مبدأ أرخميدس، صيغته الرياضية وأهم التطبيقات

مبدأ أرخميدس

يعدّ مبدأ أرخميدس من المبادئ الفيزيائيّة المكتشفة من قبل عالم الرياضيّات والمخترع اليونانيّ أرخميدس، وينصّ المبدأ على "أنّ أي جسم ساكن مغمور كليًا أو جزئيًا في مائع، سواء كان سائل أو غاز سيتعرّض لقوّة صاعدة تدفعه إلى الأعلى، وتأتي من السائل أو الغاز المغمور فيه وتسمّى قوّة الطفو، ويكون مقدار هذه القوة مساوية لوزن السائل الذي أزاحته كتلة الجسم"، وبذلك فإنّ قوّة الطفو المؤثرة على ذلك الجسم تعادل وزن الجزء المغمور للجسم لكنها معاكسة له في الاتجاه، لذلك يكون الجسم مستقرّاً فلا يرتفع عن سطح الماء ولا يغرق.^[١]

تغرق بعض الأجسام عندما يكون وزنها أكبر من وزن السائل المزاح، فالجسم ذو الكثافة العالية مثل مكعب من الحديد يغوص في الماء، إلّا إذا صمم بحيث يكون مسطحاً أو مجوفًا وتدخل فيه كميّة أكبر من الماء حتى يتمكن من العوم، وهوَ مبدأ تصميم القوارب والسفن، التي يراعى في تصميمها أن تعمل على إزاحة كميّة من الماء مساوية لحجمها، لذلك نجد السفن المفرغة من الحمولة تطفو أفضل من تلكَ المحملة بالبضائع، ويلاحظ بأن جزء صغير فقط حينها من جسم السفينة يكون مغمور بالماء.^[٢]

صيغة مبدأ أرخميدس الرياضية

لقد استخدِمَ مبدأ أرخميدس، لاشتقاق صيغة رياضيّة للاستفادة تستخدم في التطبيقات العمليّة للطفو وحلّ المسائل الرياضيّة، وهذه الصيغة هي كما يلي:^[٣]

F_b=ρ×V×g

حيث يدلّ الرمز F_b على قوّة الطفو، بينما يدل الرمز ρ على كثافة السائل المغمور، والرمز V على حجم الجسم المغمور، أما الرمز g فيدل على ثابت الجاذبيّة الأرضيّة.

مسائل محلولة على قانون أرخميدس

• إذا علمت بأنّ بالون الهيليوم سيرفع حمولة تزن 180كيلوغرام، فما هو حجم غاز الهيليوم الذي يجب أن يزوّد به البالون حتى يتمكن من رفع الحمولة مضافاً إليها وزن بالون الهيليوم الفارغ؟ علماً بأنّ كثافة الهواء بالقرب من السطح تعادل 1.29 كيلوغرام لكل متر مكعب، وكثافة الهيليوم تعادل 0.18 كيلوغرام لكل متر مكعب.^[٤]

الحلّ: قوّة طفو البالون= (وزن الحمولة + وزن البالون فارغاً) × تسارع الجاذبية g

وبتطبيق قانون أرخميدس:

FB = ρf× Vf× g

هواء= air / هيليوم = He

ρair V g = (ρHe+ 180 ) g.

وبالتالي حجم غاز الهيليوم =180/ (1.29-0.18)= 162 متر مكعب

• كرة فولاذيّة مغمورة بأكملها في الماء، ويبلغ نصف قطرها 6 سنتمتر، فما هيَ القوّة الناتجة عن الكرة في الماء؟ علماً بأنّ كثافة الماء تبلغ 1000 كيلوغرام لكل متر مكعب، بينما يبلغ تسارع الجاذبيّة الأرضيّة 9.8 متر لكل ثانية مربع.^[٣]

الحلّ: أولاً نجد حجم الكرة الفولايّة= 4/3×π× نق³ = 4/3×3.14×(0.06)³= 9.05 × 10 ^-4 متر ³

ثمّ نطبق قانون أرخميدس F_b=ρ×V×g

القوة الناتجة عن الماء تساوي: F_{b =}1000×9.05 × 10 ^-4 × 9.8 =8.87 n

أهم التطبيقات على مبدأ أرخميدس

فيما يلي مجموعة من التطبيقات على مبدأ أرخميدس:

الغواصات

صممت الغواصات باستخدام مبدأ أرخميدس، فهيَ مغمورة بالكامل بالماء ويجب الحفاظ عليها على عمق ثابت، فقد اعتمدَ النموذج الأوليّ للغواصة على مجموعة من العوامل التي حددها مبدأ أرخميدس مثل الكتلة، والكثافة، وحجم الغوّاصة والماء المزاح، وتحدد هذه العوامل الحجم المطلوب لخزان التوازن الخاص بالغواصة لتحديد كميّة الماء الذي يجب أن يملئه، والذي بدوره يحدد العمق الذي تغوص فيه الغوّاصة.^[٥]

