أحد أضلاعه هو الوتر وضلعيه الآخران متساويان، وبالتالي يُمكن حساب محيطه بالقانون الآتي:^[٣]

محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين= طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + الوتر

أو

محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين= 2 × طول الضلع + الوتر

ويُمكن حساب أحد أطوال أضلاعه في حال كان مجهولًا باستخدام نظرية فيثاغورس:^[٣]

• نظرية فيثاغورس؛ الوتر² = طول الضلع الأول² + طول الضلع الثاني²
• وبما أنّه متساوي الساقين وطول ضلعيه متساويين يُصبح القانون كالآتي: الوتر² = 2 × طول الضلع²
• ومنه؛ الوتر = 2√ × طول الضلع.
• يُعوض في قانون المحيط لإيجاد قيمته؛ محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين= 2 × طول الضلع + الوتر

أمثلة على حساب محيط المثلث متساوي الساقين

أمثلة على حساب محيط المثلث متساوي الساقين وغير قائم الزاوية

• المثال الأول: ما هو محيط المثلث متساوي الساقين الذي يكون طول أحد ضلعيه المتساويين 9سم، وطول قاعدته 6سم.^[١]
• الحل: بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث =2×أ+ب= 2×9+6= 24سم.

• المثال الثاني: مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 6م، وطول قاعدة المثلث 4م، ما هو محيط المثلث.^[٤]
• الحل: بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب= 2×6+4= 16م.

• المثال الثالث: مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 8سم، ومحيطه يساوي 22سم، ما هو طول قاعدته.^[٤]
• الحل: بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب، ومنه 22=2×8+ب، ومنه طول القاعدة=6سم.

• المثال الرابع: مثلث متساوي الساقين فيه طول القاعدة 6سم، والارتفاع 4سم، ما هو محيطه.^[٥]
• الحل:حساب طول الساقين بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين القائمين اللذين يشكل الارتفاع طول أحد ضلعيهما، ونصف القاعدة طول الضلع الآخر، وساق المثلث متساوي الساقين الوتر، لينتج أن: الوتر²=الضلع الأول²+الضلع الثاني²، ومنه (الوتر أو طول الساق)²=3²+4²، ومنه طول الساق=5سم.
• الحل: بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب، ومنه محيط المثلث=2×5+6=16سم.

• المثال الخامس: إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 8سم، ومساحته 12سم²، جد محيطه.^[٦]
• الحل:
• باستخدام قانون مساحة المثلث=0.5×القاعدة×الارتفاع، ومنه 12=0.5×8×الارتفاع، ومنه الارتفاع=3سم.
• حساب طول الساقين بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين القائمين اللذين يشكل الارتفاع طول أحد ضلعيهما، ونصف القاعدة طول الضلع الآخر، وساق المثلث متساوي الساقين الوتر، لينتج أن: الوتر²=الضلع الأول²+الضلع الثاني²، ومنه (الوتر أو طول الساق)²=3²+4²، ومنه طول الساق=5سم.
• بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب، ومنه محيط المثلث=2×5+8=18سم.

• المثال السادس: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 30سم، وطول كل ساق من ساقيه يزيد بمقدار 3سم عن طول قاعدته، جد طول أضلاعه.^[٧]الحل: نفترض أولاً أن طول الساق هو (س)، وأن طول القاعدة هو (س-3)، وبتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب، 30=2×س+ (س-3)، وبترتيب القيم ينتج أن: 30=3س-3، ومنه س=11سم، وهو طول كل ساق من ساقي المثلث.

• المثال السابع: إذا كان ارتفاع مثلث متساوي الساقين 6سم، وقياس زاوية الرأس 40 درجة، جد محيطه.^[٨]
• الحل:
• حساب طول القاعدة من خلال الاستعانة بظل نصف زاوية الرأس؛ حيث إن ارتفاع المثلث متساوي السّاقين ينصّف زاوية الرأس، وينصف القاعدة، لينتج أن: ظا(20)=(القاعدة/2)/الارتفاع، 0.364=(القاعدة/2)/6، ومنه القاعدة=4.36سم.
• باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أن: طول الساق²=الارتفاع²+نصف القاعدة²=6²+2.18²، ومنه طول الساق=6.38سم.
• بتطبيق قانون محيط المثلث متساوي الساقين فإنّ: محيط المثلث=2×أ+ب، ومنه محيط المثلث=2×6.38+4.36=17.12سم.

أمثلة على حساب محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

• المثال الأول: جد محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين، إذا علمتَ أنّ طول الوتر 12 سم، وطول ضلعه 6 سم.
  • الحل:
  • تُكتب المعطيات:
  • • طول الوتر = 12 سم.
    • طول الضلع = 6 سم.

• تُعوض المعطيات في قانون المحيط:
  • محيط المثلث = 2 × طول الضلع + الوتر
  • محيط المثلث = 2 × 6 + 12
  • محيط المثلث = 24 سم.

• المثال الثاني: جد محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين، إذا علمتَ أنّ طول وتر المثلث 20 سم.
  • الحل:
  • تُكتب المعيطات: طول الوتر = 20 سم.
  • تُعوض المعطيات في قانون فيثاغورس لإيجاد طول ضلع المثلث: الوتر² = 2 × طول الضلع²
  • • 20 = 2√ × طول الضلع.
    • طول الضلع = 14.2 سم.

• تُعوض المعطيات في قانون المحيط: محيط المثلث = 2 × طول الضلع + الوتر
  • محيط المثلث = 2 × 14.2 + 20
  • محيط المثلث = 48.4 سم.

• المثال الثالث: إذا علمتَ أنّ محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين يساوي 66 سم، وطول وتره 30 سم جد طول ضلعه.
  • الحل:
  • تُكتب المعيطات:
  • • محيط المثلث = 66 سم.
    • طول الوتر = 30 سم.

• تُعوض المعطيات في قانون المحيط لإيجاد طول الضلع: محيط المثلث = 2 × طول الضلع + الوتر
  • 66 = 2 × طول الضلع + 30
  • طول الضلع = 18 سم

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Isosceles Triangle Perimeter Formula", byjus.com, Retrieved 13-5-2019. Edited.
2. ↑ "How To Find The Perimeter of a Triangle", tutors.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Perimeter of Isosceles Triangle", CUEMATH, Retrieved 28/9/2021. Edited.
4. ^ ^{أ ب} Julie Richards (25-4-2017), "How to Solve Equations on Isosceles Triangles"، sciencing.com, Retrieved 13-5-2019. Edited.
5. ↑ "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
6. ↑ "area of isosceles triangle formula", www.vedantu.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
7. ↑ "The perimeter of an isosceles triangle", www.toppr.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.
8. ↑ "ISOSCELES TRIANGLE", www.mathematicalway.com, Retrieved 23-3-2020. Edited.