مسائل على حساب مقاييس التشتت

كتابة:
مسائل على حساب مقاييس التشتت

مسائل على حساب الانحراف المعياري

الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard deviation)‏، الانحراف المعياري هو أحد مقاييس التشتت ويعني مقدار تشتت وانحراف أو ابتعاد القِيَم عن المتوسّط الحسابيّ، ويزداد الانحراف المعياري بازدياد تباعد القِيم عن المتوسط لها فتكون قيمته أعلى، ويقل كلّما كانت القيم أقرب إلى المتوسط وأقلّ تبعثرًا،[١] ويختلف الانحراف المعياري عن الانحراف المتوسّط والذي هو متوسّط ابتعاد القيم عن المتوسط الحسابي لها، إذ لكل منهما طريقة حساب مختلفة،[٢] ويُمثل الانحراف المعياري كما يأتي:


الانحراف المعياري = الجذر التربيعي (مجموع (مربع (القيمة - المتوسط الحسابي))) / (عدد القيم)


ولا بدّ من التنويه إلى الفرق بين قيمة الانحراف المعياري للعيّنة Sample وقيمة الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي Population، إذ يمثل القانون السابق قيمة الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي بأكمله، أما قيمة الانحراف المعياري للعينة الجزئية فيُمثل بالقانون الآتي: [٣]


الانحراف المعياري = الجذر التربيعي (مجموع (مربع (القيمة - المتوسط الحسابي))) / (عدد القيم - 1)


ولمزيد من التوضيح فيما يلي تمارين على مقاييس التشتت وبالتحديد الانحراف المعياري للعيّنة:


مثال (1)

قام بُستانيّ بزراعة 5 نباتات من نوع واحد، وراقب نموّها من خلال قياس طول كل منها بالـ(سم) بعد شهر من زراعتها، فكانت النتائج كما هو موضّح في الجدول الآتي:


الطول (سم)
11
9
12
8
20



فما هو الانحراف المعياري لأطوال النباتات؟ [٤]


الحل:

  • احسب المتوسط الحسابي للقيم المعطاة: (11+9+12+8+20) / 5 = 12 سم.
  • اطرح كل قيمة من المتوسط الحسابي الذي قمت بإيجاده في الخطوة الأولى ثمّ ربّع ناتج الطرح:


الطول
(الطول-المتوسط)2
11
(11-12)2 =1
9
(9-12)2=9
12
(12-12)2=0
8
(8-12)2=16
20
(20-12)2=64


  • أوجد مجموع القيم المربّعة التي حسبتها في الخطوة الثانية جميعها: 1+9+0+16+64 = 90.
  • اقسم الناتج الذي حصلت عليه في الخطوة الثالثة على عدد القيم مطروحًا منه العدد (1): 90 / (5-1) = 22.5.
  • أوجد الجذر التربيعي لناتج القسمة ويكون هو الانحراف المعياري: الانحراف المعياري= (22.5)^(0.5)= 4.74.[٤]


مثال (2)

إذا كانت العلامات الموضّحة في الجدول أدناه هي علامات الأربعة الأوائل في مادة الرياضيات من 100:
العلامة
100
98
94
95
فما هو الانحراف المعياري للعلامات؟[٥]

الحل:

  • احسب المتوسط الحسابي للقيم المعطاة: (100+98+94+95) / 4 =96.75.
  • اطرح كل قيمة من المتوسط الحسابي الذي قمت بإيجاده في الخطوة الأولى ثمّ ربّع ناتج الطرح:


العلامة
(العلامة-المتوسط)2
100
(96.75-100)2 = 10.6
98
(96.75-98)2 = 1.6
94
(96.75-94)2 = 7.6
95
(96.75-95)2 = 3

  • أوجد مجموع القيم المربّعة التي حسبتها في الخطوة الثانية جميعها: 10.6+1.6+7.6+3 =22.8.
  • اقسم الناتج الذي حصلت عليه في الخطوة الثالثة على عدد القيم مطروحًا منه العدد (1): 22.8 / (4-1) =7.6.
  • أوجد الجذر التربيعي لناتج القسمة ويكون هو الانحراف المعياري: الانحراف المعياري= (7.6)^(0.5)= 2.76. [٥]


واختصارًا يتم إيجاد الانحراف المعياري بحساب الجذر التربيعي لمجموع مربع الفرق بين القيم والمتوسط الحسابي مقسومًا على عدد القيم مطروحًا منه العدد (1).


مسائل على حساب المدى

المدى (بالإنجليزية: Range)، هو أحد مقاييس التشتت البسيطة إذ يُعرَف بأنه ناتج طرح أعلى قيمة من أقل قيمة في مجموعة بيانات معطاة، ويزداد المدى بزيادة الفرق بين أعلى وأقل قيمة،[٦] ويُمثل المدى في الإحصاء كما يأتي:


المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة


فيما يلي بعض الأمثلة لمعرفة كيفية حساب المدى رياضيًا:


مثال (1)

إذا كانت أوزان 8 طالبات بوحدة كيلوغرام (كغ) كما هو في الجدول الآتي:
الوزن (كغ)
50
54
60
52
63
48
66
70
احسب المدى لهذه الأوزان.


