كيفية تحليل الفرق بين مربعين

طريقة تحليل الفرق بين مُربَّعين

لتحليل الفرق بين مُربَّعين إلى عوامله، يجب التأكُّد أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على الصورة العامة (س²- ص²)، والتأكد من أنه فرق بين مربعين، عن طريق التأكد مما يأتي:^[١]

• أن التعبير الجبري يحتوي على حدين فقط.
• أن الحدين مربعان كاملان، ودراسة إمكانية استخراج عامل مشترك بينهما إن لم يكونا مربعين كاملين.
• أن أسس جميع المتغيرات زوجية.
• أن تكون إشارة أحد الحدين سالبة، وإشارة الحد الآخر موجبة.

ثمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:^[١]

• فَتْح قوسين العلاقة بينهما ضَرْب: ( )( ).
• كتابة إشارة الجَمْع في القوس الأول، وفي القوس الثاني إشارة الطَّرْح: ( + )( - )
• كتابة الجذر التربيعي للحَدُّ الأوّل في كلا القوسين قبل إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ )(س- )
• كتابة الجذر التربيعي للحَدُّ الثاني في كلا القوسين بعد إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ص)(س-ص)
• ليكون الشكل النهائي كما يأتي:

س²-ص²=(س+ص)(س-ص)

• يُمكن التعبير عن الفَرق بين مُربَّعين بالكلمات كما يأتي:

الحَدِّ الأوّل (مربع كامل)-الحَدِّ الثاني(مربع كامل)=(الجذر التربيعي للحَدِّ الأوّل-الجذر التربيعي للحَدِّ الثاني)(الجذر التربيعي للحَدِّ الأوّل+الجذر التربيعي للحَدِّ الثاني).

أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُربَّعين

• المثال الأول: حلل المِقدار الآتي إلى عوامله الأوليّة: 4س²-9.^[٢]

الحل:

• نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 4س² عبارة عن مُربَّع كامل =2س×2س، كما أنّ الحَدَّ الثاني 9عبارة عن مُربَّع كامل=3×3، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مُربَّعين.
• كتابة 4س²-9 على شكل (2س)²-²3، ثم تحليل المِقدار (2س)²-²3 كالآتي: (2س)²-²3= (2س-3)(2س+3).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي إلى عوامله الأولية: س²-25.^[٣]

الحل: يُلاحظ أن هذا المقدار على صورة فرق بين مربعين حيث إن الحد س² على شكل مربع كامل، والحد 25 أيضاً جاء على شكل مربع كامل، والجذر التربيعي للحد (س²) يساوي س، والجذر التربيعي للمقدار 25 يساوي 5، لذلك حسب قانون الفرق بين مربعين ( س² - ص² = (س-ص) (س+ص)، يكون الناتج: س²-25=(س-5)(س+5).

• المثال الثالث: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س²- 16.^[٤]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل المعادلة الى صيغة (س+ص) (س-ص)، وفي هذه الحالة تصبح المعادلة كالآتي: (س+4)(س-4).

• المثال الرابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 4س²- 49ص².^[٤]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، فتصبح على هذه الصورة: (2س+7ص)(2س-7ص).

• المثال الخامس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 50س²- 72.^[٣]

الحل:

• 50س² ليس مربعاً كاملاً، و72 كذلك، لذلك يجب التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة هو العدد 2.
• إخراج العامل المشترك لتصبح المسألة: 2(25س²- 36)، وهي على شكل فرق بين مربعين.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، لتصبح: 2((5س+6) (5س-6))

• المثال السادس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: -9+س⁴.^[١]

الحل:

• يجب أولاً تبديل ترتيب الحدود ليصبح الحد السالب بعد الحد الموجب، لتصبح المسألة: س⁴-9=0
• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، لكن في هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، لتصبح: (س²-3)(س²+3).

• المثال السابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 4س²-25.^[٥]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، لتصبح: (2س-5)(2س+5).

• المثال الثامن: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س⁴-1.^[٦]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، لتصبح: (س²-1)(س²+1)، ونلاحظ أن المسألة يمكن تحليلها مرة أخرى؛ لأن القوس الأول يمثّل كذلك فرقاً بين مربعين، وعليه يمكن تبسيط المسألة لتصبح: (س-1)(س+1)(س²+1).

• المثال التاسع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س⁸-ص¹⁰.

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (س⁴-ص⁵)(س⁴+ص⁵).^[٧]

• المثال العاشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 9س²-49ص².^[٨]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (3س-7ص)(3س+7ص).

• المثال الحادي عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 16س²-81ص².^[٩]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: (4س-9ص)(4س+9ص).

• المثال الثاني عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: (س-2)²-49.^[١٠]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: ((س-2)-7)((س-2)+7)=(س-9)(س+5)

• المثال الثالث عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 63-7س².^[١١]

الحل:

• التأكد إذا ما كان هناك عامل مشترك أكبر بين الحدود، وفي هذه الحالة هو العدد 7، لتصبح المسألة: 7(9-س²).
• تحويل هذه المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص) بعد التأكد من أن الحدين عبارة عن مربعين كاملين، لتصبح: 7(9-س²)=7(3-س)(3+س).

نظرة عامة حول الفرق بين مُربَّعين وتحليله

الفرق بين مُربَّعي حَدَّين هو إحدى صِيَغ المُعادَلة التربيعيّة، أو المُعادَلة ذات الدرجة الثانية،^[١٢]

• س²: هو الحَدِّ الأوّل ويجب أن يكون مربعاً كاملاً.
• ص²: هو الحَدِّ الثاني ويجب أن يكون مربعاً كاملاً.
• والإشارة بينهما هي إشارة طَرْحٍ أو فَرْقٍ، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين مُربَّعَين.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Factoring A Difference Between Two Squares Lessons", www.wyzant.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
2. ↑ "Special Binomial Products", www.mathsisfun.com. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Factoring Difference of Squares", www.csun.edu,13-8-2018، Retrieved 13-8-2018. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Factoring quadratics: Difference of squares", www.khanacademy.org, Retrieved 12-2-2019. Edited.
5. ↑ "Special Factoring: Differences of Squares", www.purplemath.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
6. ↑ "Special Factoring: Differences of Squares", www.purplemath.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
7. ↑ "THE DIFFERENCE OF TWO SQUARES", www.themathpage.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
8. ↑ "Difference of Squares", www.varsitytutors.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
9. ↑ "Factor Difference of Squares", www.ck12.org, Retrieved 17-3-2020. Edited.
10. ↑ "The Difference of Two Squares", www.mathsteacher.com.au, Retrieved 17-3-2020. Edited.
11. ↑ "The Difference of Two Squares", www.mathsteacher.com.au, Retrieved 17-3-2020. Edited.
12. ↑ معروف عبد الرحمن سمحان، وعبير بنت حميدي الحربي، وجواهر بنت أحمد المفرج، رياضيات الأولمبياد: الجبر: Mathematics Olympiad: Algebra، صفحة: 184. بتصرّف.