مساحة سطح المنشور الرباعي

مساحة سطح منشور رباعي ذو قاعدة مستطيلة

يعد المنشور من المجسمات الهندسية ثلاثية الأبعاد التي يندرج تحتها العديد من الأنواع، إحداها هو المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة (بالإنجليزية: Rectangular Prisim)، ويمتاز هذا النوع بأن له 6 أوجه جميعها مستطيلة الشكل، بينما كل وجهين متقابلين فيه يتطابقان تمامًا في أبعادهما، فإنّ شكل مقطعه العرضي على طول محوره مستطيل أيضًا،^[١] وبالإضافة إلى ما سبق، فإنّ له 8 رؤوس، و12 حرفًا، وقد يكون إما قائمًا أو مائلًا، ويُطلق عليه في العموم اسم متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid).^[٢]

تتعدد الأشكال الهندسية في الرياضيات، ولكل شكل هندسي قانون محدد لحسابه، وعند حساب مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة مستطيلة، فإنّ الناتج هو مجموع مساحات جميع أوجهه الستة،^[٣] ويمكن التعبير عن هذه العلاقة رياضيًا، كما هو موضح أدناه:^[٢]

مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المستطيلة = 2 × ((الطول × العرض) + (الطول × الارتفاع) + (العرض × الارتفاع))

ويُصاغ ذلك بالرموز كالآتي:^[٣]

م = 2 × ((ل × ض) + (ل × ع) + (ض × ع))

إذ إنّ:

• م: مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المستطيلة بوحدة سم².
• ل: طول القاعدة المستطيلة بوحدة سم.
• ض: عرض القاعدة المستطيلة بوحدة سم.
• ع: ارتفاع المنشور بوحدة سم.

أمثلة على حساب مساحة سطح منشور رباعي بقاعدة مستطيلة

إذا كان طول ضلع قاعدة المنشور وعرضها وارتفاعه معلومين

إذا كان طول قاعدة منشور رباعي ذي قاعدة مستطيلة 2 سم، وعرضه 3 سم، وارتفاع المنشور 5 سم، فاحسب مساحة سطحه الكلية.

• كتابة القانون، مساحة سطح منشور رباعي بقاعدة مستطيلة = 2 × ((الطول × العرض) + (الطول × الارتفاع) + (العرض × الارتفاع)).
• وبالرموز: م = 2 × ((ل × ض) + (ل × ع) + (ض × ع)).
• تعويض المعطيات، م = 2 × ((2 × 3) + (2 × 5) + (3 × 5))
• إيجاد الناتج، م = 62 سم².

إذا كانت مساحة سطح المنشور الرباعي وارتفاعه وطول قاعدته معلومين

إذا كانت مساحة سطح منشور رباعي 126 سم²، وكان طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 3 سم، فاحسب عرض قاعدته المستطيلة.

• كتابة القانون، مساحة سطح منشور رباعي بقاعدة مستطيلة = 2 × ((الطول × العرض) + (الطول × الارتفاع) + (العرض × الارتفاع)).
• وبالرموز: م = 2 × ((ل × ض) + (ل × ع) + (ض × ع)).
• تعويض المعطيات، 126 = 2 × ((6 × ض) + (6 × 3) + (ض × 3))
  • 126 = 12ض + 36 + 6ض
  • 126 = 18ض + 36
  • 90 = 18ض
• إيجاد الناتج، ض = 5 سم.

مساحة سطح منشور رباعي ذو قاعدة مربعة

يُعرف المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة (بالإنجليزية: Square Prisim)، بأنّه أحد الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد التي تتضمن 6 أوجه، ويمتاز هذا الشكل بأن له قاعدتين متقابلتين مربعتي الشكل؛ ونظرًا لذلك يكون ضلعان من أضلاعه على الأقل متساويين في الطول، أمّا أوجهه الأربعة المتبقية، فتكون مستطيلة الشكل، والمكعب هو أحد أنواع المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة، وكباقي أنواع المنشور الرباعي، فإنّ له 8 رؤوس، و12 حرفًا، وقد يكون قائمًا أو مائلًا.^[٤]

تمثل مساحة سطح المنشور عمومًا مجموع مساحتي قاعدتيه مُضافًا إليها مجموع مساحات أوجهه الجانبية،^[٥] كما يمكن التعبير عن قانون مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة بأنّه ضعف مساحة إحدى قاعدتيه المربعتين، مضافًا إلى المساحة السطحية الجانبية خاصته، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة رياضيًا كما هو موضح أدناه:^[٦]

مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه،

ويُصاغ ذلك بالرموز كالآتي:^[٦]

م = 2 × ض² + 4 × (ض × ع)

إذ إنّ:

• م: مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة بوحدة سم².
• ض: ضلع القاعدة المربعة بوحدة سم.
• ع: ارتفاع المنشور بوحدة سم.

أمثلة على حساب مساحة سطح منشور رباعي بقاعدة مربعة

إذا كان طول ضلع قاعدة المنشور وارتفاعه معلومين

إذا كان طول ضلع قاعدة منشور رباعي 4 سم وارتفاعه 5 سم، احسب مساحة سطحه الكلية إذا علمت أن قاعدته مربعة الشكل.

• كتابة القانون، مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه.
• وبالرموز: م = 2 × ض² + 4 × (ض × ع).
• تعويض المعطيات، م = 2 × (4)² + 4 × (4 × 5).
• إيجاد الناتج، م = 112 سم².

إذا كانت مساحة سطح المنشور وطول قاعدته معلومين

إذا كانت مساحة سطح منشور رباعي ذي قاعدة مربعة تساوي 192 سم²، وكان طول ضلع قاعدته يساوي 4 سم، فاحسب ارتفاعه.

• كتابة القانون، مساحة سطح المنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه.
• وبالرموز: م = 2 × ض² + 4 × (ض × ع).
• تعويض المعطيات، 192 = 2 × (4)² + 4 × (4 × ع)
  • 192 = 32 + 16ع
  • 160 = 16ع
• إيجاد الناتج، ع = 10 سم.

يختلف المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة عن المنشور الرباعي ذي القاعدة المستطيلة في شكل القاعدة فقط، فتكون أطوال أضلاع قاعدة الأول متساوية، في حين تكون أطوال أضلاع قاعدة الثاني مختلفة، نظرًا لأن المستطيل يختلف طوله عن عرضه، ولكل نوع منهما قانون مساحة منفصل، كما تتعدّد الأمثلة العملية على كلا المنشورين تبعًا للمعطيات والمجاهيل، إلا أنّ القانون المستخدم في جميع الحالات لحل المسائل المتعلقة بمساحة سطح المنشورين يكون ذاته.

المراجع

1. ↑ Emma Woodhouse (24/04/2017), "What Is the Difference Between a Rectangle & a Rectangular Prism?", Sciencing, Retrieved 19/08/2021. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "What is a Rectangular Prism? ", Splash Learn, Retrieved 19/08/2021. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Surface area of a box (cuboid)", Khan Academy, Retrieved 19/08/2021. Edited.
4. ↑ "Square prism", CUEMATH, Retrieved 19/08/2021. Edited.
5. ↑ "Surface Area of a Prism", Varsity Tutors, Retrieved 19/08/2021. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Square prism", Byjus, Retrieved 19/08/2021. Edited.