قانون مساحة ومحيط المستطيل

قوانين مساحة المستطيل

يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام قوانين عدة وفق حالات محددة، وذلك كما يأتي:^[١][٢]

قانون مساحة المستطيل عند معرفة الطول والعرض

يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون البسيط الآتي:

مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز:

م=أ×ب

حيث:

• م: مساحة المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.

قانون مساحة المستطيل عند معرفة القطر وأحد الأبعاد

يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:^[٣]

مساحة المستطيل= الطول أو العرض×الجذر التربيعي لـ (مربّع القطر- مربع الطول أو مربع العرض)، وبالرموز:

م=أ×(ق²-أ²)√، أو م=ب×(ق²-ب²)√

حيث:

• م: مساحة المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.
• ق: قطر المستطيل.

قانون مساحة المستطيل عند معرفة أحد أبعاده، ومُحيطه

يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:

مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول- 2× مربع الطول)/2 ، أو مساحة المستطيل = (المحيط×العرض-2×مربع العرض)/2 .

وبالرموز:

م=(ح×أ-2×أ²)/2=(ح×ب-2×ب²)/2

حيث:

• ح: محيط المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.

قانون مساحة المستطيل عند معرفة الزاوية الأصغر بين القطرين، وطول القطر

يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:

مساحة المستطيل= (مربع طول القطر×جا(الزاوية الأصغر المحصورة بين القطرين)/2)، وبالرموز:

م=(ق²×جا(α))÷2؛ حيث:

• ق: طول القطر.
• α: الزاوية الأصغر المحصورة بين القطرين.

أمثلة على حساب مساحة المستطيل

المثال الأول

احسب مساحة مستطيل طوله 7 سم، وعرضه 4 سم.

الحل: م = الطول×العرض = 7×4 = 28 سم².

المثال الثاني

إذا كانت مساحة إطار صورة على شكل مستطيل تُساوي 56سم²، وطوله يُساوي 7سم، فما عرضه.

الحل:

م = الطول×العرض = 7×العرض = 56 سم²، ومن المعادلة العرض = 8 سم. 

المثال الثالث

إذا كانت قياسات الغرف الصفية لإحدى المدارس كما يأتي:جد الغرفة الصفية الأصغر من بينهم.

الحل:

• مساحة الغرفة الصفية الأولى = الطول×العرض = 7×10 = 70م².
• مساحة الغرفة الصفية الثانية = الطول×العرض = 9×6 = 54م².
• مساحة الغرفة الصفية الثالثة = الطول×العرض = 8×8 = 64م².
• بمقارنة المساحات الثلاث أعلاه ينتج أن الغرفة الصفية الثانية هي أصغر الغرف الصفية.

المثال الرابع

إذا كانت هناك أرضية مستطيلة الشكل طولها 50 م، وعرضها 40 م، أراد أحمد تغطيتها ببلاط مستطيل الشكل طول كل بلاطة منها 2 م، وعرضها 1 م، جد عدد البلاط اللازم لتغطية كامل الأرض.^[٤]

الحل:

• مساحة الأرضية = الطول×العرض = 50×40 = 2000 م².
• مساحة البلاطة الواحدة = الطول × العرض = 2×1 = 2 م².
• عدد البلاط اللازم لتغطية الأرض = مساحة الأرضية / مساحة البلاطة الواحدة = 2000/2 = 1000 بلاطة.

المثال الخامس

إذا كان طول المستطيل (2س+1)، وعرضه (2س-1)، ومساحته 15 سم²، جد قياس أبعاده.^[٥]

الحل:

• المساحة = الطول×العرض = (2س+1) × (2س-1) = 15
• 4س² - 1 = 15، ومنها: س = 2 سم
• تعويض قيمة س لحساب الطول، حيث طول المستطيل: 2س+1 = 2×2+1 = 5 سم
• تعويض قيمة س لحساب العرض: حيث عرض المستطيل: 2س-1 = 2×2-1 = 3 سم

المثال السادس

احسب مساحة مستطيل، إذا علمت أن طول القُطر فيه 10 أمتار، وعرضه 5 أمتار

الحل:

• باستخدام قانون مساحة المستطيل عند معرفة القطر وأحد الأبعاد
• م = ب × (ق² - ب²)√
• م = 5 × (²10 - ²5)√
• م = 5 × (100 - 25)√
• مساحة المستطيل = 43.30 م^2.