الحل: إيجاد المدى أمر بسيط فما عليك القيام إلا بخطوة واحدة، وهي طرح القيمة الصغرى من القيمة العليا:

المدى= 70 - 48 = 22 كغ.[٧]


مثال (2)

إذا كانت مجموعة بيانات معطاة كالآتي: {17, 12, 15, 20 ,10} فما هو المدى؟

الحل: نطرح أقل قيمة وهي 10 من أعلى قيمة 20 فيكون الناتج: المدى = 20 - 10 = 10.[٨]


مثال (3)

إذا كانت أسعار سلعة معينة تختلف من محافظة إلى أخرى كما في الجدول الآتي:
رقم المحافظة
(1)
(2)
(3)
(4)
السعر(دينار)
98
90
88
95
فما هو المدى لأسعار السلعة؟

الحل: المدى هو أعلى سعر - أقل سعر = 98 - 88 = 10 دنانير.[٩]


وبشكل عام فإنّ المدى في الإحصاء يساوي ناتج طرح أعلى قيمة من أقل قيمة بين مجموعة من البيانات.


مسائل على حساب التباين

التباين (بالإنجليزية: Variance)، يعتبر التباين من مقاييس التشتت الشهيرة، يعبّر عن بُعد البيانات عن المتوسط الحسابيّ وابتعادها فيما بينها، ويتم حسابه عن طريق إيجاد مربع الفرق بين القيم والمتوسط الحسابي، والتباين هو مربّع الانحراف المعياري (لذا فإنّ قيمته موجبة دائمًا)، ويُرمَز له بالرمزσ2 [١٠] ويُمثل التباين كما يأتي:


التباين = (مجموع (مربع(القيمة - المتوسط الحسابي))) / (عدد القيم)


ولا بدّ من التنويه إلى الفرق بين قيمة تباين العيّنة Sample وقيمة تباين المجتمع الإحصائي Population، إذ يمثل القانون السابق قيمة تباين المجتمع الإحصائي بأكمله، أما قيمة تباين العينة الجزئية فيُمثل بالقانون الآتي: [٣]


التباين = (مجموع (مربع(القيمة - المتوسط الحسابي))) / (عدد القيم - 1)


ويُعرّف معامل التباين (بالإنجليزية: Coefficient of Variation) واختصارًا (CV)، على أنه مصطلح إحصائي يستخدم لمعرفة تشتت القيم المعطاة حول المتوسط الحسابي، وهو النسبة بين الانحراف المعياري والمتوسّط الحسابي، وهو أداة مفيدة لمقارنة درجة التباين بين مجموعة من سلاسل البيانات المختلفة، إذ لا يشترط عند إجراء المقارنة تساوي المتوسط الحسابي لكل منها، ويتم حسابه من خلال القانون الآتي:[١١]


معامل التباين= الانحراف المعياري / المتوسط الحسابيّ


وفيما يلي بعض الأمثلة لمعرفة كيفية حساب تباين المجتمع الإحصائي رياضيًا:


مثال (1)

إذا كانت أعمار 6 أصدقاء كما يلي:
العمر(سنة)
27
29
25
28
23
30
فما هو التباين لهذه الأعمار إذا كانت المتوسّط الحسابي لها 27؟ [١٢]


الحل:

  • نجد الفرق بين كل عمر والمتوسط الحسابي ونربّع الناتج كما يلي:


العمر
الفرق
27
(27-27)2 = 0
29
(29-27)2 = 4
25
(25-27)2= 4
28
(28-27)2= 1
23
(23-27)2= 16
30
(30-27)2= 9



  • احسب مجموع القيم المربعة: 0+ 4+ 4+ 1+ 16+ 9= 34
  • يكون التباين هو ناتج قسمة المجموع الذي حسبته في الخطوة السابقة على عدد القيم : التباين = 34/ 6 = 5.67.


ملاحظة: في المثال السابق تم التعامل مع القيم على أنها مجتمع إحصائي كامل، ولكن لو تعاملنا معها كعينة جزيئة ممثّلة فإن حساب التباين سيختلف في الخطوة الأخيرة حيث نقسِم على (عدد القيم مطروحًا منه العدد (1)). [٣]


مثال (2)

احسب التباين لمجموعة الأرقام الآتية: {11, 13, 15, 6, 1, 14, 7, 5}.[١٣]

الحل:

  • نجد أولًا المتوسّط الحسابي: المتوسط الحسابي = 11+ 13+ 15+ 6+ 1+ 14+ 7+ 5= 9
  • نجد مربّعات الفروق بين المتوسط والقِيم:


 (11-9)2 = 4

(13-9)2 = 16

(15-9)2 = 36

(6-9)2 = 9

(1-9)2 = 64

(14-9)2 = 25

(7-9)2 = 4

(5-9)2 = 16

  • نجد مجموع القيم السابقة : 4+ 16+ 36+ 9+ 64+ 25+ 4+ 16 =174
  • نقسم المجموع على عدد القيم : التباين = 174/8 = 21.75.[١٣]


الانحراف المعياري هو الجذر التربيعيّ للتباين، أي أنّ حساب أحدهما يكفي لإيجاد الآخر.

المراجع

  1. ↑ "Standard Deviation", investopedia. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  2. ↑ "How to Calculate Mean Deviation", sciencing. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  3. ^ أ ب ت "Variance and Standard Deviation", thoughtco. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  4. ^ أ ب "Sample Standard Deviation Example Problem", thoughtco. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  5. ^ أ ب "How to Calculate Standard Deviation", sciencing. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  6. ↑ "Range", sophia. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  7. ↑ "Measures of Variability: Range, Variance & Standard Deviation", study. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  8. ↑ "What Is a Range in Statistics?", thoughtco. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  9. ↑ "How to Find Range of Data Set with Examples", toppr. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  10. ↑ "Variance", investopedia. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  11. ↑ "Coefficient of Variation (CV)", investopedia. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  12. ↑ "Variance and Standard Deviation", thoughtco. Retrieved 19/2/2021 Edited.
  13. ^ أ ب "Statistics", toppr. Retrieved 19/2/2021 Edited.
5851 مشاهدة
للأعلى للسفل
×