البالونات الهوائيّة

تعتمد البالونات الهوائيّة كذلك في عملها على مبدأ أرخميدس، فهي تطفو في الهواء لأنّها تمتلك كثافة أقلّ من كثافة الهواء المحيط بها، فهي مزوّدة بهواءٍ ساخنٍ ويعدّ الهواء الأكثر دفئاً أقلّ كثافةً، فعندما يعلو المنطاد يعمل إزاحة للهواء المحيط به، ولذلك فإنّ البالونات الهوائيّة تطير بصورة أفضل في ساعات الصباح، عندما يكون الهواء أبرد أي أكبر كثافة، وبالتالي فإنّ فرقَ الكثافة يزداد مؤثراً على قوّة الطفو بصورةٍ طرديّة.^[٦]

التطبيقات الطبيّة

يدخل مبدأ أرخميدس في بعض التطبيقات الطبيّة وطبّ الأسنان؛ مثل معرفة كثافة العظام والأسنان لتحديد قوّتها، وصلابتها، ومقدار مرونتها، وهذه الأمور تساهم جميعها في الدراسات العمريّة والصحيّة، واكتشاف بعض الأمراض مثل هشاشة العظام.^[٥]

مقياس الهيدرومتر 

استخدمَ مبدأ أرخميدس لاختراع جهاز يستخدم لقياس كثافة السوائل والمعروف باسم الهيدرومتر، ويقوم مبدأ عمله على إطلاق مقذوفات من الرصاص في السائل، فتطفو على سطح السائل عاموديّا، ويعطي الجهاز قراءات تدل على قلة كثافة السائل كلّما غمرت هذه المقذوفات في السائل أكثر.^[٧]

قصة مبدأ أرخميدس

بدأت قصّة مبدأ أرخميدس في القرن 3 قبل الميلاد كما رواها المهندس المعماري الروماني فيتروفيو، بعدما طرحَ الملك هييرو الثاني ملك سيراكيوز آنذاك على أرخميدس مشكلةً تخصّ تاجه، فقد شكّ الملك بأنّ تاجه لم يكن مصنوعاً من الذهب الخالص، بل هوَ عبارة عن مزيج من الذهبِ والفضّة، وتروي القصص بأنّ أرخميدس وجدَ الجواب على حيرةٍ الملكِ في حوضِ الاستحمام، فقط لاحظ بأنّه كلّما نزلَ في ماءِ الحوضِ أكثر كلّما ازداد مقدار الماء الذي ينسكب منه، فانطلقَ إلى قصرِ الملكِ وهوَ يقول: "لقد وجدتها!".^[٨]

فصنع أرخميدس بعدها جسمين أحدهما من الذهب والآخر من الفضة لهما الوزن ذاته وبنفس وزن التاج، ثمّ أحضرَ إناءً مملوءً بالماءِ وأسقط كلا الجسمين فيه على حدة، فلاحظَ أنّ الجسم المصنوعِ من الفضّة يعمل على إزاحة مقدار أكبر من الماءِ مقارنة مع الجسم المصنوع من الذهب، ثمّ أسقطَ تاجَ الملكِ في الإناءِ فلاحظَ أنّه سكب ماءاً خارج الإناءِ، بكمية أكبر من الجسم الذي صنعه من الذهبِ الخالصِ، فاستنتجَ أنّ تاجَ الملكِ يحتوي على نسبةٍ من الفضّةِ.^[٨]

الخلاصة

اكتشف ارخميدس قوة ومبدأ الطفو، وهو السبب وراء طفو بعض الأجسام فوق سطح الماء وغرق البعض الآخر، واشتق العلماء معادلات بناءًا على هذا المبدأ، وتستخدم هذه المعادلات في عدة مجال ونواحي في الحياة اليومية، مثل صناعة السفن وصناعة الغواصات وغيرها من التطبيقات الأساسية التي لا غنى للإنسان عنها، وكل ذلك بدأ في القرن الثالث قبل الميلاد، بسبب شعور أحد الملوك أن تاجه ليس مصنوع من الذهب الخالص.

المراجع

1. ↑ Erik Gregersen (29/5/2020), "Archimedes' principle", Britannica, Retrieved 13/6/2021. Edited.
2. ↑ "Archimedes’ Principle", Lumen Learning, Retrieved 13/6/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Archimedes Principle", Byju's Classes, Retrieved 13/6/2021. Edited.
4. ↑ Elizabeth Friedl (14/6/2019), "Buoyancy: Calculating Force and Density with Archimedes' Principle", Study.com, Retrieved 13/6/2021. Edited.
5. ^ ^{أ ب} Rachel Ross (26/4/2017), "Eureka! The Archimedes Principle", Live Science, Retrieved 13/6/2021. Edited.
6. ↑ Carol Hodanbosi (8/1996), "Buoyancy: Archimedes Principle", National Aeronautics and Space Administration, Retrieved 13/6/2021. Edited.
7. ↑ خطأ استشهاد: وسم غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 95b66ed9_4a5c_40c4_a510_a2c965edcbb3
8. ^ ^{أ ب} Alane Lim (28/9/2018), "What Is Buoyant Force? Origins, Principles, Formulas", Thought Co, Retrieved 17/6/2021. Edited.