المثال السابع

احسب مساحة مستطيل محيطَه 50 متراً وطوله 10 أمتار.

الحل:

• باستخدام قانون مساحة المستطيل عند معرفة أحد أبعاده، ومُحيطه
• مساحة المستطيل = (المحيط × الطول - 2× الطول^2)/2
• م = (50 × 10 - 2 × ²10) / 2
• م = (500 - 200) / 2
• م = 150 م^2.

المثال الثامن

احسب مساحة المستطيل إذا علمت أن طول القطر فيه 64 متراً، وقياس الزاوية المحصورة بين قطريه هي 60 درجة.

الحل:

• باستخدام قانون مساحة المستطيل عند معرفة الزاوية المحصورة بين القطرين، وطول القطر
• م = (ق² × جا(α)) / 2
• م = (²64 × جا(60)) / 2
• م = (4096 × جا(60)) / 2
• م = 1773.62 م^2.

قوانين محيط المستطيل

قانون محيط المستطيل عند معرفة الطول والعرض

يُمكن حساب محيط أي شكل هندسي ثنائي الأبعاد من خلال جمع جميع أطوال أضلاعه، وبالتالي فإنَّه يُمكن حساب محيط المستطيل كغيره عن طريق حساب مجموع أطوال أضلاعه، ويمكن التعبير عن محيط المستطيلعند معرفة الطول والعرض رياضياً بالمعادلة الآتية:^[٦]

محيط المستطيل =2×(الطول+العرض)؛ وبالرموز:

ح=2×(أ+ب)؛ حيث:

• ح: محيط المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.

كما يمكن حسابه باستخدام أحد القوانين الآتية:^[١][٢]

قانون محيط المستطيل عند معرفة أحد أبعاده، ومساحته

يمكن حساب محيط المستطيل باستخدام القانون الآتي:

من العلاقة الموجودة أعلاه، وهي التي تربط بين مساحة المستطيل ومحيطه، مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول- 2× مربع الطول)/2، أو مساحة المستطيل = (المحيط×العرض-2×مربع العرض)/2، يمكن إعادة ترتيبها لتصبح (محيط المستطيل = 2×مساحة المستطيل+ 2× مربع الطول)/الطول) ، أو مساحة المستطيل = (2×مساحة المستطيل+2×مربع العرض)/العرض ، وبالرموز:

ح=(2×م+ 2×أ²)/أ، أو ح=(2×م+ 2×ب²)/ب؛ حيث:

• ح: محيط المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.
• م: مساحة المستطيل

قانون محيط المستطيل عند معرفة طول القطر وأحد أبعاده

محيط المستطيل= 2×(الطول أو العرض+ (مربع القطر-مربع الطول أو مربع العرض)√)، وبالرموز: ح= 2×(أ+(ق²-أ²)√)، أو ح= 2×(ب+(ق²-ب²)√)؛ حيث:

• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.
• ق: طول قطر المستطيل.
• ح: محيط المستطيل.

قانون محيط المستطيل عند معرفة الزاوية بين القطرين وطول القطر

يمكن حساب محيط المستطيل عند معرفة الزاوية الأكبر بين القطرين وطول القطر باستخدام القانون الآتي:^[٧]

محيط المستطيل = قطر المستطيل × (2 × جا(نصف الزاوية) + 2 × جتا(نصف الزاوية)

وبالرموز:

ح = ق × (2 × جا(2/α) + 2 × جتا(2/α))

حيث إنّ:

• ح: محيط المستطيل
• ق: قطر المستطيل
• جا(2/α): جيب نصف الزاوية بين قطري المستطيل
• جتا(2/α): جيب تمام نصف الزاوية بين قطري المستطيل

أمثلة على حساب محيط المستطيل

المثال الأول

ما محيط المستطيل الذي طوله 7 سم، وعرضه 4 سم.^[٨]

الحل:

• محيط المستطيل = 2 × (الطول+العرض)
• م = 2 × (7+4) = 22 سم

المثال الثاني

مستطيل طوله 12سم، وعرضه 7سم، فما هو محيطه.^[٩]

الحل:

• محيط المستطيل = 2×(الطول+العرض)
• م = 2×(12+7) = 38 سم.

المثال الثالث

مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار 2سم، وقيمة عرضه 4√سم، جد محيطه.^[٩]

الحل:

• محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)
• م = 2× ((2+4√) + 4√)
• م= 2×((2+2) + 2)
• م = 12 سم

المثال الرابع

إذا أراد أسامة تسييج حديقته مستطيلة الشكل، والتي يبلغ عرضها 2 م، وطولها 4 م، وكانت تكلفة السياج تعادل 1.75 ديناراً لكل متر طولي، جد تكلفة تسييج الحديقة.^[٩]

الحل:

• محيط المستطيل = 2×(الطول+العرض)
• م = 2 × (4+2)
• م = 12 متراً
• تكلفة تسييج الحديقة = تكلفة تسييج المتر الواحد × محيط الحديقة= 1.75×12 = 350 دينارًا.

المثال الخامس

مستطيل مساحته 35م²، وطوله 5م، فما هو محيطه.^[٩]

الحل:

• ح = (2×م + 2×أ²) / أ
• ح = (2×35 + 2×5²) /5
• ح = 24 سم

المثال السادس

مستطيل مساحته 20م²، وطوله 4م، فما هو محيطه.^[٩]

^[١٠]الحل:

• ح = (2×م + 2×أ²) / أ
• ح = (2×20 + 2×4²) / 4
• ح = 18 سم

المثال السابع

مستطيل مساحته 27 م²، وطوله 3س، وعرضه س، فما هو محيطه.^[١٠]

الحل:

• مساحة المستطيل = الطول×العرض
• 27 = 3س×س، ومن المعادلة: س=3، وهو العرض لأن العرض = س.
• تعويض قيمة س لحساب الطول لينتج أن: 3س = 3×3 = 9 م.
• تعويض قيمتي الطول والعرض في قانون: محيط المستطيل = 2×(الطول + العرض)، لينتج أن: محيط المستطيل = 2×(9+3) = 24 م.

المثال الثامن

احسب محيط المستطيل إذا علمتَ أن طول قطره 6 أمتار، وطوله 4 أمتار.

الحل:

• باستخدام قانون محيط المستطيل عند معرفة طول القطر وأحد أبعاده
• ح = 2×(أ+(ق²-أ²)√)
• ح = 2 × (4 + (²6 - ²4)√)
• ح = 2 × (4 + (36 - 24)√)
• ح = 14.93 م تقريبًا.

المثال التاسع

مستطيل طول قطره 12 متراً، وقياس الزاوية بين قطريه 120 درجة، فما محيطه؟

الحل:

• باستخدام قانون محيط المستطيل عند معرفة الزاوية بين القطرين وطول القطر
• ح = ق × (2 × جا(2/α) + 2 × جتا(2/α))
• ح = 120 × (2 × جا(2/120) + 2 × جتا(2/120))
• ح = 120 × (2 × جا(60) + 2 × جتا(60))
• ح = 327.85 م تقريبًا.

لحساب مساحة المستطيل أو محيطه لا بدَّ أن يتوفر معلومتين على الأقل، إمّا قياس الطول والعرض، أو قياس القطر والطول أو العرض، أو قياس القطر وقياس أحد زواياه المحصورة بين القطرين الكُبرى أو الصُغرى، ويُمكن الحصول على محيط المستطيل أو مساحته من الآخر إذا كان الشخص يمتلك مقدار أحدهما بالإضافة إلى أحد الأبعاد.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Area of rectangles review", khanacademy, Retrieved 19/10/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle", onlinemschool, Retrieved 19/10/2021. Edited.
3. ↑ "Area of Rectangle", /byjus, Retrieved 19/10/2021. Edited.
4. ↑ "Area of Rectangle", byjus, Retrieved 10/3/2021. Edited.
5. ↑ "Perimeter of a Rectangle", web-formulas, Retrieved 10/3/2021. Edited.
6. ↑ "Area of a Rectangle Calculator", omnicalculator, Retrieved 19/10/2021. Edited.
7. ↑ "Diagonal of a Rectangle Calculator", omnicalculator, Retrieved 10/3/2021. Edited.
8. ↑ "Calculating the area and the perimeter", www.mathplanet.com, Retrieved 5-5-2019. Edited.
9. ^ ^{أ ب ت ث ج} "Basic Geometry : How to find the perimeter of a rectangle", varsitytutors, Retrieved 10/3/2021. Edited.
10. ^ ^{أ ب} "Basic Geometry : How to find the perimeter of a rectangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 5-5-2019. Edited.